专题03 线段的双中点模型（解析版）

专题03线段的双中点模型对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。模型1.

线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.例1．（2023·广东河源·七年级月考）已知线段，是的中点，是的中点，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中点的定义可得，，即可求解．【详解】解：线段，是的中点，是的中点，，，，故选：C．【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，熟练掌握中点的定义是解题的关键．例2．（2022秋·重庆梁平·七年级统考期末）已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6【答案】D【分析】由点分别是和的中点可得，再由进行计算即可得到答案．【详解】解：点分别是和的中点，，，故选：D．【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，根据题意得出是解题的关键．例3．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段、的中点、，则．【答案】7【分析】先求解，再证明，，再利用线段的和差可得答案．【详解】解：∵，，∴，∵线段、的中点为、，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，理解线段的和差运算是解本题的关键．例4．（2022秋·云南丽江·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点．若线段的长为4，则线段的长度是（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】据中点的定义可得，进而得出，则，即可求解．【详解】解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段之间的和差关系，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形得出线段之间的和差关系．例5．（2023春·江苏七年级月考）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是．【答案】①②③【分析】由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①正确；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②正确；由由中点的意义可得代入可判断③正确；由得，代入可得故可判断④错误．【详解】解：如图∵，∴∴，∴，∴，∴，即，故①正确；∵，∴，∵M、N分别是线段的中点，∴，∴，故②正确；∵M、N分别是线段的中点，∴∵，∴，故③正确；∵，∴，∵，∴，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键．例6．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为．【答案】【分析】先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案．【详解】解：因为线段，是的中点，所以；因为是的中点，所以；因为是的中点，所以；，所以，所以，答案为：．【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．例7．（2022·陕西西安·七年级校考期末）直线上有三点，，，点为线段的中点，点为线段的中点.若，，则的长为（

）．A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到，，，三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．【详解】分两种情况：第一种情况：B在内，如图：；第二种情况：B在外，如图：，故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离、线段的中点的定义；解题的关键是注意分类讨论，避免漏解．例8．（2023秋·内蒙古乌兰察布·七年级校考期末）①已知，点C在线段上，线段，，点M、N分别是和的中点，求线段的长度；②根据①的计算过程和结果，设，点C在线段上，点M、N分别是和的中点，你能猜出的长度吗？请说明理由．【答案】①4；②，理由见解析【分析】①由点M、N分别是、的中点，得到，值，可得长度；②按照①的方法可求得．【详解】①解：∵点M、N分别是、的中点，，，∴，，∴；②解：，理由如下：∵M、N分别是、的中点，∴，，又即，∴．【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，掌握线段中点的定义是解题的关键．例9．（2022·陕西商洛·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．(1)若，求线段MN的长；(2)若C为线段上任一点，满，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由；(3)若点C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形并写出你的结论（不必说明理由）．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)的长度等于，图见解析【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．【详解】（1）点M、N分别是的中点，∴，，∴．所以线段的长为．（2）的长度等于，根据图形和题意可得：．（3）的长度等于，根据图形和题意可得：ACBC．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．例10．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．初步感知：(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．【答案】(1)，(2)，，(3)存在和使等式成立【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解；（2）根据题意，得出，，相加即可求解；（3）分在点到达点之前，在点到达点返回之后，两种情况分类讨论即可求解．【详解】（1）根据定义可得：∵，则；∵，∴,则；故答案为：．，；（2）∵∴∵∴∴∴（3）①在点到达点之前∵∴∵∴∴∵∴∴②在点到达点返回之后∵∴∵∴∴∵∴∴∴存在和使等式成立．【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键．课后专项训练1．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，点A，B，C顺次在同一直线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点．若想求出的长度，那么只需添加条件（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中点的定义得，从而可得．【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴，∴，∴只要已知，即可求出的长度．故选：B．【点睛】本题考查了线段的中点，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．2．（2022秋·山东聊城·七年级校考期中）如图，已知，，E，F分别为AC，BD的中点，则EF长为（

）cm．A．7 B．14 C．17 D．34【答案】C【分析】根据线段中点的性质求出的值，然后根据线段的和可得答案．【详解】解：∵E，F分别为，的中点，∴，，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，根据线段中点的定义及线段的和差得出的值是解题关键．3．（2023秋·海南·七年级统考期末）如图，已知线段cm，为直线上一点，且cm，，分别是、的中点，则等于（）cm．A．13 B．12 C．10或8 D．10【答案】D【分析】根据求得，然后由，分别是、的中点知，，，所以，即可得出答案．【详解】∵，且，∴，又∵，分别是、的中点，∴，，∴．故选：D．【点睛】本题考查了两点间的距离，充分利用两点间中点的定义是解题的关键．4．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：①B，在点A同侧时，如图所示：是的中点，是的中点，，，．②B，在点A两侧时，如图，是的中点，是的中点，，，．综上：与之间距离为或，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．5．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解．【详解】解：当点在点右侧时，如图所示．，，．是中点，是的中点，，，；当点在点左侧时，如图所示．，，．是中点，是的中点，，，．综上所述：线段MN的长度为5cm．故选：B．【点睛】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键．6．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．【详解】解：如图，∵M、N分别是线段的中点，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，故①符合题意；∵，∴，∴，∴，故②符合题意；∵，∴，故③符合题意；∵，，∴，∵，，∴，故④不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键．7．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值．【详解】解：∵，分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，……由此可得：，∴，故选C．【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．8．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（）甲：当点B与点O重合时，；乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法；丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解．【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时，，故甲的说法错误；乙：如图2，当点C与点A重合时，设点P表示的数为x，则，∴，故乙的说法正确；丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是，∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点，∴点M表示的数是，点N表示的数是，∴，故丙的说法正确．故选D．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，线段和线段的公共部分是线段，点、分别是、的中点，若，，，则的长为．

【答案】26【分析】由图，可求，由，得，于是，得，进而求得．【详解】解：，，有一段公共边，，、分别是、的中点，，，，，，，，．故答案为：26．【点睛】本题考查根据直线上线段间的数量关系计算线段长度，由直线上点之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．10．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）已知、、三点在同一条直线上，、分别为线段、的中点，且，，则【答案】8或2【分析】首先要考虑、、三点在直线上的不同位置：点在线段上或点在线段的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．【详解】解：、分别为、的中点，，，如图，点在线段上时，，如图，点在线段的延长线上时，，故答案为：8或2．【点睛】本题考查两点间的距离，正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念是解题的关键．11.（2023·河南驻马店·七年级校考期末）如图，已知线段，是的中点，为的中点，若，则．【答案】3【分析】根据中点的性质，可得，，即可求得．【详解】解：为的中点，，，，是的中点，，．故答案为：3．【点睛】本题考查了两点之间的距离，中点的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．12．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则．【答案】或13【分析】画出图形，分两种情况讨论①；②．设，根据直线l上所有线段的长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出的长.【详解】①当时，如图1设，则，，，∵直线l上所有线段的长度之和为91

②当时，如图2,故答案为：或13【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论.13．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为（用a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可．【详解】解：∵M为的中点，N为的中点，∴，．∵线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，∴分以下5种情况说明：①当在左侧时，如图1，即，，，；②当点D与点A重合时，如图2，即，；③当在内部时，如图3，即，；④当点C在点B右侧时，同理可得：；⑤当在右侧时，同理可得：；综上所述：线段的长为．故答案为：．【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．14．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则．【答案】1【分析】先由线段中点定义得出，，又因为，利用线段和差即可求得，，代入即可求解．【详解】解∶∵，P，Q分别是，的中点，∴，，∵，∴，，∴，故答案为∶1．【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键．15．（2023秋·四川达州·七年级统考期末）若点为线段上一点，，，点为直线上一点，、分别是、的中点，若，则线段的长为．【答案】24或16【分析】分2种情形讨论：①如图，点在的延长线上，②如图，点在线段的延长线上，画出图形根据线段和差定义即可解决．【详解】解：①如图，点在的延长线上，，，．是的中点，，，又，，又点是的中点，，．②如图，点在线段的延长线上，，．是的中点，，又，，又点是的中点，，．综上所述，的长为24或16．故答案是：24或16．【点睛】本题考查线段中点的定义、线段和差定义，学会分类讨论的思想是解决问题的关键，本题还考查了学生的动手画图能力．16．（2023春·六年级单元测试）如图已知线段、，(1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长．②M、N分别为、的中点，求证：(2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论【答案】(1)①10，②见解析(2)不成立，见解析【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证；（2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可．【详解】（1）解：①∵，，∴，∵M、N分别为、的中点，∴，∴；②∵M、N分别为、的中点，∴，∵，∴，∴；（2）不成立；∵M、N分别为、的中点，∴，①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图：或；②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图：或；③当点在点的左侧时，如图：或；综上：或；故结论不成立．【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论．17．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）已知C为线段延长线上的点，M，N分别是的中点．(1)如果，求线段的长；(2)如果，求线段的长；(3)如果，点P是的中点，求线段的长．【答案】(1)10(2)(3)【分析】（1）根据M，N分别是的中点，可得，再由，即可求解；（2）根据M，N分别是的中点，可得，再由，即可求解；（3）根据题意可得，再由点P是的中点，可得，由（2）得：，然后根据，即可求解．【详解】（1）解：∵M，N分别是的中点，，∴，∴；（2）解：∵M，N分别是的中点，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵点P是的中点，∴，由（2）得：，．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段之间的数量是解题的关键．18．（2023秋·山东七年级月考）如图，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若，则（用含的代数式表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线段的中点性质可得，，再根据线段的和差求出结果即可；（2）结合（1）可得，，进一步得出，从而得解．【详解】（1）是线段的中点，，，，是线段的中点,，．（2），，，，，．【点睛】本题主要考查了线段的中点性质，线段的和差，两点间的距离，灵活运用线段中点性质和线段的和差定义是解本题的关键．19．（2023·四川成都·七年级统考期末）如图，点C在线段上，，点M是线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若点N是线段的中点，且，求线段的长（用含a的代数式表示）．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据已知条件求得、即可求解；（2）设，，则，根据线段中点定义求得，，进而由求得即可．【详解】（1）解：∵，，∴．∵点M是线段的中点，∴．∴．（2）解：∵，∴设，．∴．∵点M是线段的中点，∴．∵点N是线段的中点，∴．∴．∴．解得．∴．【点睛】本题考查线段中点定义、线段的和与差、解一元一次方程，理解线段中点定义，会利用数形结合进行线段的和差运算是解答的关键．20．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）如图，点C在线段上，，点M，N分别为的中点．(1)求线段的长；(2)若点C在线段的延长线上，且满足，点M，N分别为的中点，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据线段中点的定义求出的长度，再根据线段的和差进行求解即可；（2）先根据线段中点的定义求出的长度，再根据线段的和差进行求解即可．【详解】（1）∵，点M分别为的中点，∴，∵，∴，∵点N分别为的中点，∴，∴；（2）如图，∵点M，N分别为的中点，∴，∴．【点睛】本题考查了线段的中点和线段的和差，准确理解题意，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，，分别是，的中点，则______．②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．③若，分别是，的等分点，即，，则______．【答案】(1)3(2)①；②；③【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故；（2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故；②由，，知，，即得，故；③由，，知，，即得，故．【详解】（1）解：，，，，分别是，的中点，，，；故答案为：；（2）解：①，分别是，的中点，，，，，；故答案为：；②，，，，，，；③，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．22．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）数轴上有、、三点，如图1，点、表示的数分别为，点在点的右侧，．(1)若，，点是的中点．①则点表示的数为______．②如图2，线段（在的左侧，），线段从点出发，以1个单位每秒的速度向点运动（点不与点重合），点是的中点，是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求的值；(2)若，点是的中点，若