第四讲 二次函数（专项练习）（解析版）

2023年中考数学典型例题系列之函数篇第四讲二次函数专项练习（解析版）单选题。1．（2022·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）下列函数中，不是二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】二次函数要求化简后有二次项，根据二次函数的定义回答即可．【详解】A、函数化简为，是二次函数，本选项不符合题意；B、是二次函数，本选项不符合题意；C、是二次函数，本选项不符合题意；D、函数化简为，没有二次项，不是二次函数，本选项符合题意．故选D．【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．2．（2018·浙江杭州·中考真题）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．【详解】解：∵为抛物线的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键．3．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）关于抛物线，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为 B．函数有最小值为C．开口方向向上 D．当时，随的增大而减小【答案】D【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点判断顶点坐标，开口方向，最值及增减性．【详解】解：由抛物线可知，顶点坐标为，抛物线开口向上，函数有最小值为，时y随x增大而增大，∴A、B、C判断正确，D错误．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质．关键是熟练掌握顶点式与抛物线开口方向，增减性，顶点坐标及最大（小）值之间的联系．4．（2022·浙江湖州·统考中考真题）将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．5．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，点的坐标为，垂直于轴，连接，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数，一次函数和反比例函数的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在的图象大致如图④所示【答案】A【分析】根据二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质即可求解．【详解】根据图①可知，，，所以，A.二次函数的图象的对称轴是直线，点与点关于对称轴对称，垂直于轴，与也关于对称轴对称，四边形是矩形，故选项符合题意；B.，，一次函数的图象过第一、三、四象限，故选项不符合题意；C.，二次函数的图象不经过原点，故选项不符合题意；D.，，一次函数的图象过第一、二、四象限，故选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握函数的性质，灵活应用．6．（2021秋·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（

）A．有最大值5，有最小值 B．有最大值0，有最小值C．有最大值4，有最小值 D．有最大值4，有最小值0【答案】A【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【详解】解：∵，∴二次函数图像的对称轴为：，抛物线开口向下，∴在的取值范围内，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．7．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）二次函数的图象大致如图所示，关于二次函数，下列说法错误的是（

）A．B．对称轴是C．当，随的增大而减小D．当时，【答案】D【分析】观察图象得：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，从而得到，，进而得到，故A选项正确；再由抛物线与x轴交于，可得对称轴为直线，故B选项正确；再根据二次函数的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，故选项C正确；再观察图象得：当时，，故D选项不正确，即可求解．【详解】解：观察图象得：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，∴，，∴，∴，故A选项正确，不符合题意；观察图象得：抛物线与x轴交于，∴对称轴为直线，故B选项正确，不符合题意；∵，抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而减小，故选项C正确，不符合题意；观察图象得：当时，，故D选项不正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．8．（2022·山东济宁·校考二模）如图，二次函数的图像与反比例函数的图像交于，，三点．若，则的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】C【分析】直接利用函数图像结合其交点横坐标得出的求值范围．【详解】如图所示：当时，即反比例函数图像在二次函数图像下方部分，故的取值范围是：或，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合是解题的关键．9．（2022·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）二次函数的图象上有两点，，当时，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的对称轴为直线，，开口向下，当时，随的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵的对称轴为直线，，开口向下，∴当时，随的增大而减小，∵二次函数的图象上有两点，，∴，又∵当时，的值有正有负，故C错误．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．10．（2022·辽宁盘锦·统考二模）如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于，两点，点为线段上一动点，过点作直线的平行线，交轴于点，点从原点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，以为斜边作等腰直角三角形（，两点分别在两侧）．若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线，它与轴和轴分别相交于，两点，则；根据点从原点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，则，；根据题意可知，；当时，和的重合部分的面积：；当时，和的重合部分的面积：，即可．【详解】如图：∵直线，它与轴和轴分别相交于，两点，∴，∵点从原点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，当，；∴当，；当，．故选：C．【点睛】本题考查函数的知识，解题的关键是理解题意，得到函数关系式．11．（2022·广东江门·校考一模）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，则以下说法：①；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由图象可知当时，，即，即可判断①；由图象可知该抛物线对称轴为直线，即得出，可判断②；由图象可知，，即得出，进而可得出，可判断③；由图象可知当时，，即，从而即可得出，可判断④．【详解】由图象可知当时，，即，故①正确；由图象可知该抛物线对称轴为直线，即，则，故②正确；∵抛物线开口向上，∴，∴．由图象可知该抛物线与y轴交于x轴下方，∴，∴，故③正确；由图象可知当时，，即，∴，即，故④错误．综上可知正确的个数是3个．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．12．（2021·辽宁丹东·校考模拟预测）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数）．其中正确的是（）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴，∴，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴，∴，故①正确；∵抛物线与x轴的交点A在点之间，对称轴为，∴抛物线x轴的另一个交点在和之间，∴当时，，即，即②正确，④错误；∵，且，∴，故③错误；由图可知，当时，函数有最大值，∴对于任意实数m，有，即，故⑤正确．综上，正确的有①②⑤．故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题。13．（2023·上海静安·统考一模）请写出一个以直线为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是_________．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）【答案】，答案不唯一【分析】本题答案不唯一，根据顶点式写抛物线的解析式，只需要对称轴为，开口向上即可．【详解】解：根据题意可得满足条件抛物线解析式可为：故答案为：，答案不唯一【点睛】此题考查了二次函数的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧，随增大而减小，根据二次函数性质解答是关键．14．（2023·上海静安·统考一模）抛物线与轴的交点坐标是_________．【答案】【分析】求出时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：当时，，所以抛物线与y轴的交点坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．15．（2022·福建福州·校考一模）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是______．【答案】【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】由图象可知，当时，抛物线在直线的上方，关于的不等式的解集是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．16．（2023·上海静安·统考一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为_________．【答案】##【分析】设抛物线解析式为，由图象可知，点的坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】设抛物线解析式为，由图象可知，点的坐标为，代入解析式得，解得，∴该抛物线的解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．17．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）已知点均在抛物线上，则的大小关系是______．（用“＜”连接）【答案】【分析】先求出对称轴，再依据开口方向和与对称轴的距离判断函数值的大小．【详解】解：对称轴是∵函数开口向下，距离对称轴越远，函数值越小点A到对称轴的距离是2，点B到对称轴的距离是1，点C到对称轴的距离是3∴．故答案为：【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，正确理解数形结合思想是关键．18．（2022·四川泸州·校考模拟预测）已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：x…-10123…y…30-103…①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为；④当时，x的取值范围是或．以上结论中，其中正确的有______．【答案】②③④【分析】从表格可以看出，函数的对称轴是直线，顶点坐标为，函数与x轴的交点为，即可求解．【详解】从表格可以看出，函数的对称轴是直线，顶点坐标为，函数与x轴的交点为，①抛物线的开口向上，错误；②抛物的对称轴为直线，正确；③方程的根为，正确；④当时，x的取值范围是或，正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是二次函数的基本性质，涉及函数与坐标轴的交点、对称轴等，此类表格题目通常先确定函数的对称轴．三、解答题。19．（2022·模拟预测）已知二次函数．(1)用配方法将此函数化为的形式，并直接写出该函数图象的顶点坐标；(2)画出此函数的图象，并结合图象直接写出时的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标为(2)图象见解析，【分析】（1）根据题意，化为顶点式即可求解；（2）根据顶点以及轴的交点，利用函数对称性画出函数图象，结合函数图象即可求解．【详解】（1）解：即∴顶点坐标为（2）令，，解得：令，解得：如图所示，根据函数图象可知，当时，．【点睛】本题考查了画二次函数图象，顶点式，根据图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键．20．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）已知关于的二次函数为常数，，当时，该函数有两个相等的实数根．(1)判断该函数与轴交点的个数并说明理由；(2)请对配此函数进行配方，并说明其开口方向、对称轴、最值．【答案】(1)两个交点，见解析(2)开口向下，对称轴为直线，函数最大值为【分析】（1）由时，该函数有两个相等的实数根求解．（2）根据二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，进而求解．【详解】（1）时，该函数有两个相等的实数根，抛物线与轴有两个交点．（2），抛物线顶点坐标为，，，抛物线开口向下，对称轴为直线，函数最大值为．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．21．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系．(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；(2)如果葡萄牙球员罗站在球员甲前3米处，罗跳起后最高能达到米，那么罗能否在空中截住这次吊射？【答案】(1)(2)能【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式；（2）将代入函数表达式，与相比较即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得，足球距离点米时，足球达到最大高度8米，设抛物线解析式为：，把代入解析式得：，解得：，故抛物线解析式为：；（2）当时，，故罗能在空中截住这次吊射．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．22．（2022·广东云浮·校联考三模）云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进两种类型的头盔，已知购进3个类头盔和4个类头盔共需288元；购进6个类头盔和2个类头盔共需306元．(1)两类头盔每个的进价各是多少元？(2)在销售中，该商场发现类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设类头盔每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润．【答案】(1)类头盔每个的进价是36元，类头盔每个的进价是45元(2)，最大利润为2048元【分析】（1）根据解决实际应用题的步骤，设、列、解、答，列出二元一次方程组求解即可得到答案；（2）根据题意，得到关于的函数解析式，从而利用二次函数的图像与性质得到，即当时，有最大值，最大值为2048，即可得到答案．【详解】（1）解：设类头盔每个的进价是元，类头盔每个的进价是元，根据题意得：，解得，答：类头盔每个的进价是36元，类头盔每个的进价是45元；（2）解：根据题意得：∵，∴当时，有最大值，最大值为2048，∴关于的函数解析式为，最大利润为2048元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数的实际应用，读懂题意，根据相应关系得到方程组及函数表达式是解决问题的关键．23．（2022秋·山东滨州·九年级校考期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？【答案】(1)每件衬衫应降价20元(2)当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到x的值；（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．【详解】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则，当时，，解得，经检验，都是原方程的解，但要尽快减少库存，所以，答：每件衬衫应降价20元；（2）∵，∴当时，y的最大值为1250，答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．24．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数（）．(1)求二次函数对称轴；(2)若当时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标；(3)抛物线上两点，若对于，都有在，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）把函数表达变成顶点式，即可解得．（2）根据函数图像的性质判断当当时，取最大值4，即可解得．（3），不关于对称，可得，列出不等式即可解得．【详解】（1）对称轴是：．（2）∵，根据二次函数图像的性质可得，当时，取最大值4，把代入二次函数可得，，解得：，（舍去），∴顶点坐标为．（3）∵，，对于，都有在，∴，不关于对