专题08 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（解析版）

专题08三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=例1．（2023·辽宁本溪·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（

）A．20° B．10° C．50° D．60°【答案】B【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据AE为角平分线，求出∠BAE的度数是多少；最后在Rt△DAC中，求出∠DAC的度数，即可求出∠EAD的度数是多少．【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，∵AE为∠BAC角平分线，∴∠EAC=80°÷2=40°，∵AD为△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°，即∠EAD的度数是10°，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形高、中线的定义，解答此题的关键是明确：三角形的内角和是180°．例2．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论：的面积＝的面积；；；．其中结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．【详解】解：是的中线的面积等于的面积

故正确；，是的高，是的角平分线又故正确；

故正确；故错误；故选：C【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是3cm．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE＝CE，再表示△ACE的周长和△ABE的周长，化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB即可．【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴S△ACB=AB•AC＝BC•AD，∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的长度为cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：在中，，分别是的高和角平分线，

(1)若，．求的度数．(2)试求与有何关系？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，求出，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案；（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据三角形高的定义可知，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案．【详解】（1）解：，，，是的平分线，，是的高，，，，；（2）解：，理由如下：，，是的平分线，，是的高，，，．【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形的高，三角形的内角和定理，能求出和的度数是解此题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2023·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】根据直角三角形中的两个锐角互余求得，根据三角形的外角性质可得，即可求解．【详解】解：∵在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．例2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据面积相等列出比例求解即可．【详解】解：∵的边上的高为，边上的高为，，，∴，即：，∴，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高，根据面积相等列出等式是解题的关键．例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

【答案】(1)(2)【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面积法，由代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，，∴．【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键．模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·湖南娄底·八年级期中）如图，，于点，则图中互余的角有（

）对．

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据余角的定义以及直角三角形两锐角互余的性质解答即可．【详解】解：，与互余，与互余．，，．与互余，与互余．故选：B．【点睛】本题主要考查的是余角的定义，掌握余角的定义是解题的关键．例2．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．【答案】见解析【分析】根据可得，再根据，即可求证．【详解】证：∵，∴又∵，∴又∵，∴∴【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．例3．（2023·山东八年级月考）如图，在中，，是角平分线，且，求证：．

【答案】见解析【分析】根据是的角平分线，可得，由，得出，根据已知条件以及对顶角相等得出，进而根据等量代换得出，进而得出，即可得证．【详解】解：∵是的角平分线，∴，∵在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．例4．（2023·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，则CH的长为（

）.A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2【答案】A【分析】根据等面积法可以求得CH的长．【详解】解：，解得CH=2.4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的面积，用两种方法表示出三角形的面积是解题的关键．例5．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．

(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；条件：______，结论：______．（填序号）证明：(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）【答案】(1)①②；③；见解答(2)【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得，由和，得出，利用三角形内角和可得结论；（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案．【详解】（1）条件：①②，结论：③，证明：∵是的角平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的高．条件：①③，结论：②，证明：∵是的高，∴，∴，∵，，，∴，∴是的角平分线；条件：②③，结论：①，证明：∵是的角平分线，∴，∵是的高，∴，∴，∵，，∴；故答案为：①②；③；证明：见解答；（2）∵，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴．【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性质是解题关键．课后专项训练1．（2023上·广东广州·八年级广州市第三中学校联考期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握这些概念是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的概念进行判断即可．【详解】解：是中线，，故A选项正确，不符合题意；是角平分线，，故B选项正确，不符合题意；是高，，，故C选项正确，不符合题意；同高，，故D选项错误，符合题意；故选：D．2．（2023下·云南昆明·八年级统考期中）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（

）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF【答案】C【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．3．（2023下·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=60°，则∠BPC等于（

）A．90° B．120° C．150° D．160°【答案】B【分析】由∠A=60°，高线CD，即可推出∠ACD=30°，然后由∠BPC为△CPE的外角，根据外角的性质即可推出结果．【详解】解：∵CD⊥AB，∠A=60°，∴∠ACD=30°，∵BE⊥AC，∴∠CEP=90°，∴∠BPC=∠ACD+∠CEP=120°．故选：B【点睛】本题主要考查垂线的性质，余角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质的知识点，关键在于根据相关的定理推出∠ACD和∠CEP的度数．4．（2023上·湖北黄石·八年级校联考期中）如图，在锐角中，，分别是，边上的高，且，相交于点P，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是三角形高的含义，多边形的内角和定理的应用；根据三角形的高先求解，再利用四边形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵，分别是，边上的高，∴，，∴，∴．故选：D．5．（2023下·安徽宿州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（）A．与∠1互余的角只有∠2B．∠A与∠B互余C．∠1＝∠BD．若∠A＝2∠1，则∠B＝30°【答案】A【分析】根据直角三角形两锐角互余和等角或同角的余角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵CD⊥AB，∴∠1+∠A＝90°，∴与∠1互余的角有∠2与∠A两个角，故本选项错误；B、∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A与∠B互余，故本选项正确；C、∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，∴∠1＝∠B，故本选项正确；D、∵∠A＝2∠1＝2∠B，∴∠A+∠B＝3∠B＝90°，解得∠B＝30°，故本选项正确．故选A．【点睛】此题考查三角形内角和定理，余角和补角，解题关键在于掌握各性质定理.6．（2023下·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积等于的面积；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质、等腰三角形的判定可对②进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对③进行判断．【详解】解：是中线得到，，故①正确；，是高，∴，，是角平分线，，，，，，故②正确；，，，而，，故③正确．根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．7．（2022下·山东青岛·七年级统考期末）如图，中，是边上的高，是的平分线，若，，则°．【答案】36【分析】先根据是的平分线计算出，再根据是边上的高计算出，再根据三角形外角和定理求出．【详解】解：∵是的平分线，∴，∴，∵,∴,∵，∴，故答案为：36．【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解此题的关键．8．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则．

【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵，∴∵平分∴当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，如图1，

∵，∴；②当时，如图2，

∴，∵，∴，综上，的度数为或．故答案为：50或25．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键．9．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，分别是边上的高，已知；若，则的度数为．【答案】/度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．【详解】解：∵分别是边上的高，∴∵，∴∵，∴∴，∴故答案为：10．（2023上·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为．

【答案】【分析】本题考查了三角形的面积计算，运用不同的底和高计算一个三角形的面积，关键要注意选取三角形底边时，要准确找到底边所对应的高．【详解】解：∵，∴，即，故答案为：．11．（2023下·山西临汾·八年级统考期中）如图，在中，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连结，．若，，则的度数为．

【答案】32度/【分析】证明得到，根据三角形的内角和定理求得即可．【详解】解：，分别是，边上的高，.，..在和中，，，，..，.【点睛】本题考查三角形的高、全等三角形得判定与性质、三角形的内角和定理，证明是解答的关键．12．（2023下·上海宝山·七年级统考期末）如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，如果，那么°．

【答案】50【分析】根据，，求出，根据，求出．【详解】解：∵为边上的高，∴，∵，∴，∵为边上的高，∴，∴．故答案为：50．【点睛】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键在于根据高线定义推出和．13．（2023上·福建莆田·七年级统考期末）如图所示，AD、BE分别是钝角三角形ABC的边BC、AC上的高．求证：=【答案】证明见解析．【分析】利用三角形面积公式可得，代入数值即可求解．【详解】解：由题意知，，∴．【点睛】本题考查求三角形的高，根据三角形面积公式列出等式是解题的关键．14．（2023下·八年级课时练习）已知：如图，在中，，，垂足为D．求证：．【答案】见解析【分析】根据直角的定义与同角的余角相等即可求解．【详解】在中，∵（已知），∴°（三角形内角和定理）．∵（已知），∴（垂直的定义）．∴（三角形内角和定理）．∴（同角的余角相等）．【点睛】此题主要考查直角三角形的角度求解，解题的关键是熟知直角的定义．15．（2023下·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．

(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据，得出，求出，最后根据得出结果；（2）根据角平分线的定义得出，根据高线的定义得出，求出，根据，得出，根据求出结果即可．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，∵是的平分线，∴，∵是边上的高，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，是的平分线，∴，∵是边上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．16．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线，（1）下列结论：①，②，③，④与互余，其中错误的是______（只填序号）．（2）若，，求的度数．【答案】（1）①；（2）．【分析】（1）依据AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出，，，据此分别判断各选项即可；（2）先根据三角形的内角和求出∠BAC，然后分别求出∠BAE和∠BAD，再利用角的和差计算即可．【详解】解：（1）∵，，分别是的高线，角平分线，中线，∴，，，而不一定成立，故①不正确，②正确；∴，∴，即与互余，④正确；∴，,∴，③正确；综上所述，错误的是：①；（2）∵，，∴，∵，∴，∴【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键．17．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．（2）如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，．①_________；（用含x的式子表示）②求的度数．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和高线的定义分别求出，，即可求出；（2）①根据三角形内角和定理即可求解；②根据角平分线定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出．【详解】解：（1）∵，，∴．∵是的角平分线，∴．∵是的高，∴，∴在中，，∴．（2）①∵，，∴．故答案为：；②∵平分，∴，∴，∵，∴在中，．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形两锐角互余，与三角形角平分线，高线有关的角的计算等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．18．（2023下·河南周口·八年级校联考期中）如图，在中，，，的高和角平分线交于点F．求的度数．【答案】【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据对顶角相等即可得．【详解】解：，，，是的角平分线，，是的高，，，由对顶角相等得：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．19．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图所示，在中，分别是上的