对钩函数详解性质图像对比并举例说明I9

主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+eq\f(b,cx)当a，b，c的系数符号不同时，并举例以四个函数y₁=6x+eq\f(47,22x),y₂=6x-eq\f(47,22x),y₃=-6x+eq\f(47,22x),y4=-6x-eq\f(47,22x),说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。☆.函数的定义域分析根据y₁=6x+eq\f(47,22x),y₂=6x-eq\f(47,22x),y₃=-6x+eq\f(47,22x),y4=-6x-eq\f(47,22x)函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。1.对于函数y₂=6x-eq\f(47,22x),是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y2整体为增函数。2.对于函数y₃=-6x+eq\f(47,22x)，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y3整体为减函数。3.对于函数y₁=6x+eq\f(47,22x)，y4=-6x-eq\f(47,22x)前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y₁=6x+eq\f(47,22x),求函数的一阶导数，有：eq\f(dy,dx)=6-eq\f(47,22x²)=eq\f(6*22x²-47,22x²),令eq\f(dy,dx)=0，即：6*22x²-47=0,所以x=±eq\f(1,66)eq\r(1551)≈±0.60,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,66)eq\r(1551))∪(eq\f(1,66)eq\r(1551)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＞0，函数为增函数；(2)当x∈[-eq\f(1,66)eq\r(1551),0)∪(0,eq\f(1,66)eq\r(1551)]时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数。2.函数y4=-6x-eq\f(47,22x),是y1的相反函数，故单调性与之相反。同理，结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,66)eq\r(1551))∪(eq\f(1,66)eq\r(1551)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数；(2)当x∈[-eq\f(1,66)eq\r(1551),0)∪(0,eq\f(1,66)eq\r(1551)]时，eq\f(dy,dx)＞0，为增函数。☆.函数的凸凹性1.函数y₁=6x+eq\f(47,22x)有：eq\f(dy,dx)=6-eq\f(47,22x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*47,22x³)=eq\f(2*47,22x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。2.函数y₂=6x-eq\f(47,22x)有：eq\f(dy,dx)=6+eq\f(47,22x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*47,22x³)=-eq\f(2*47,22x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。3.y₃=-6x+eq\f(47,22x)有：eq\f(dy,dx)=-6-eq\f(47,22x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*47,22x³)=eq\f(2*47,22x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。4.y4=-6x-eq\f(47,22x)有：eq\f(dy,dx)=-6+eq\f(47,22x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*47,22x³)=-eq\f(2*47,22x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。☆.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)6x+eq\f(47,22x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)6x+eq\f(47,22x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)6x+eq\f(47,22x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)6x+eq\f(47,22x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)6x-eq\f(47,22x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)6x-eq\f(47,22x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)6x-eq\f(47,22x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)6x-eq\f(47,22x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-6x+eq\f(47,22x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-6x+eq\f(47,22x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-6x+eq\f(47,22x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-6x+eq\f(47,22x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-6x-eq\f(47,22x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-6x-eq\f(47,22x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-6x-eq\f(47,22x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-6x-eq\f(47,22x)=+∞☆.函数的奇偶性按照奇偶性判断方法，可知四个函数y₁=6x+eq\f(47,22x),y₂=6x-eq\f(47,22x),y₃=-6x+eq\f(47,22x),y4=-6x-eq\f(47,22x),均为奇函数。所以，图像关于原点对称,本处以y₃介绍奇偶性判断步骤。∵f(x)=-6x+eq\f(47,22x)∴f(-x)=-6*(-x)+eq\f(47,22*(-x))=6x-eq\f(47,22x)=-[-6x+eq\f(47,22x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称。☆.函数的五点图x(＜0)-0.96-0.78-0.60-0.42-0.246x+eq\f(47,22x)-7.99-7.42-7.16-7.61-10.346x-eq\f(47,22x)-3.53-1.94-0.042.577.46-6x+eq\f(47,22x)3.531.940.04-2.57-7.46-6x-eq\f(47,22x)7.997.427.167.6110.34x(＞0)0.240.420.600.780.966x+eq\f(47,22x)10.347.617.167.427.996x-eq\f(47,22x)-7.46-2.570.041.943.53-6x+eq\f(47,22x)7.462.57-0.04-1.94-3.53-6x-eq\f(47,22x)-10.34-7.61-7.16-7.42-7.99☆.函数的图像示意图四个函数y₁=6x+eq\f(47,22x),y₂=6x-eq\f(47,22x),y₃=-6x+eq\f(47,22x),y4=-6x-eq\f(47,22x)在同一个坐标系下示意图如下所示。其中：红色曲线表示y₁=6x+eq\f(47,22x)图像；绿色曲线表示y₂=6x-eq\f(47,22x)图像；紫色曲线表示y₃=-6x+eq\f(47,22x)图像；黑色曲线表示y4=-6x-eq\f(47,22x)图像。 yy4=-6x-eq\f(47,22x)y₁=6x+eq\f(47,22x)xy₃=-6x+eq\f(47,22x)y₂=6x-eq\f(47,22x)y₃=-6x+eq\f(47,22x) y₁=6x+eq\f(47,22x)y4=-6x-eq\f(47,22x)☆.主要特性归纳1.函数相反性：函数y₁=6x+eq\f(47,22x)和函数y4=-6x-eq\f(47,22x)在同一个x处的y值互为相反数；函数y₂=6x-eq\f(47,22x)和函数y₃=-6x+eq\f(47,22x)也在同一个x处的y值互为相反数。2.经过的象限：函数y₁=6x+eq\f(47,22x)经过第一和第三象限，函数y4=-6x-eq\f(47,22x)则经过第二、第三象限；函数y₂=6x-eq\f(47,22x)和函数y₃=-6x+eq\f(47,22x)四个象限均经过。3.曲线的交点：函数y₁=6x+eq\f(47,22x)和函数y4=-6x-eq\f(47,22x)分别同另外3条曲线均没有交点;曲线方程y₂=6x-eq\f(47,22x)和函数y₃=-6x+eq\f(47,22x)有公共交点，且有两个交点，交点在x轴上，并互为相反数。4.坐标轴交点：函数y₁=6x+eq