人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题24.8切线的性质特训(原卷版+解析)

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.8切线的性质【名师点睛】切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．【典例剖析】【例1】（2022春•澧县期中）如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：BC平分∠DBA；（2）如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径．【变式1】（2018秋•常熟市期中）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；（2）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•东台市期中）如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（）A．63° B．54° C．60° D．126°2．（2021秋•台江区校级期中）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝4，则线段BP的长为（）A．6 B．4 C．4 D．83．（2021春•碧江区期中）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB＝6，PA＝5．⊙O的半径是（）A．4 B．15 C．5 D．4．（2021秋•涟水县期中）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，OB与⊙O交于点C，D为⊙O上一点，连接AD，CD．若∠B＝28°，则∠D的度数为（）A．28° B．30° C．31° D．36°5．（2021秋•北碚区校级期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝56°，则∠APB等于（）A．58° B．68° C．78° D．124°6．（2021春•椒江区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．75°7．（2021秋•滨城区期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（）A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°8．（2021秋•九龙坡区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，过点D作⊙O的切线交BA延长线于点C，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°9．（2021秋•宜兴市期中）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（2021秋•南开区期中）如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）二．填空题（共8小题）11．（2022•资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是度．12．（2022•衢州）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的度数为．13．（2022•襄州区模拟）点P为⨀O外一点，直线PO与⨀O的两个公共点为A、B，过点P作⨀O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO＝30°，则∠CAB为．14．（2022•盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝°．15．（2022•南岗区三模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且∠D＝50°，则∠C的大小为度．16．（2022•泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．17．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为．18．（2021•凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．三．解答题（共5小题）19．（2022•南京模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，DC与⊙O相切于点C．连接BC，AC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若∠D＝45°，⊙O的半径为2，直接写出线段AD的长．20．（2022•陇县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥DE；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．21．（2022•济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．22．（2022春•海门市期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，∠ABC＝30°．（1）求∠BDC的度数；（2）作∠BDC的平分线分别交AC、BC于点E、F，⊙O的半径为4，求CF的长．23．（2022春•碑林区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求⊙O的半径．【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.8切线的性质【名师点睛】切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．【典例剖析】【例1】（2022春•澧县期中）如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：BC平分∠DBA；（2）如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，证明OC∥BE，得∠OCB＝∠DBC，由OC＝OB，得∠OCB＝∠ABC，则∠DBC＝∠ABC，即BC平分∠DBA；（2）连接AD交OC于点F，由∠DBC＝∠ABC得＝，则OC垂直平分AD，OF是△ABD的中位线，则OF＝BD＝，而AC＝，根据勾股定理列方程求出r的值即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∵BE⊥CE，∴OC∥BE，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC，∴BC平分∠DBA．（2）解：如图2，连接AD交OC于点F，∵∠DBC＝∠ABC，∴＝，∴OC⊥AD，AF＝DF，∴∠AFC＝∠AFO＝90°，∵AO＝BO，BD＝3，AC＝，∴OF＝BD＝，设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，∴CF＝r﹣，∵OA2﹣OF2＝AF2，AC2﹣CF2＝AF2，∴OA2﹣OF2＝AC2﹣CF2，∴r2﹣（）2＝（）2﹣（r﹣）2，解得r1＝，r2＝﹣1（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为．【变式1】（2018秋•常熟市期中）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；（2）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【分析】（1）由题意可求∠AOD＝90°，即可求∠C＝45°，即可求∠CFB的度数；（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．【解答】解：（1）如图：连接OD∵DE与⊙O相切，∴∠ODE＝90°，∵AB∥DE，∴∠AOD+∠ODE＝180°，∴∠AOD＝90°，∵∠AOD＝2∠C，∴∠C＝45°，∵∠CFB＝∠CAB+∠C，∴∠CFB＝75°．（2）如图：连接OC．∵AB是直径，点F是CD的中点，∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF＝OC＝，CF＝OF＝，∴CD＝2CF＝，AF＝OA+OF＝，∵AF∥ED，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE＝2AF＝3，∴S△CED＝×3×＝【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•东台市期中）如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（）A．63° B．54° C．60° D．126°【分析】由切线的性质得出OA⊥AB，由∠B＝36°，求出∠AOC＝54°，由OA＝OC，得出∠OAC＝∠OCA＝63°，即可得出答案．【解答】解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵∠B＝36°，∴∠AOC＝90°﹣∠B＝54°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝＝＝63°，故选：A．2．（2021秋•台江区校级期中）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝4，则线段BP的长为（）A．6 B．4 C．4 D．8【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【解答】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝30°，OB＝4，∴AO＝4，则OP＝8，故BP＝8﹣4＝4．故选：C．3．（2021春•碧江区期中）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB＝6，PA＝5．⊙O的半径是（）A．4 B．15 C．5 D．【分析】连接PO，构造直角三角形和相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质解答．【解答】解：连接OP，OB，PO交AB于点G，∵AP为O切线，PB为O切线，∴PA＝PB，∵∠APO＝∠BPO，PG＝PG，∴△APG≌△BPG，∴∠PGA＝90°，∵△APO为直角三角形，∠APG＝∠APG，∴△PGA∽△PAO，根据垂径定理，得到AG＝GB，在Rt△PAG中，PG＝，∵△PGA∽△PAO，∴，∴，∴AO＝．故选：D．4．（2021秋•涟水县期中）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，OB与⊙O交于点C，D为⊙O上一点，连接AD，CD．若∠B＝28°，则∠D的度数为（）A．28° B．30° C．31° D．36°【分析】先利用切线的性质得到∠OAB＝90°，再利用互余计算出∠AOB＝62°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，∴∠D＝∠AOC＝×62°＝31°．故选：C．5．（2021秋•北碚区校级期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝56°，则∠APB等于（）A．58° B．68° C．78° D．124°【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据四边形的内角和等于360°计算即可．【解答】解：连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，由圆周角定理：∠AOB＝2∠ACB＝2×56°＝112°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣112°＝68°，故选：B．6．（2021春•椒江区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．75°【分析】首先证明∠ABD＝90°，想办法求出∠A的度数即可解决问题．【解答】解：∵BD是切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠BOC＝50°，∴∠A＝∠BOC＝25°，∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，故选：C．7．（2021秋•滨城区期中）已知PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于点A、点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（）A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，进而求出∠AOB，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：连接OA，OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝126°，当C在优弧ACB上时，∠ACB＝∠AOB＝63°；当C′在弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝117°，则∠ACB的度数为63°或117°，故选：D．8．（2021秋•九龙坡区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，过点D作⊙O的切线交BA延长线于点C，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】根据切线的性质得到∠CDO＝90°，求得∠COD＝90°﹣40°＝50°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵CD是⊙O的切线，∴∠CDO＝90°，∵∠C＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵∠COD＝∠B+∠ODB，∴∠B＝COD＝25°，故选：C．9．（2021秋•宜兴市期中）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】求出函数与x轴、y轴的交点坐标，求出函数与x轴的夹角，计算出当⊙P与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围．【解答】解：令y＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；令x＝0，则y＝2，则B点坐标为（0，2），∴tan∠BAO＝，∴∠BAO＝30°，作⊙P′与⊙P″切AB于D、E，连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，则在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝4，同理可得，AP″＝4，则P′横坐标为﹣6+4＝﹣2，P″横坐标为﹣6﹣4＝﹣10，∴P横坐标x的取值范围为：﹣10＜x＜﹣2，∴点P横坐标为﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3共7个，故选：C．10．（2021秋•南开区期中）如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）【分析】连接AQ、PA，如图，利用切线的性质得到∠AQP＝90°，再根据勾股定理得到PQ＝，则AP⊥x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【解答】解：连接AQ、PA，如图，∵PQ切⊙A于点Q，∴AQ⊥PQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ＝＝，当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，∵A（﹣3，2），∴此时P点坐标为（﹣3，0）．故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2022•资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是35度．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC＝55°，再根据切线的性质可得∠BAD＝90°，即可求解．【解答】解：∵AB为直径，∴∠C＝90°，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝55°，∵AD与⊙O相切，∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．故答案为：35．12．（2022•衢州）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的度数为25°．【分析】连接OB，先根据切线的性质求出∠AOB，再根据OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解决问题．【解答】解：如图，连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC，∵∠AOB＝∠C+∠OBC，∴∠C＝25°．故答案为：25°．13．（2022•襄州区模拟）点P为⨀O外一点，直线PO与⨀O的两个公共点为A、B，过点P作⨀O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO＝30°，则∠CAB为30°或60°．【分析】由切线的性质得出∠COP的度数，由圆周角定理及等腰三角形的性质求出∠CAB或∠CBA的度数可得出答案．【解答】解：如图1，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠CPO＝30°，∴∠COP＝60°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝∠OCP＝30°；如图2，∠CBA＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°．综合以上可得∠CAB为30°或60°．故答案为：30°或60°．14．（2022•盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝35°．【分析】连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求出∠BAE＝55°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．【解答】解：连接OA并延长交⊙O于点E，连接BE，∵AD与⊙O相切于点A，∴∠OAD＝90°，∵∠BAD＝35°，∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，∴∠C＝∠E＝35°，故答案为：35．15．（2022•南岗区三模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且∠D＝50°，则∠C的大小为70度．【分析】连接OB，如图，根据切线的性质得到∠OBD＝90°，再利用三角形外角性质计算出∠AOC＝140°，然后根据圆周角定理计算∠C的度数．【解答】解：连接OB，如图，∵BD为⊙O的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵∠AOC＝∠OBD+∠D＝90°+50°＝140°，∴∠C＝∠AOC＝×140°＝70°．故答案为：70．16．（2022•泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为32°．【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，由切线的性质得出∠OAP＝90°，由∠P＝26°，求出∠AOP＝64°，由圆周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，∵点C在上，且与点A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，故答案为：32．17．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（0，11）．【分析】连接AB，过点A分别作AC⊥x轴、AD⊥y轴，利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．【解答】解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，当点P在点D是上方时，如图，∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，∴四边形ADOC为矩形，∴AC＝OD，OC＝AD，∵⊙A与x轴相切，∴AC为⊙A的半径，∵点A坐标为（8，5），∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，∵PB是切线，∴AB⊥PB，∵∠APB＝30°，∴PA＝2AB＝10，在Rt△PAD中，根据勾股定理得，PD＝＝＝6，∴OP＝PD+DO＝11，∵点P在y轴的正半轴上，∴点P坐标为（0，11），故答案为：（0，11）．18．（2021•凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为3．【分析】连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4，∠BCH＝ACB＝60°＝30°，根据直角三角形的性质得到BH＝AB＝2，CH＝BC＝×4＝2，由切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝＝，推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论．【解答】解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，∵等边三角形ABC的边长为4，∴AB＝CB＝4，∠BCH＝ACB＝60°＝30°，∴BH＝AB＝2，CH＝BC＝×4＝2，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ＝＝，∵点P是AB边上一动点，∴当点P运动到H点时，CP最小，即CP的最小值为2，∴PQ的最小值为＝3，故答案为：3．三．解答题（共5小题）19．（2022•南京模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，DC与⊙O相切于点C．连接BC，AC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若∠D＝45°，⊙O的半径为2，直接写出线段AD的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠BCD+∠OCB＝90°，根据AB是⊙O的直径，得到∠A+∠OBC＝90°，根据∠OCB＝∠OBC，证明∠A＝∠BCD；（2）根据∠D＝45°，⊙O的半径为2，求出OD，进而求出AD．【解答】（1）证明：连接OC，∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，即∠BCD+∠OCB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠OBC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠A＝∠BCD；（2）解：在Rt△OCD中，∠D＝45°，OC＝2，∴OC＝CD＝2，∴OD＝OC＝2，∴AD＝OA+OD＝2+2．20．（2022•陇县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥DE；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．【分析】（1）连接OA，根据切线的性质可得∠OAE＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证OA∥DE，然后利用平行线的性质求出∠E＝90°，即可解答；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为F，根据垂径定理可得DF＝FC＝DC＝3，再利用（1）的结论可得四边形AEFO是矩形，从而可得EF＝OA＝5，AE＝OF，进而可得DE＝2，然后在Rt△OFD中，利用勾股定理求出OF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△AED中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OA，∵AE是⊙O切线，∴∠OAE＝90°，∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠ADE，∴OA∥DE，∴∠E＝180°﹣∠OAE＝90°，∴AE⊥DE；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，∴DF＝FC＝DC＝3，∠OFD＝90°，∵∠OAE＝∠E＝90°，∴四边形AEFO是矩形，∴EF＝OA＝5，AE＝OF，∴DE＝EF﹣DF＝5﹣3＝2，在Rt△OFD中，，∴AE＝OF＝4，在Rt△AED中，，∴AD的长是．21．（2022•济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可得∠OCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD＝60°，从而利用圆周角定理可得∠A＝30°，最后根据等角对等边，即可解答；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用（1）的结论可得BC＝AB＝6，再利用角平分线的定义可得∠BCE＝45°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】（1）证明