专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（原卷版）

专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023下·北京顺义·七年级统考期末）如图，，若，，则的大小为（

）

A． B． C． D．例2．（2023下·陕西西安·七年级校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是．例3．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知，那么（

）

A．180° B．270° C．360° D．540°例4．（2023下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°例5．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，直线，点分别在直线和直线上，点在两条平行线之间，和的角平分线交于点，已知，则的度数为．

例6．（2023下·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（

）

A．B．C．D．例7．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．例8．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．(1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题：①当，（即时，求的度数；②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．（提示：三角形的内角和等于(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数________；例9．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，，点P在与之间，可得结论：．理由如下：过点P作．∴．∵，∴．∴．∴．【问题解决】(1)如图②，，点P在与之间，求证：；(2)如图③，，点P在与之间，平分，平分，写出与间的等量关系，并写出理由；(3)如图④，，点P，E在与之间，，，可得与间的等量关系是______（只写结论）课后专项训练1．（2023·河北邢台·七年级校考期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（

）

A． B． C． D．2．（2023下·湖北随州·七年级校联考期中）如图，，，则（

）

A． B． C． D．3．（2023下·云南昆明·七年级统考期末）如图，已知，为、之间的一点，连接、，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．4．（2023下·湖北襄阳·七年级襄阳四中校考阶段练习）如图，已知，则（

）

A． B． C． D．5.（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（）

A．55° B．70° C．60° D．35°6．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为．（用含n的式子表示）8．（2023上·福建南平·八年级校考期中）如图，在五边形中，，分别是，的外角，则的度数为．

9．（2023下·山东青岛·七年级校考期中）某路口红绿灯的平面示意图如图所示，平行于地面，垂直于地面，已知的度数是，则的度数是°．10．（2023下·江西吉安·七年级校联考期中）如图按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为．

11．（2023下·湖南永州·七年级统考期末）如图所示，已知，，，则的度数是．

12．（2023下·山东八年级课时练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．13．（2023下·河北保定·七年级校考期中）如图，已知，则，则等于（用含的式子表示）．

14．（2023下·湖北随州·七年级统考期末）如图，已知，，平分，，在式子：①；②；③；④中，值为的序号是．

15．（2023下·湖南长沙·七年级统考期末）（1）如图一，，，，则．（2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为．

16．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．17．（2023·广东肇庆·七年级校考阶段练习）如图，已知，，求的度数．

18．（2023·成都·九年级专题练习）如图所示，直线，，，求的度数.19．（2023下·广东梅州·七年级校考期中）如图，已知，点C在和之间、连接，与的平分线交于点F，求与之间的数量关系．

20．（2023·重庆·九年级专题练习）如图所示，，与的角平分线相交于点，（1），，求与之间的数量关系；（2），，设，直接用含有，的代数式表示写出∠M=____.21．（2023·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．22．（2023下·河南三门峡·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行，小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出．

(1)如图1，点O在一条格线上，当时，__________；(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（可根据证明的需要用a，b，c，…来表示图中的格线）；(3)在图3中，记与图中一条格线形成的锐角为，小明作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．23．（2023下·山西长治·七年级校考阶段练习）综合与探究已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点．(1)在图1中，，，之间的数量关系为___________，，之间的数量关系为___________(2)如图2，若，，试猜想和之间的数量关系，并加以证明．(3)若，，请直接写出和之间的数量关系；24