数学版本章整合学案：第二章平面向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章整合知识网络专题探究专题一平面向量的线性运算（1)向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．（2)向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．(3）理解向量的有关概念(如，相等向量与相反向量、平面向量基本定理等)，用基底表示向量，三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础．(4）题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．【例1】如图,四边形ABCD是梯形，AB∥DC，且AB＝2CD,M，N分别是DC和AB的中点,已知＝a，＝b，试用a，b表示，．分析:本题要求用a，b表示和，而a，b不共线，由平面向量基本定理,知此平面内任何向量都可用a，b唯一表示,因此需结合图形寻找,与a，b的关系．解：如图，连接DN，CN．因为N为AB的中点,且=a，所以==．又AB=2CD，且AB∥CD，所以==a．所以==a．所以在△ADN中，=-=a-b，在△DMN中，＝－＝－b－＝－b,在△MNC中，＝－＝－＋b＝b，在△NBC中，＝－＝b－．所以＝－＋b，＝－b．专题二平面向量的坐标运算（1）向量的坐标运算把向量线性运算转化为代数运算，达到数与形的统一．(2）平面向量的坐标运算主要解决求向量的坐标，判断向量共线、平行等问题．【例2】已知A（－1,0），B(0，2)，C（－3，1），且·＝5，2＝10．（1）求D点的坐标；（2)用，表示．分析:利用待定系数法建立有关未知量的方程求解．解：（1)设D点的坐标为（x,y),则＝（1，2)，＝（x＋1，y),所以·＝x＋1＋2y＝5，①eq\x\to(AD）2＝(x＋1）2＋y2＝10．②联立①②，解得或所以D点的坐标为（－2,3)或(2,1）．（2)当D点的坐标为(－2,3）时,＝（1，2），＝（－1,3)，＝(－2,1）．设＝m＋n，则(－2,1)＝m（1，2）＋n(－1,3）．所以所以所以＝－＋．当D点的坐标为（2，1)时,＝(3，1）．设＝p＋q，则（－2,1）＝p（1,2）＋q（3，1),所以所以所以＝－．所以当D点的坐标为(－2,3)时，＝－＋；当D点的坐标为(2,1）时,＝－．专题三平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两个向量垂直、平行，求两个向量的夹角，计算向量的长度等．【例3】设0〈|a｜≤2,f（x)＝cos2x－|a｜sinx－|b｜的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b｜．分析：要求|a＋b|，需知道|a｜，｜b｜，故可利用函数的最值先确定|a|,｜b|的值．解：f(x）＝1－sin2x－｜a｜sinx－｜b|＝－＋－｜b|＋1．因为0〈｜a|≤2，所以当sinx＝－时，f（x）取得最大值，即－|b｜＋1＝0．①当sinx＝1时，f（x）取得最小值，即－｜a｜－|b｜＝－4．②由①②，解得所以|a＋b|2＝(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×2cos45°＋22＝8＋．所以｜a＋b|＝．【例4】已知四边形ABCD中，＝（6,1)，＝(x，y），＝（－2,－3）．(1)若∥，求y＝f（x)的解析式;（2）在（1)的条件下，若⊥，求x,y的值以及四边形ABCD的面积．分析：（1)利用向量平行的坐标表示，整理后可得函数的解析式;（2）根据条件先求出x,y的值，再求出|｜,||，然后利用S四边形ABCD＝||｜|求四边形ABCD的面积．解：(1)＝－(＋＋)＝(－x－4,2－y)．因为∥，所以x(2－y）－(－x－4）y＝0．整理，得x＋2y＝0，所以y＝f（x）＝－x．（2）因为＝＋＝（x＋6，y＋1)，＝＋＝（x－2，y－3),且⊥，所以·＝0，即(x＋6）（x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0．由(1）,知x＝－2y，将其代入上式,整理得y2－2y－3＝0，解得y1＝3，y2＝－1．当y＝3时，x＝－6，则＝（－6,3），＝（0,4），＝（－8，0），所以|｜＝4，|｜＝8，所以S四边形ABCD＝|｜||＝×4×8＝16．当y＝－1时，x＝2，则＝（2，－1），＝(8，0)，＝（0,－4）,所以｜|＝8，||＝4，所以S四边形ABCD＝||｜｜＝×8×4＝16．专题四向量中的数学思想1．数形结合思想数形结合思想是研究平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导的基本思想方法．向量的坐标表示的引入,使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段（或射线、直线）平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．【例5】已知在同一平面内的向量a与b垂直,向量c与向量a的夹角为60°，且|a|＝1，｜b｜＝，|c|＝2，则向量r＝a＋b＋c的模等于__________．解析:根据题意在平面内作出向量a,b，c，有两种情况，如图所示，在图(1）中，a＋b与c同向且模相等，所以r＝a＋b＋c＝2c，所以｜r｜＝2｜c|＝2×2＝4;在图（2）中，a＋b与c的模相等,以它们为邻边的平行四边形为菱形，因为r＝a＋b＋c，所以｜r｜＝|c｜＝2．故填4或2．答案：4或2点评根据题意准确作图非常关键，特别注意不要漏解，再用向量加法的平行四边形法则找到所求向量．2．转化与化归思想转化与化归思想在平面向量的应用中分为两个方面：一方面是向量问题可以应用基向量法或向量的坐标法解决或转化为函数、不等式、三角函数等知识解决;另一方面是将其他问题转化为向量问题，应用向量知识解决．【例6】已知Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝m,BC＝n．（1）若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB．(2）若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F，求AF的长度（用m，n表示）．(1）证明：以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线为x轴，y轴建立直角坐标系,如图所示,A（0,m），B（n,0)．因为D为AB的中点，所以D．所以|｜=，|｜=．所以||=||,即CD=AB．（2)解：因为E为CD的中点，所以E．设F（x,0），则=，=(x,-m)．因为A，E，F共线,所以存在实数λ，使=λ,即（x，—m)=λ，所以即x=,即F,所以||=．名师点拨坐标法把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把代数问题转化为向量问题的桥梁．因此，我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化,从而达到扬长避短的目的．3．分类讨论思想当数学问题中含有变量或参数，而这些变量或参数取不同值会导致不同的结果时，需要对参数进行分类讨论．分类讨论时，应遵循不重不漏的原则,逐类进行，还必须对讨论结果加以综合，使解题步骤规范、完整．【例7】若在△ABC中，＝(－2，3），＝(1，m),且△