专题06 全等模型-角平分线模型（解析版）

专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.结论：、≌.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。结论：①；②；③.例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】如图，过D作于E，利用三角形的面积公式求出，再据角平分线的性质得出答案．【详解】解：如图，过D作于E，

∵，，∴，∴，∵，即，是的角平分线，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．例2．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的是（填写结论的编号）（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．【详解】解：①作于点，平分，，，平分，，，，点在的角平分线上，平分，①结论正确；②平分，平分，，，，，，，，，②结论正确；③，，，，，，在和中，，，同理可证，，，，，故③结论正确；④，，，，故④结论不正确；综上所述，正确的结论是①②③，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分．（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）8cm.【分析】（1）过点E分别作于F，由角平分线的性质就可以得出EF=EC，根据HL得，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：过点E分别作于F，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB⊥AB，CB⊥CD．∵DE平分∠ADC．∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF．在Rt△AEB和Rt△AEF中，，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），∴∠EAB=∠EAF，∴AE是∠DAB的平分线；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线，，，，∵∠C=90°∴

，，.故答案为（1）详见解析；（2）8cm.【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．例4．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且．(1)如图1，当时，与的数量关系是______．(2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；(3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值．【答案】(1)(2)成立；证明见解析(3)2或4（或也行）【分析】（1）过点作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得出结论；（2）过点作于，于，证明，得到；（3）分点在射线上，点在射线的反向延长线上两种情况，仿照（2）的方法解答即可．【详解】（1）如图1，过点作于，于，四边形为矩形，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，故答案为．（2）解：成立，理由如下：如图2，证明：过点分别作于点，作于点．∴∵平分，∴∵在四边形中，∴又∵∴在和中，∴∴．（3）解：如图3，过点分别作于点，作于点．平分，，与的面积的比值为2。如图4，过点作于，于，则与的面积的比值为4，综上所述：与的面积的比值为2比4．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线，，结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。图1图2图3条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为．

【答案】4【分析】延长交于，由证明，得出，根据三角形中线的性质即可求解．【详解】解：延长交于，如图所示：

平分，垂直于，，，在和中，，)，，，∴，∵的面积为，∴的面积为，故答案为：．【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，中线的性质，证明三角形全等得出是解题关键．例2．（2022·福建·厦门九年级期中）如图，在中，，，（1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点．（i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由．（3）如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程）【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD．【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性质即可证得结论；（ⅱ）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，先根据AAS证明△ABE≌△CAM，可得AE＝CM，然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠FCM＝∠EAD，进而可根据ASA证明△AED≌△CMF，于是可得结论；（2）延长BA、CE相交于点F，如图2，先利用ASA证明△BCE和△BFE全等，可得CE＝EF，根据余角的性质可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可证明△ABD和△ACF全等，进而可得BD＝CF，进一步即得结论；（3）过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，先利用ASA证明△CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和ASA证明△CGH≌△FDH，于是可得CG＝DF，从而可得结论．【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF；（ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE，在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM，∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD，在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF；（2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE．（3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG，∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．例3．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形；②线段AF与线段CE的数量关系是，并写出证明过程．问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，详见解析.【分析】情景观察：①由AB＝AC，AE⊥BC，AE是公共边，根据“HL”即可判断△ABE≌△ACE；根据等腰三角形“三线合一”和∠A＝45°，可求得∠DAF＝22.5°，利用等边对等角和三角形内角和定理求得∠B＝67.5°，在Rt△BDC中即可求得∠DCB＝22.5°，在Rt△ADC中由∠DAC＝45°可得AD＝CD，由“ASA”即可得出△ADF≌△CDB；②由①中△ADF≌△CDB得出AF＝BC，再由“三线合一”得出BC＝2CE，等量代换即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD＝GD，即CG＝2CD，证出∠BAE＝∠BCG，由ASA证明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可．【详解】解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE；故答案为AF＝2CE．证明：∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE；问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G＋∠BCG＝90°，∵∠G＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）【模型解读与图示】条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.结论：≌，CB=CA。条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结.结论：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2023·广西八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；②如图2，若，求的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；（3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得．【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，，，，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在与中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在与中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，，∴，在与中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．例2．（2023春·长度·七年级专题练习）已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，则DE＝DC，从而得出AD＝CD即可证明．【详解】证：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．例3．（2023·重庆·八年级专题练习）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得，可得AF=AC，即可求解．【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD．【详解】（1）猜想：．证明：如图②，在上截取，连结，∵为的角平分线时，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．（2）猜想：．证明：在的延长线上截取，连结．∵平分，∴．在与中，，，，∴．∴，．∴．又，，．∴．∴．∴．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．课后专项训练1．（2022秋·重庆江津·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角平分线的性质可得，根据“斜边直角边”的判定方法可证，，由此可得，设，列式求解即可．【详解】解：∵点是的平分线上一点，于，，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，即，设，∴，∴，即，故选：．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．2．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（

）

A．的值不变B．C．的长不变D．四边形的面积不变【答案】C【分析】如图作于E，于F，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；M，N的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误．【详解】解：如图作于E，于F．

∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴定值，故D正确，∵，故A正确，∵M，N的位置变化，∴的长度是变化的，故C错误．∵，∴，∵与互补，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴∴，故B正确，故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，在中，，平分，于，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据角平分线的性质得出结论：；②证明，得平分；③由四边形的内角和为得，再由平角的定义可得结论是正确的；④由得，再由，得出结论是正确的．【详解】解：①，平分，，；所以此选项结论正确；②，，，，，平分，所以此选项结论正确；③，，，，所以此选项结论正确；④，，，，所以此选项结论正确；本题正确的结论有4个，故选D．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．4．（2023秋·广东广州·八年级统考开学考试）如图，在中，，的两条角平分线和相交于点，连接，下列结论：①；②平分；③点到边，，的距离相等；④；错误的结论个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理可判断①；过点作于点，于点，于点，在上截取，连接，根据角平分线的性质可判断②；根据角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定和性质可判断④．【详解】解：①，，平分，平分，，，，，故①不符合题意；过点作于点，于点，于点，在上截取，连接，如图所示：②平分，，，．同理可得，．，，平分，故②不符合题意；③由②知：，故③不符合题意；④在和中，，，，，，，，．，，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，故④不符合题意，综上所述，错误的有0个，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，添加合适的辅助线是解题的关键．5．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，以大于长为半径，两条弧交于点P，作射线，点C是上一点，于点F，点D，E分别在，上．已知，，，则的长度为（

）A．5 B． C．6 D．【答案】A【分析】根据题意可得，为的角平分线，过点C作与点P，通过证明，可得，证明可得，根据即可求解．【详解】解：根据题意可得，为的角平分线，过点C作与点P，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，设，则，解得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．6．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（

）．A． B．12 C．8 D．6【答案】A【分析】过点作，交于点，利用角平分线的性质，得到，利用，进行计算即可．【详解】解：过点作，交于点，∵，∴，∵平分，∴，∴；故选A．【点睛】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．7．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，射线为的平分线，点M，N分别是边，上的两个定点，且，点P在上，满足的点P的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】B【分析】过点P作，，根据角平分线的性质及全等三角形的判定即可得出结果．【详解】解：过点P作，，如图所示：∵射线为的平分线，∴，当DM=EN时，此时∴满足条件的点P只有1个，故选：B．【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．8．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过E作于F，证明，得到，判断D；证得，判断B；进而判断C；根据全等三角形的性质得到，求出，即可判断A．【详解】过E作于F，如图，∵，平分，∴，，，；∵点E是的中点，∴，故D错误；∵，，，故B正确；∴，故C正确；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，故A正确；故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．9．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于、两点，则以下结论：①恒成立，②的值不变，③的长不变，④四边形的面积不变，其中正确的为（请填写正确结论前面的序号）．【答案】①②④【分析】作于E，于F，只要证明，，即可一一判断．【详解】解：如图作于E，于F，，，，，，平分，，，，在和中，，，∴，在和中，，，，故①正确，，定值，即四边形的面积不变，故④正确，，为定值，故②正确，在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形，∵的长度是变化的，∴的长度是变化的，故③错误，故答案为：①②④．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，平分，，，下列结论：①平分；②；③若，，则；④．其中正确的是（填写序号）．【答案】①②③【分析】由角平分线的性质可得：，由可得，由三角形内角和为可知，由，等量代换得，即，故①正确；由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，，可得，故②正确；由全等三角形的性质可得，，故③正确；由三角形的面积公式可得，故④错误，即可求解．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴平分，故①正确；∵，，，∴≌（），∴，，又∵，∴，又∵，∴≌（），∴，，∴，故②正确；∵，，∴，∴，故③正确；∵平分，∴点D到的距离相等，设为h，∵，，∴，故④不正确．故答案为：①②③．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．11．（2022秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．

分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．(2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论．【详解】（1）证明：，，，是的平分线，，在和中，，，；（2）证明：如图②，过点作于，于，

是的平分线，，，，，，，在和中，，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．12．（2022秋·山西忻州·八年级校考期中）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务：多种方法作角的平分线：数学兴趣课上，老师让同学们利用尺规作的平分线，同学们以小组为单位展开了讨论．勤学小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，则即为的平分线．勤学小组证明过程如下：连接，．由作图可知，，又，．（依据）．平分．善思小组展示了他们的方法：如图2，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．再以点为圆心，长为半径作孤，两孤交于点，作射线；点为圆心，长为半径作孤交于点，作射线，则为的平分线．

任务：(1)填空：勤学小组证明过程中的“依据”是指______；(2)根据善思小组的作图方法，证明：是的平分线；(3)在图3中再设计一种不同的方法作的平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)SSS(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据SSS证明三角形全等．（2）根据角平分线的定义证明即可．（3）在射线，上分别截取，，连接，交于点O，作射线即可．【详解】（1）勤学小组证明过程中的“依据”是SSS．（2）由作图可知，，，∴，∵，∴，∴平分．（3）做法不唯一，如图所示，即为的平分线．

【点睛】本题考查了尺规作图的性质、角平分线的性质、全等三角形判断及性质，熟练掌握相关概念是解题的关键．13．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．

(1)求证：．(2)求证：平分．(3)判断之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，证明，根据全等三角形的性质即可求得证；（2）根据，点为的中点，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得，，然后证明即可．【详解】（1）证明：∵，平分．∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：，平分，，，点为的中点，，，又，，平分．（3）结论：．理由：，，同理可得，，．故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质构造出全等三角形是解题的关键．14．（2023·广东广州·八年级校考期中）如图，四边形中，，，E，F分别为，上的点，．(1)求证：．(2)求证：点C在的平分线上．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）延长至点G，使得，连接，利用四边形内角和，易证，得到，，再证明，得到，即可证明结论；（2）过点C作、，易证，得到，根据角平分线的判定定理，即可证明结论．【详解】（1）证明：如图，延长至点G，使得，连接，

四边形的内角和为，且，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，；（2）证明：如图，过点C作交于点N，交于点M，

，，在和中，，，，点C在的平分线上．【点睛】本题考查了多边形内角和，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．15．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，为的中点，连接、，且平分，延长交的延长线于点．

(1)求证：；(2)求证：是的平分线；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）只需要证明即可证明；（2）如图所示，过点E作于H，利用角平分线的性质得到，进而推出，由此即可证明结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∵为的中点，∴，∴，∴；（2）证明：如图所示，过点E作于H，∵，，∴，∵平分，，∴，∵，∴，又∵，∴是的平分线．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．16．（2023秋·成都市八年级课时练习）如图，在四边形中，，，平分，于点．求证：(1)；(2)．

【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图所示，过点作，交的延长线于点，由角平分线的性质得到，证明，得到，由，即可证明；（2）证明，得到，由，得到，再根据线段之间的关系证明，即．【详解】（1）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点，平分，，，，在和中，，，，，；

（2）证明：在和中，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判断，正确作出辅助线构造全等三角形是