数学版教材习题点拨：用样本估计总体

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习A1．从一批灯泡中抽取50只灯泡作使用寿命的测试，所得数据如下(单位：h)：8869289999469508641050927949852102792897881610009181040854110090086690595489010069269009998861120893900800938864919863981916818946926895967921978821924651850根据上面的数据列出频率分布表,画出频率分布直方图、频率分布折线图，并估计寿命在1000～1150h的灯泡在这批灯泡中所占的百分比．解：在样本数据中，最大值是1120,最小值是651，所以极差为1120－651＝469.若取组距为60，则由于eq\f（467，60）≈7。82，要分8组，组数合适，于是决定取组距为60，分8组，把第一组起点稍提前，得分组如下：［645。5，705。5)，[705.5，765.5），…，［1065。5,1125。5］．列出频率分布表：分组频数频率［645。5，705。5)10。02[705.5,765.5）00[765。5,825。5）40.08[825。5,885。5)70.14［885。5,945.5)200.40［945.5，1005.5）120.24［1005。5，1065.5）40。08［1065.5,1125.5］20.04合计501由上表可以画出频率分布直方图、频率分布折线图．（如图)由上述图表可知寿命在1000～1150h的灯泡在这批灯泡中所占的百分比为eq\f（7,50)×100％＝14%。2．从某中学高三年级随机抽取80名男生的身高如下(单位：cm）：168184175182168190170188176193173179170173171193171159186175161165175187174162173178163172166178182175194177169174168170180178189161175173160179183171179162167166178185176165171175165180173157188178162176153174175167173181172163176175168177根据上面的数据列出频率分布表，画出频率分布直方图、频率分布折线图，并估计这所学校高三年级男生身高在165～175cm之间的比例．解：可计算极差为194－153＝41.若取组距为4，则由于eq\f（41,4)＝10.25,可以分11组，分组如下：[151。5,155。5），[155。5,159。5)，…，[191。5,195.5]．列出频率分布表：分组频数频率eq\f（频率，组距）［151。5，155.5）10。01250.003125［155.5,159.5)20.02500。00625［159。5，163。5）80。10000。025［163.5,167。5）70.08750。021875[167。5,171.5）120.15000。0375[171。5，175。5)190.23750.059375[175.5，179。5）140。17500。04375［179。5,183.5）60。07500.01875[183。5，187。5）40.05000。0125［187。5，191。5)40.05000。0125［191。5，195。5)30.03750.009375合计801。0000由上表可画频率分布直方图、频率分布折线图，如图所示．由图表可估计这所学校高三年级男生身高在165～175cm（不包括175cm)之间的比例约为eq\f(30，80）×100%＝37。5%。3．下面是某钢铁加工厂所生产钢管内径尺寸的另一个容量为100的随机抽样样本．25.3925。4125。4025.3725。3525.4025。3625。4125。4725。4025.3825.4525.4125。4625.3425.4525.4425。3425.3625.3725。3425.4425.4125.3325.4525.4425.3925.3825。3025.4125.4425.5025.3825.4825。4225。4325.4825。4425。4125.3925.3925.4125。4025.3725.3525。4025.3625。4125.4725.4025。4025。4525.3325.5125。4525。3925.3725.3525.4825。4125。3925.4625.5625.3425.5425.3825.3125。3725.2925。4225.4425.4225.4525.4425.4125.2625.3625。4325。4225。4925。4725.5125.4025。5025。4525.4425.4025.4925.3725.3825.3725.4725。4025。3925。4525。4225.3825。3725.3525。41根据样本数据列出频率分布表、画出频率分布直方图，并与书中的频率直方图比较，你能得到什么结论?解:计算极差为25.56－25。26＝0.30，若取组距为0.03，由于eq\f(0.30,0.03）＝10，可以分10组，分组如下：［25。26，25。29]，［25.29，25。32),…,[25。53，25.56]，列出频率分布表：分组频数频率eq\f(频率,组距)[25.26,25.29)10.010。33[25。29,25.32）30。031[25.32，25。35）60.062[25。35，25.38)160。165。33［25。38,25。41）230。237.67［25。41，25。44）180.186[25。44，25。47)180。186［25.47,25.50)90.093［25。50，25.53)40。041。33［25。53,25.56)20。020.67合计1001。00由频率分布表可作出频率分布直方图如图所示．由于抽样的随机性，当从同一总体中随机抽取两个不同的样本（容量相同)时，所形成的样本频率分布一般是不同的，但是它们都可以近似地看做总体的分布．4．某市对上、下班交通情况做抽样调查，上下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速如下（单位:km/h）：上班时间：303318273240262821283520下班时间：271932293629302225161730用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数．解:根据题意绘出该市上、下班交通情况的茎叶图,如下图所示．由图可知，上班时间行驶时速的中位数是28km/h，下班时间行驶时速的中位数是28km/h.练习B1．从一批洗衣粉中随机抽查50袋洗衣粉，测得的质量数据如下（单位：g)：494498493505496492490490500499494495483485502493505485501491493500509512484509510495497498504498483510503497502498497500493499505493491497515503498518列出频率分布表并画出频率分布直方图,这个频率分布能不能代表这批洗衣粉质量的分布情况呢？解：计算极差为518－483＝35，若取组距为5，由于eq\f(35，5)＝7，决定分7组，分组如下：[483，488），［488，493)，…，[513,518]．列出频率分布表:分组个数累计频数频率[483，488)50.10[488，493)50。10［493,498）140.28［498，503)130。26[503,508)60.12[508,513)50.10[513，518]20.04合计50501。00画出频率分布直方图(如图)：由于是对这批洗衣粉的随机抽样，所以该样本的频率分布能代表这批洗衣粉质量的分布情况．2．从总体中抽取容量为100的样本，数据分组及各组的频数如下：分组频数[22.7,25.7）6[25.7，28。7)16[28.7,31.7)18［31。7,34。7）22[34。7，37.7)20［37。7，40.7)10[40.7，43.7）8(1）列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；（3)根据频率分布直方图，估计小于35的数据所占总体的百分比．解：(1）频率分布表：分组频数频率［22.7，25.7)60.06［25。7,28.7）160.16［28。7，31.7)180.18［31。7，34.7)220.22［34.7，37。7)200.20［37.7，40.7）100.10[40.7,43。7）80。08合计1001。00（2）画频率分布直方图（如图):（3）小于35的数据所占总体的百分比约为0。64.3．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下（单位：分）：甲组76908486818786828583乙组82848589798091897974试用茎叶图表示两个小组的成绩．解析：茎叶图如图所示：练习A1．用自动包装机包糖，现从包装好的一批糖中任取9包,称得净质量数据如下(单位：kg)：99。298。6100。3101.398。399.899。4101.9100。5求出这9包糖的平均质量和质量的标准差,并估计包装好的这批糖的平均质量和标准差．解：这9包糖的平均质量为99.92kg,标准差为1。13，估计包装好的这批糖的平均质量为99。92kg，标准差为1.13。2．随机抽取某种节日彩灯5只，测得使用寿命如下（单位：h）：15021453106711561196计算这5只节日彩灯的平均使用寿命及使用寿命的标准差，并估计这种节日彩灯的平均使用寿命及使用寿命的标准差．解：这5只节日彩灯的平均使用寿命为1274。8h，使用寿命的标准差为171。4;估计这种节日彩灯的平均使用寿命为1274.8h，使用寿命的标准差为171。4.3．计算2。2。1节练习A第3题中样本数据的平均数和标准差,并与本节例4的结果相比较，你有什么体会．解：样本平均数为25.409，标准差为0.053。练习B1．某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取8粒，量得直径分别为（单位：mm)：14．814。615.115。014。915.115。014。9试估计该厂生产的滚珠直径的平均数和标准差．解:eq\x\to(x)＝14。925mm,s≈0。156mm.2．从1000个零件中抽取10件,每件长度如下(单位：mm)：22．3622.3522.3322.3522。3722。3422.3822.3622。3222.35使用函数型计算器计算样本的平均数和标准差,并估计总体的平均数和标准差．解：eq\x\to（x）＝22。351mm，s≈0.017mm.习题2－2A1．为了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下(单位：cm）：175168170176167181162173171177179172165157172173166177169181160163166177175174173174171171158170165175165174169163166166174172166172167172175161173167(1)列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图；(2）计算样本的平均数和标准差；（3)由样本数据估计总体中有多少数据落入区间（eq\x\to（x)－s,eq\x\to(x)＋s）．解：(1）计算极差为181－157＝24,若取组距为4，由于eq\f（24，4）＝6,所以分6组．分组如下：[157,161）,［161，165)，…,［177，181]．列出频率分布表：分组频数频率eq\f（频率,组距）[157，161）30。060.015［161,165)40。080。02[165,169)120.240.06［169,173）120。240.06［173，177）130.260.065[177,181］60.120.03合计501。00画出频率分布直方图(如图)．(2）eq\x\to（x）＝170.1（cm)，s≈5。608（cm)．(3)由上述图表可估计落入区间(eq\x\to（x）－s，eq\x\to(x）＋s），即(164。5,175。7)内的数据约为36个，占eq\f（36，50)×100%＝72％.2．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度，结果如下（单位:mm）：822023523212529329386282063233553573332511323329450296115236357326523011403282383585825514336034030237034326030359146602631703053803466130517534826438362306195350265385（1)列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图；(2）计算样本的平均数和标准差;（3）由样本数据估计总体中有多少数据落入区间(eq\x\to(x)－2s，eq\x\to(x)＋2s)．解：（1)计算极差为385－25＝360.若取组距为60，由于eq\f（360,60）＝6，决定分6组,分组如下:[25,85)，［85,145）,…，[325,385]．列出频率分布表：分组个数累计频数频率[25,85)110.183［85，145)50.083［145,205）正50.083[205,265)80.134［265,325)130.217［325,385］180.300合计60601。00画出频率分布直方图(如图）．(2)eq\x\to（x)＝238(mm）,s≈113.94（mm）．（3)由上述图表可估计总体中落入区间（eq\x\to(x)－2s,eq\x\to（x)＋2s),即(10。12,465.88)内的数据约为100%.3．在同等条件下,对30辆同一型号的汽车进行耗油1L所行走路程的试验，得到如下数据(单位:km）：14．112。313。714.012。812.913。113.614.413。812.613。812.613.213。314.213.912.713.013.213。513。613。413。612。112。513。113.513.213。4以前两位数为茎画出上面数据的茎叶图(只有单侧有数据)，并找出中位数．解：可见，中位数为13。35(如图）．4．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示(单位:m)：成绩1.501.601。651.701.751。801.851.90人数23234111计算这些运动员成绩的平均数（计算结果保留到小数点后两位）．解：eq\x\to(x