专题05 线段、角、对角线的计数模型（原卷版）

专题05.线段、角、对角线的计数模型本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。模型1.

线段与角度的计数模型1）线段的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）例1．（2023秋·四川遂宁·七年级校考期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（

）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条例2．（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（

）A．种 B．种 C．种 D．种例3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）石衡沧港城际铁路是京津冀城际铁路网“四纵四横一环”的重要组成部分，在沧州境内途径泊头、沧县、黄骅、渤海新区四个县（市），要保证每两个县（市）之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（

）A．20种 B．15种 C．12种 D．6种例4．（2023秋·安徽滁州七年级月考）【观察思考】在表中空白处画出图形；线段上的点数包括，两点图例线段总条数______________________________【模型构建】如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？【拓展应用】请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．（1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛；（2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次；（3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种．例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习(1)发现规律，猜想说理．．．．．．．．．．．．．以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．如果，我们设则我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．(2)运用规律，计算表达．①求_____________．②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？2）角度的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）例1．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，则图中共有个角．例2．（2023·山东青岛·七年级校考期末）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．例3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）（1）数一数图①中共有个角，图②中共有个角；图③中共有个角．（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数102214337.........n例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考期中）同一平面内画9条直线，最多能画出个交点．例2．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（

）个部分．A．或 B． C．或 D．例3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有个交点，n条直线相交最多有个交点．例4．（2023春·江苏年级期中）同一平面内条直线把平面分成两个部分（或区域）；条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知条直线最多可将平面分成几个部分？例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型结论：从n边形一个顶点出发可引出（n-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；n边形共有对角线。例1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）五边形经过一个顶点可以引（

）条对角线．A．0 B．1 C．2 D．3例2．（2023春·江苏·七年级专题练习）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（）边形．A．2017 B．2016 C．2015 D．2014例3．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）从边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为个三角形，则的值为（

）A． B． C． D．例4．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（

）A．5条 B．6条 C．7条 D．8条例5．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．如图，边形有条对角线．

例6．（2023秋·山东·七年级专题练习）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678……从一个顶点出发的对角线的条数12345……①多边形对角线的总条数2591420……②(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.(2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话?课后专项训练1．（2023秋·安徽七年级月考）如图，线段上有两点，则图中共有线段（）条A． B． C． D．2．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）由郑州到北京的某一班次列车，运行途中停靠的车站依次是：鹤壁-安阳-邯郸-邢台-石家庄-保定-北京，那么要为这次列车制作的火车票有（

）A．72种 B．56种 C．36种 D．28种3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）假定有一排蜂房,形状如图,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受伤,只能爬,不能飞,而且只能永远向右方(包括右上、右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去.则从最初位置爬到4号蜂房中,不同的爬法有(

)A．4种B．6种C．8种D．10种4．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A、B、C、D、E五个点，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与A、B、C、D、E五个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线上会发出警报的位置最多有（

）A．8 B．9 C．10 D．115．（2023秋·江苏·七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，则平面内不重合的7个点最多可以确定的直线条数是（

）．A．42 B．35 C．30 D．216．（2023秋·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）有蚌埠到无锡往返的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是：蚌埠南京常州无锡,那么要为这次列车制作的火车票有()A．3种 B．4种 C．6种 D．12种7．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）A．46个 B．55个 C．56个 D．67个8．（2023秋·广东惠州·七年级统考期中）平面内条直线，每两条直线都相交，问最多有（

）个交点？A． B． C． D．9．（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图①，若在的内部以为端点做一条射线，得到个角；如图②，若在的内部以为端点做两条射线和，得到个角……，以此类推，如果在的内部以为端点做条射线，则图③中角的个数为（

）A． B． C． D．10．（2023秋·重庆七年级课时练习）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（

）

A．10个 B．9个 C．8个 D．4个11．（2023·江苏扬州·七年级阶段练习）平面内任意画三条直线两两相交，交点的个数为

（

）个.A．1 B．2 C．3 D．1或312．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（）A．21个 B．22个 C．23个 D．24个13．（2023秋·河南周口·七年级校考期末）平面上不重合的两点确定1条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上9条直线任两条相交，交点最多有a个，最少有b个，则（

）A．36 B．37 C．38 D．3914．（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画7条对角线，则它是（

）边形．A．七 B．八 C．九 D．十15．（2023秋·山东枣庄·七年级校考阶段练习）经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形经过这一顶点的对角线条数是（）A．7条 B．8条 C．9条 D．10条16．（2023秋·湖北七年级课时练习）为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（

）场比赛．A．30 B．45 C．105 D．21017．（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是条18．（2023秋·重庆七年级课时练习）【真实问题情境】由郑州开往北京西的G562次列车，运行途中停靠的车站依次是：鹤壁—邢台—石家庄—保定，那么要为这次单车制作车票种．19．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式．20．（2023秋·广东深圳·七年级联考期末）边长为整数的正多边形的周长17，则过该正多边形的一个顶点可以画条对角线．21．（2023秋·广东七年级月考）观察图，完成下列问题：

(1)如图①，内部有一条射线，则图中有个角；(2)如图②，内部有两条射线，，则图中有______个角；(3)如果内部有10条射线，那么图中有_______个角．22．（2023秋·江苏七年级课时练习）阅读并填空：问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，共3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有条线段．知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有个角；若在内部画条射线，则总共有个角．学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备种不同的车票．23．（2023秋·成都市七年级课时练习）如图：已知，，图中以O为顶点的所有角之和为_______．24．（2023秋·北京市七年级月考）如图所示，能用一个字母表示的角有个，图中所有小于平角的角有个．25．（2023秋·江苏七年级课时练习）归纳与猜想：（1）观察上图填空：图中有个角；图中有个角；图中有个角；（2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成个角．

26．（2023秋·安徽蚌埠·七年级校考期中）在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有个交点，8条直线两两相交，最多有个交点．27．（2023秋·山东七年级月考）如图，以点为端点引条射线时，共有个角；以点为端点引条射线时，共有个角以点为端点引条射线时，共有个角用含的代数式表示．

28．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，已知C，D是线段AB上的两点，，．(1)图中以点A，B，C，D中任意两点为端点的线段共有条；(2)设，求的长．29．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）基本事实：已知过两点可以画一条直线，我们得到了一个基本事实，若平面内有不在同一直线上的个点，过其中任意两点，一共可以画条直线；类比：如图，已知，在AOB的内部画射线，则图中共有个角；图1图2实践应用：年月日，沪苏通铁路正式通车，加快了长三角交通一体化建设，沪苏通铁路衔接南通和上海，并在沿途增设张家港、常熟、太仓三个停靠站，如图．若一动车往返于上海与南通之间，已知各站之间的路程均不相等．则共有____种不同的票价．(不考虑座位等级等其它因素)30．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是多边形的对角线，如图是四边形的对角线，请仔细观察下面的图形和表格，并确定二十三边形．．．．．共有条对角线．

多边形的顶点数456…从一个顶点出发的对角线的条数123…多边形对角线的总条数259…31．（2023春·广东七年级期中）四边形有几条对角线？五边形、六边形呢？试猜想，边形有多少条对角线？运用你的猜想解决下列问题．(1)十二边形有多少条对角线？(2)一个多边形有条对角线，这个多边形是几边形？(3)小明经计算得出一个多边形有条对角线，他的计算正确吗？(4)有条对角线的多边形的内角和是多少度？(5)你能说明你的猜想吗？相信你能行，别忘了求助你的同学和老师．32．（2023·北京·统考一模）阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表点的个数可作出直线条数21=33=46=510=…………n(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即（4）结论：试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作出个三角形；当仅有4个点时，可作出个三角形；当仅有5个点时，可作出个三角形；……（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）点的个数可连成三角形个数345……n(3)推理：

（4）结论：33．（2023春·海南·七年级校联考阶段练习）观察图形，寻找对顶角（不含平角）．

(1)两条直线相交于一点，如图①，共有___________对对顶角；(2)三条直线相交于一点，如图②，共有___________对对顶角；(3)四条直线相交于一点，如图③，共有___________对对顶角；(4)根据探究：当n条直线相交于一点时，共有___________对顶角．34．（2023春·广东七年级期中）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形（n＞3）共有多少条对角线”这一问题