第二讲 一次函数（典例精讲）（解析版）

2023年中考数学典型例题系列之函数篇第二讲一次函数（解析版）编者的话：《2023年中考数学典型例题系列》是基于教材考点和中考真题总结和编辑的，初中数学由于不同地区与不同版本的差异，题型分类十分繁多，本系列包括高频考点和题型，部分考点和考题酌情讲解训练。该系列按篇目进行分类，每篇目包含多讲，每讲又分为典型例题和专项练习两个部分，典型例题以知识考点和典型真题为例，专项练习以对应典例为准进行针对训练。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样，欢迎使用和提出宝贵建议。一、一次函数的图像和性质。概念一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，即y=kx，这时称y是x的正比例函数（一次函数的特殊形式）增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少图像b＞0b=0b＜0b＜0b=0b＜0象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴交点b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上【提分要点】若两直线平行，则；若两直线垂直，则二、一次函数图像的平移。平移前平移方式（m＞0）平移后简记y=kx+b向左平移m个单位长度y=k（x+m）+bx左加右减向右平移m个单位长度y=k（x-m）+b向上平移m个单位长度y=kx+b+m等号右端整体上加下减向下平移m个单位长度y=kx+b-m三、一次函数的解析式。方法待定系数法步骤设：一般式y=kx+b（k≠0）（题干中未给解析式需设）代：找出一次函数图像上的两个点，并且将点坐标代入函数解析式，得到二元一次方程组；求：解方程（组）求出k、b的值；写：将k、b的值代入，直接写出一次函数解析式四、一次函数与方程（组）、不等式。与一元一次方程的关系方程ax+b=0（a≠0）的解是一次函数y=ax+b(a≠0）的函数值为0时自变量的取值，还是直线y=ax+b(a≠0）与x轴交点的横坐标与二元一次方程组的关系方程组的解时直线的交点坐标与一元一次不等式的关系从“数”来看kx+b＞0的解集是y=kx+b中，y＞0时x的取值范围kx+b＞＜0的解集是y=kx+b中，y＜0时x的取值范围从“形”上看kx+b＞0的解集是y=kx+b函数图像位于x上方部分对应的点的横坐标kx+b＜0的解集是y=kx+b函数图像位于x下方部分对应的点的横坐标【考点一】正比例函数和一次函数的定义。【典型例题1】2022·辽宁沈阳·统考二模）若，y是x的正比例函数，则b的值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根据y是x的正比例函数，可知，即可求得b值．【详解】解：∵y是x的正比例函数，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．【典型例题2】（2022·四川成都·统考二模）若函数是一次函数，则的值为（

）A．-1 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案．【详解】解：由题意可得，m-1≠0，∴m=-1，故选A【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键．【典型例题3】（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）下面哪个点在函数的图象上（

）A．(2，1) B．(-2，1) C．(2，0) D．(-2，0)【答案】D【分析】将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上的点．【详解】解：A、将x=2代入解析式y=x+1得，×2+1=2≠1，故本选项不符合题意；B、将x=-2代入解析式y=x+1得，×（-2）+1=0≠1，故本选项不符合题意；C、将x=2代入解析式y=x+1得，×2+1=2≠0，故本选项不符合题意；D、将x=-2代入解析式y=x+1得，×（-2）+1=0，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．【典型例题4】（2022春·四川广安·九年级专题练习）若点在直线上，则代数式的值为______．【答案】6【分析】把点P代入一次函数解析式，可得，化简带值可求出结论．【详解】解：∵点在直线上，∴，变形得：，代数式；故答案为：6．【点睛】本题考查整式的化简求值，找准变量系数之间的关系是解题的关键．【对应练习1】（2023·全国·九年级专题练习）若函数是一次函数，则m的值为（

）A．±1 B．﹣1 C．1 D．2【答案】B【分析】根据一次函数的定义进行计算即可．【详解】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，所以，m＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．【对应练习2】（2022·四川德阳·统考二模）已知点A的坐标为和点B的坐标为都在一次函数图象上，则的值为________．【答案】4【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出y1，y2的值，作差后即可求出结论．【详解】解：当x=a时，y1=4a-2；当x=a+1时，y2=4（a+1）-2=4a+2．∴y2-y1=4a+2-（4a-2）=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出y1，y2的值是解题的关键．【考点二】正比例函数和一次函数的图像与性质。【典型例题1】（2022·四川眉山·统考一模）若一元二次方程x2−4x−4m=0有两个不相等的实数根，则正比例函数y=(m+2)x的图象所在的象限是（

）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】B【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m的取值范围，进而可得m+2的取值范围，然后再根据正比例函数的性质可得答案．【详解】解：∵一元二次方程x2-4x-4m=0有两个不等的实数根，∴△=b2-4ac=16+16m＞0，∴m＞-1，∴m+2＞1，∴正比例函数y=(m+2)x的图象所在的象限是第一、三象限，故选：B．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m的取值范围．【典型例题2】（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．随增大而增大 B．图象经过第三象限 C．当时， D．当时，【答案】C【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】解：A、随增大而减小，则此项错误，不符合题意；B、图象不经过第三象限，则此项错误，不符合题意；C、函数图象与轴的交点的纵坐标为，所以当时，，则此项正确，符合题意；D、当时，，则此项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．【典型例题3】（2021·陕西西安·校考一模）下列与的函数中，随的增大而增大的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质、一次函数的性质和正比例函数的性质即可求解．【详解】解：A．y=2-x，随的增大而减小，故A不符合题意；B．，随的增大而增大，故B符合题意；C．，随的增大而减小，故C不符合题意；D．，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质和正比例函数的性质，逐个判断四个选项即可得出正确答案．正比例函数和一次函数：当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小；二次函数：当a>0时，时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当a<0时，时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．【典型例题4】（2022·甘肃兰州·统考中考真题）若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，∴y随着x的增大而增大．∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，∴y1＜y2．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．【典型例题5】（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）将直线向上平移个单位长度后，所得直线的表达式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减”的原则可知：直线向上平移个单位长度，得到直线的解析式为：，即．故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．【典型例题6】（2018·四川广安·统考中考模拟）已知一次函数不经过第三象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数的图象与k、b的关系列不等式组求解即可．【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．【典型例题7】（2022·四川广安·统考三模）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C．D．【答案】C【分析】根据一次函数自变量的系数为1，可判定一次函数的图象经过一、三象限，再对一次函数和正比例函数分类讨论，若时，刚好符合题意的是C选项．【详解】A选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过一、三象限，但图上经过二、四象限，不正确；B选项，一次函数的图象错误，不正确；C选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过一、三象限，正确；D选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过二、四象限，但图上经过一、三象限，不正确；故选C．【点睛】本题考查正比例函数和一次函数中、对图象的影响，熟练掌握、决定函数图象过的象限是解决本题的关键．【典型例题8】（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，过点作x轴垂线交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形……则的坐标为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出，，，得出规律后即可求解．【详解】解：∵过点作x轴垂线交直线于点，∴，∵以的长为边在右侧作正方形，∴，同理，可得，，…∴的坐标为，故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数的图象的应用和正方形的定义，解题关键是发现规律．【对应练习1】（2022春·云南临沧·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（

）A．y随x的增大而减小 B．C．的解集是 D．直线不经过第二象限【答案】C【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得解．【详解】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，故选项A错误；∵一次函数y＝2x＋b的图象经过点（0，4），∴b＝4，故选项B错误；∵一次函数y＝2x＋b随x的增大而增大，经过点（0，4），∴2x＋b＞4的解集是x＞0，故选项C正确；∵k＞0，b＞0，∴一次函数y＝2x＋4的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合是求解的关键．【对应练习2】（2022·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据正比例函数的性质可得，再根据一次函数的图象与性质即可得．【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，，一次函数的随的增大而减小，与轴的交点位于轴正半轴，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．【对应练习3】（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知一次函数与正比例函数（m，n为常数，），则函数与的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A、由一次函数的图象得：，则；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确，符合题意；B、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确，不符合题意；C、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确，不符合题意；D、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．【对应练习4】（2022·河南洛阳·统考一模）下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别根据正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的性质．一次函数的性质进行解答．【详解】解：A．∵开口向下，对称轴是直线，且函数图像过点，则函数图像过一．三．四象限，故本选项符合题意；B．∵的系数，∴函数图像过二．四象限，故本选项错误；C．在中，，，则函数过一．二．三象限，故本选项错误；D．∵中，，∴函数图像过二．四象限，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的图象与性质．一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．【对应练习5】（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）在一次函数中，随的增大而增大，且，则在坐标系中它的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】解：∵一次函数，y随着x的增大而增大，∴．∵，∴，∴此函数图象经过一、三、四象限．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知函数中，当时函数的图象经过第一、三、四象限是解答此题的关键．【对应练习6】（2022·四川眉山·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．【详解】∵一次函数的值随的增大而增大，∴解得：∴在第二象限故选：B【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．【对应练习7】（2021·四川成都·校联考三模）一次函数y=x+m+2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是_______．【答案】m≤-2【分析】由一次函数y=x+m+2的图象不经过第二象限，可得k＞0，b≤0，列不等式求解即可．【详解】解：∵一次函数y=x+m+2的图象不经过第二象限，∴m+2≤0，解得m≤-2，故答案为：m≤-2．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．【对应练习8】（2022·全国·八年级专题练习）已知一次函数的值随值的增大而增大，那么该函数的图象经过第___________象限．【答案】一、二、三【分析】根据一次函数的值随值的增大而增大，可得，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限．【详解】解：一次函数的值随值的增大而增大，，该函数图象经过第一、二、三象限，故答案为：一、二、三【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【对应练习9】（2022·江苏淮安·统考模拟预测）将直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________．【答案】【分析】根据一次函数平移的规律解答．【详解】解：直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为y＝2x－1－3=2x－4，即y=2x－4，故答案为y=2x－4．【点睛】此题考查了一次函数平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键．【对应练习10】2022·四川内江·校考二模）如图，已知直线，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；……，按此作法继续下去，则点的坐标是________；【答案】【分析】先求出点B的坐标为，得到，求出，再求出得到，求出；同理得到，，；由此得到规律求出答案．【详解】将代入中得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；同理：，，∴，∴；，∴点的坐标为，故答案为：．【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键．【考点三】正比例函数和一次函数的解析式。【典型例题】（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）若一个正比例函数的图象经过点，，则n的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设正比例函数解析式为，利用A点坐标求出解析式，再将B点坐标代入解析式即可求出n．【详解】解：设正比例函数解析式为，∵在函数图象上，∴，解之得：，故其解析式为，∵在函数图象上，将其代入得到：，故选：B．【点睛】本题考查正比例函数，会利用待定系数法求解析式，已知解析式和解析式上点的横坐标，会求纵坐标，解题的关键是利用A点坐标求出解析式．【对应练习1】（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点，(1)求该一次函数的解析式；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把A点和B点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；（2）先分别求出确定点C，D点坐标，可得，，再根据正切的定义，即可求解．【详解】（1）解：把，代入，得，解得，∴一次函数解析式为；（2）解：把代入得∶，把代入得∶，所以D点坐标为，点C的坐标为，所以，，所以．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式，也考查了锐角三角函数．【对应练习2】（2022春·四川成都·九年级专题练习）第31届世界大学生夏季运动会定于2022年6月26日至7月7日在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会。某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量（个）与每个的销售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求与之间的函数关系式；(2)该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润?最大利润是多少元?【答案】(1)(2)当销售单价为元时，该超市可获得最大利润，最大利润是元【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）根据题意列出函数关系式，根据题意确定自变量取值范围，根据二次函数的性质即可求得最大值．【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，将点代入得，，解得，设与之间的函数关系式为．（2）解：依题意得，，时，随的增大而增大，纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，则，时，取得最大利润，最大利润为．当销售单价为元时，该超市可获得最大利润，最大利润是元．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【对应练习3】（2022·四川成都·校考二模）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y＝1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．(1)请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；(2)如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求出总利润W的最大值．【答案】(1)(2)小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，且总利润W的最大值为60000元．【分析】（1）根据题意设y＝kx＋b，如何待定系数法求解可得；（2）根据总利润＝每亩利润×亩数，分0＜x≤15和15＜x≤50两种情况分别求解可得．（1）解：设y＝kx＋b，将x＝15、y＝1900和x＝35、y＝1500代入得：，解得：，∴y＝−20x＋2200．（2）当0＜x≤15时，W＝1900x，∴当x＝15时，W最大＝28500元；当15＜x≤50时，W＝（−20x＋2200）x＝−20x2＋2200x＝−20（x−55）2＋60500，∵15＜x≤50，∴当x＝50时，W最大＝60000元；综上所述，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，且总利润W的最大值为60000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和由题意依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．【考点四】一次函数与一元一次不等式。【典型例题】（2022·江苏南通·统考中考真题）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键．【对应练习1】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________．【答案】【分析】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为x＜1．故答案是：x＜1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【对应练习2】（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________．【答案】【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同．【详解】由一次函数图像得，当y>3时，，则y=kx+b>3的解集是．【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．【对应练习3】（2022·辽宁锦州·中考真题）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________．【答案】a＜2【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．【详解】∵当时，，∴a-2＜0，∴a＜2，故答案为：a＜2．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【考点五】一次函数与二元一次方程组。【典型例题】（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．【详解】解：由图象可得直线与直线相交于点A（1，3），∴关于x，y的二元一次方程组的解是．故选：B．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．【对应练习1】（2022·浙江杭州·统考中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．【答案】【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：，即的解为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．【对应练习2】（2021·广西梧州·统考中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为___．【答案】【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），∴方程组的解为；故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．【考点六】一次函数的实际应用。【典型例题1】行程问题。（2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是（

）A．货车出发1.8小时后与轿车相遇B．货车从西昌到雅安的速度为C．轿车从西昌到雅安的速度为D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有【答案】D【分析】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．【详解】解：由题意可知，货车从西昌到雅安的速度为：，故选项B不合题意；轿车从西昌到雅安的速度为：，故选项C不合题意；轿车从西昌到雅安所用时间为：（小时），（小时），即A点表示，设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：，解得，货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为：，故选项D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取相关信息．【典型例题2】方案问题。（2022·四川广安·统考中考真题）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥?(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由【答案】(1)A厂运送了250吨，B厂运送270吨；(2)；A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨；【分析】（1）设A厂运送x吨，B厂运送y吨，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）根据题意，列出w与a之间的函数关系式，然后进行整理即可，再结合B厂运往甲地的水泥最多150吨，求出总运费最低的方案．【详解】（1）解：根据题意，设A厂运送x吨，B厂运送y吨，则，解得，∴A厂运送了250吨，B厂运送270吨；（2）解：根据题意，则，整理得：；∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，∴，∴；当时，总运费最低；此时的方案是：A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．【对应练习1】（2022·四川内江·统考中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？(3)学校租车总费用最少是多少元？【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆(3)学校租车总费用最少是2800元．【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．【详解】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，根据题意得：，解得3≤m≤5.5，∵m为整数，∴m可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．【对应练习2】（2022·四川凉山·统考中考真题）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．【答案】(1)型羽毛球拍的单价为40元，型羽毛球拍的单价为32元(2)最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见解析【分析】（1）设型羽毛球拍的单价为元，型羽毛球拍的单价为元，根据“购买3副型羽毛球拍和4副型羽毛球拍共需248元；购买5副型羽毛球拍和2副型羽毛球拍共需264元”建立方程组，解方程组即可得；（2）设该班采购型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购型羽毛球拍副，结合（1）的结论可得，再根据“型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍”求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：设型羽毛球拍的单价为元，型羽毛球拍的单价为元，由题意得：，解得，答：型羽毛球拍的单价为40元，型羽毛球拍的单价为32元．（2）解：设该班采购型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购型羽毛球拍副，由（1）的结论得：，型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，，解得，在内，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为，此时，答：最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍，10副型羽毛球拍；最少费用为1120元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．【对应练习3】（2022·四川德阳·统考中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．(1)求、两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？【答案】(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元(2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．【分析】（1）设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，”列出方程，即可求解；（2）设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解．【详解】（1）解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：，解得：，∴1.25x=5，答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；（2）解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得：，解得：，∵a为正整数，∴a取20，21，22，23，24，25，∴有6种购买方案，设总费用为w元，∴，∵-1＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a=25时，w最小，最小值为475，此时100-a=75，答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．【对应练习4】（2021·四川资阳·统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案；（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案．【详解】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，∴，解得：，答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，∵需甲、乙两种奖品共60件，∴购买乙种奖品为（60-m）件，∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，∴w=20m+10（60-m）=10m+600，∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，∴m≥（60-m），∴20≤m≤60，∵10>0，∴w随m的增大而增大，∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元），∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．【典型例题3】销售问题。（2022·四川雅安·统考中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）(2)若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．【答案】(1)A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．(2)利润w（元）与m（件）的函数关系式为：【分析】（1）设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则根据购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元，列方程组，再解方程组即可；（2）由总利润等于销售A，B两种商品的利润之和列函数关系式即可．（1）解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则解得：，答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．（2）解：由题意可得：即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程或函数关系是解本题的关键．【对应练习1】（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【答案】(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．(2)社区至少要准备2700元购书款．【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求解；（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意可分当时，当时及当时，进而问题可分类求解即可．【详解】（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：，解得：；答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：①当时，则有：，∵12＞0，∴当m=30时，w有最小值，即为；②当时，则有：，∵-1＜0，对称轴为直线，∴当时，w随m的增大而减小，∴当m=50时，w有最小值，即为；③当时，此时科技类图书的单价为（元），则有，∵2＞0，∴当m=51时，w有最小值，即为；综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意分类讨论．【对应练习2】（2022·四川南充·中考真题）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）种类真丝衬衣真丝围巾进价（元/件）a80售价（元/件）300100(1)求真丝衬衣进价a的值．(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？【答案】(1)a=260；(2)真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；(3)每件最多降价28元．【分析】（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；（2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，根据题意列出不等式得出x≤100；设总利润为y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出；（3）设降价z元，根据题意列出不等式