专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（原卷版）

专题07三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D例1．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中（填“增大”或“减小”）度．例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求的度数．

例3．（2022·甘肃白银·八年级统考期末）如图1，已知线段、相交于点O，连接、.（1）求证：；（2）如图2，与的平分线、相交于点P，求证：.例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．求证：（1）；（2）．例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．模型2、“A”字模型结论：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（

）A． B． C． D．例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为(

)A．∠1+∠2>∠3+∠4B．∠1+∠2<∠3+∠4C．∠1+∠2=∠3+∠4D．数量关系取决于∠C的度数例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（

）．A． B． C． D．例5．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳：(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则度．(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是．(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是．例6．（2023春·浙江七年级课时练习）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·四川广元·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（

）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（

）A． B． C． D．例3．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）一副三角尺按如图所示叠放在一起，则图中的度数为．例4．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则．

例5．（2023·甘肃庆阳·七年级校考期末）一副直角三角板按照如图所示放置，注意观察和的数量关系.（1）如图①，和的数量关系是______；（2）如图②，将两个直角三角板的直角顶点置于一点，无论如何旋转其中一个直角三角板（两直三角板无重叠），和的数量关系是______；（3）如图③，将两个直角三角板的直角顶点置于一点，旋转后使两直三角板有重叠，请直接写出和的数量关系，并说明理由.课后专项训练1．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（

）A．90° B．360° C．180° D．无法确定2．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（

）．A． B． C． D．3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图所示，则的度数是．4．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，°．5．（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为．

6．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝7．（2023春·江苏徐州·七年级期末）如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则°．

8．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=°．（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=°．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．9.（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，度．10．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，．11．（2023春·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图，已知，则为.12．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）将一副三角尺如图摆放，其中，，，，则．

13．（2022秋·甘肃陇南·八年级校考期中）如图，中，若图中沿虚线剪去，则°．14．（2023春·山东泰安·七年级统考期中）如图，CE是的外角的平分线，且CE交BA的延长线于点E．(1)求证：．(2)若，时，求的度数．15．（2023秋·重庆八年级课时练习）如图，在中，点D，E分别在边，上，，平分．(1)求证：．(2)若，，求的度数．16．（2023春·上海·七年级专题练习）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．17．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图中，△AOB的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．

(1)如图1，在“对顶三角形”与中，若，则；(2)如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数．(3)如图3，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点，设，直接写出的度数（用含的式子表示）．18．（2023·广东惠州·八年级校考期中）已知：在和中，，，将如图摆放，使得的两条边分别经过点B和点C．(1)当将如图1摆放时，则______；(2)当将如图2摆放时，请求出的度数；(3)能否将摆放到某个位置时，使得同时平分和？并说明理由．19．（2023·江苏苏州·七年级校考阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．（2）如图②，分别平分，若，求的度数．（3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示）20．（2023春·江苏·七年级专题练习）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外