专题03 两条直线的位置关系（六种考法）（解析版）

专题03两条直线的位置关系（六种考法）与余角、补交有关的计算1．【辽宁省锦州市凌海市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角．【详解】解：根据定义一个角的补角是，则这个角是，这个角的余角是．故选：B．【点睛】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为；互为补角的两个角的和为．2．【河北省石家庄市新华区第二十八中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】如图，已知，，则下列说法错误的是（）A．与互为余角 B．与互为余角C．与互为余角 D．与互为余角【答案】D【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于(直角)，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角，根据互余的定义进行判断．【详解】解：∵，，∴与互为余角，与互为余角．∵，，∴与互为余角，与互为余角；故选：D．3．【江苏省南京市建邺区南京师范大学附属中学新城初级中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】将两把相同的直尺如图放置．若，则的度数等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】互补关系求出，互余关系求出，再用互补关系即可得出结果．【详解】解：如图，∵，∴，∴；故选D．【点睛】本题考查余角和补角的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键．4．【安徽省滁州市天长市2023-2024学年七年级上学期期中联考数学试题】如图，点是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（

）A．只有①④ B．只有③④ C．只有①③④ D．①②③④【答案】C【分析】本题主要考查角平分线、余角与补角，根据补角以及角平分线的定义解决此题．【详解】解：，，与互为余角，故①正确．平分，，无法推断得到，故②错误．设，，，平分，，则，，，即，故③正确．，．平分，，故④正确．综上：正确的有①③④．故选：C．5．【云南省文山州文山市第二学区2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】一个角加上等于它的余角的倍，求这个角的度数为．【答案】【分析】设这个角的度数为，根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设这个角的度数为，由题意得，．．答：这个角的度数是．故答案为：．【点睛】本题考查了余角的定义和一元一次方程的应用，熟知互余的两个角之和为90度是解题的关键．6．【河南省焦作市博爱县2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，已知直线与相交于点，若，则的补角的度数为.【答案】【分析】根据平角的定义求出，根据互余求出，即可求的补角答案．【详解】解：，，，，，，的补角为，故答案为：．【点睛】本题考查了角互补、互余等知识，解题关键是熟练掌握互补和互余定理．7．【山东省滨州市滨州经济技术开发区第二中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】如图，直线相交于点O，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了角的计算：1直角；1平角，角平分线的定义和对顶角的性质．（1）根据角平分线定义和对顶角相等即可得到结论；（2）由题意得，根据，得到，然后与（1）的计算方法一样．【详解】（1）解：∵，平分，∴，∴；（2）解：∵，，∴．又∵平分，．8．【陕西省榆林市第十中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线，相交于点，平分．(1)的对顶角是_____；(2)若，求的度数．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根据对顶角的定义即可判断；（）根据对顶角，邻补角，角平分线定义即可求解．【详解】（1）根据对顶角定义可知：的对顶角为：，故答案为：；（2）∵，∴．∵平分，∴，∴．【点睛】此题考查了对顶角，邻补角，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握以上知识的性质及应用．相交线与垂线的定义9．【山东省聊城市临清市2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】平面上的三条直线最多可将平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】题目主要考查相交线，理解题意，掌握相交线的性质是解题关键．【详解】解：如图，三条直线两两相交时将平面分为7部分，故选C．10．【内蒙古自治区呼和浩特市第二十九中学2023年七年级下学期期中数学试题】下列语句中叙述正确的有（

）①连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；

②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；

④若线段，则点C是线段AB的中点；⑤在草坪中踩出一条“捷径”，其蕴含的数学道理是“两点确定一条直线”A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】本题主要考查了两点之间的距离，两点之间线段最短，线段中点的定义，两直线的位置关系等等，熟知相关知识是解题的关键．【详解】解：①连接点A与点B的线段的长度，叫做A、B两点之间的距离，原说法错误；

②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；③若a与c相交，b与c相交，则a与b不一定相交，原说法错误；

④若线段，且点C在线段上，则点C是线段的中点，原说法错误；⑤在草坪中踩出一条“捷径”，其蕴含的数学道理是“两点之间，线段最短”，原说法错误；故选：A．11．【福建省漳州市漳州第一中学碧湖校区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷】下列说法错误的个数（

）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据垂线的性质，相交线，对顶角，点到直线的距离分别判断．【详解】解：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，不合题意；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故正确，不合题意；③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故错误，符合题意；④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误，符合题意；∴错误的个数为2个，故选：B．【点睛】本题考查了垂线的性质，相交线，对顶角，点到直线的距离，解决本题的关键是熟练掌握以上基础知识．12．【河北省沧州市南皮县桂和中学等校2023-2024学年七年级上学期期中联考数学试题】如图，直线、相交于，射线平分，，若，则；．【答案】/度/度．【分析】此题主要考查了垂线定义以及角平分线的定义；直接利用角平分线的性质得出，可得，进而根据平角的定义即可得出进而利用垂直的定义得出的度数．【详解】∵平分，且，∴，，∴，∵，∴，∴．故答案为：；．13．【广东省广州第四中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，已知直线和相交于点O，，平分，，则的度数为．【答案】22【分析】先根据垂线的定义求出，再由角平分线的定义求出，进而求出，则由对顶角相等得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，正确求出时解题的关键．垂线段最短及点到直线的距离14．【湖北省恩施土家族苗族自治州咸丰县民族中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，三角形中，，为边上的任意一点，连接，为线段上的一个动点，过点作点F．，，，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．5【答案】B【分析】过作于，交于．则的最小值为，利用三角形等面积法，求出，即为的最小值．【详解】解：过作于，交于，则的最小值为．，，，，，即的最小值为：，故选B．

【点睛】本题考查了最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．15．【陕西省西安市西北工业大学附属中学2022—2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，在中，，于点D，，若点E在边AB上（不与点A，B重合）移动，则线段最短为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据垂线段最短得到时，线段最短，利用三角形的面积计算方法求出最小值.【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，线段最短，这时，∵，∴，故选D.【点睛】此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键．16．【陕西省西安高新第十二初级中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，在三角形中，，，点可以在直线上自由移动，的长不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根据垂线段最短，可得最小为，据此即可求解．【详解】依题意，，，∴最小为，故选：A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．17．【河北省石家庄市栾城区2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，点在直线上，点，分别在直线上，于点，于点，，，则下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离等于 B．点到直线的距离等于C．点到直线的距离等于 D．点到直线的距离等于【答案】D【分析】根据点到直线的距离求解即可．【详解】解：于点，于点，，，点到直线的距离等于，点到直线的距离等于，故选：D．【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离定义是解题关键．对顶角的定义及性质18．【辽宁省营口市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，图中的对顶角共有（）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【答案】A【分析】此题主要考查了对顶角，关键是掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．利用对顶角定义可得答案；【详解】图中的对顶角共有4对，有和和和和故选：A．19．【福建省厦门市双十中学海沧附属学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线于点O，为过点的一条直线，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对顶角相等求出，再根据垂直的定义求出，然后根据，代入数据计算即可得解．【详解】解：，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质和垂线的定义，掌握、和之间的关系是解题关键．20．【黑龙江省哈尔滨市第一六三中学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】直线与直线相交于点O，过点O作射线垂直于，已知，则．【答案】或．【分析】此题考查了垂线的性质，对顶角相等，几何图形中角度的计算，根据题意分射线在中和射线在中两种情况讨论，然后根据角的和差关系求解即可．解题的关键是熟练掌握垂线的性质，对顶角相等．【详解】如图所示，当射线在中时，∵∴∵∴∴；如图所示，当射线在中时，∵∴∵∴∴；综上所述，或．故答案为：或．21．【河南省周口市西华县2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则．【答案】【分析】根据垂线的定义，由，垂足为，得．由，根据对顶角的定义，得，即可求得．【详解】解：，垂足为，．，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查垂线、对顶角，熟练掌握垂线的定义、对顶角的定义是解决本题的关键．邻补角的定义及应用22．【河南省周口市郸城县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】下列说法中错误的是（

）A．同一个角的两个邻补角是对顶角 B．的补角与的和是C．对顶角的平分线在一条直线上 D．对顶角相等，相等的角是对顶角【答案】D【分析】利用邻补角的和为，对顶角相等来进行判断即可．【详解】解：A、同一个角的两个邻补角是对顶角是正确的，故不合题意；B、的补角是，，是正确的，故不合题意．C、对顶角的平分线在一条直线上是正确的，故不合题意；D、对顶角相等是正确的，相等的角是对顶角是错误的，故符合题意；故选：D．23．【贵州省黔南州独山县某校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，已知于点O，，则的度数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据邻补角的意义，可得关于x的方程，根据余角的性质的性质，可得答案．【详解】解：∵，设，．∵，∴．∴．∴．∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了垂线，利用邻补角的意义得出的度数是解题关键．24．【河北省石家庄市鹿泉区大河镇曲寨中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线、相交于点O，且，则的余角度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因和是邻补角，且，由邻补角的定义可得的度数，再根据对顶角相等得的度数，继而求出余角．【详解】解：，又已知，，解得，，∴的余角为，故选B．【点睛】本题考查邻补角的定义和对顶角的性质，以及余角，是需要熟记的内容．25．【黑龙江省哈尔滨市德强学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】若，那么邻补角的度数为．【答案】【分析】本题考查了邻补角的性质，根据邻补角互补解答即可．掌握邻补角的性质是解题的关键．【详解】解：，邻补角的度数为：．故答案为：．26．【广西壮族自治区南宁市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线和相交于点，，，，则的度数为．【答案】【分析】根据垂直的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的倍分关系，可得的度数，根据与是邻补角，可得答案．【详解】解：，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了垂直的定义，角的计算．解题的关键是掌握垂直的定义，角的计算方法，先求出，再求出，最后得出答案．同位角、内错角及同旁内角的定义27．【黑龙江省鸡西市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，下列说法不正确的是（

）A．和是内错角 B．和是对顶角 C．∠3和是同位角 D．和是同旁内角【答案】D【分析】根据内错角、对顶角、同位角、同旁内角定义进行判断即可．【详解】解：A．和是内错角，故A正确，不符合题意；B．和是对顶角，故B正确，不符合题意；C．∠3和是同位角，故C正确，不符合题意；D．和是邻补角，不是同旁内角，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了三线八角，对顶角定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义．28．【浙江省温州市瑞安市莘塍镇第一中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线a，b被直线c所截，的同旁内角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同旁内角的定义：在被截线内部，截线同一侧直接判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，的同旁内角是，故选A；【点睛】本题考查同旁内角的定义：在被截线内部，截线同一侧直接判断即可得到答案．29．【广东省东莞市松山湖实验中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷】如图，关于图中角与角的位置关系，描述有误的是（

）A．与是对顶角 B．与是内错角C．与是同旁内角 D．与是同位角【答案】C【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义进行判断即可．【详解】解：A．和是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；B．与内错角，原说法正确，故此选项不符合题意；C．与不是同旁内角，原说法错误，此选项符合题意；D．和是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，理解同位角、内错角、同旁内角、对顶角的意义是正确判断的前提，掌握“三线八角”的意义和位置关系是解题的关键．30．【山东省济宁市微山县2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则．【答案】16【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，结合图形进行分析即可进行分析即可【详解】解：同位角有：与，与，内错角：与，与，同旁内角：与，与，与，与，，，，，故答案为：16【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．一、单选题1．【河北省唐山市遵化市2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】若与互补，与互余，则的值为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了余角和补角，掌握和为的两个角互为余角，和为的两个角互为补角是解答本题的关键．根据题意，得到，，用第一个等式减去第二个等式，得到．【详解】解：由已知条件得，，，．故选：．2．【辽宁省朝阳市朝阳县羊山实验中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】若与相等且互补，与是对顶角，则的一半是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据互补的两个角的和等于，以及与互补且相等可求，再根据对顶角相等求出，进一步即可得解【详解】∵与互补且相等，与是对顶角，的一半是，故选B【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，补角的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键3．【江苏省南通市通州区等2地2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线相交于点平分．若，则的度数为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义即可求出的度数．【详解】解：平分，，，，，故选：C．【点睛】本题考查垂线，角平分线定义，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．4．【河北省张家口市万全区2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷】如图，直线相交于点于点，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对顶角的性质结合垂线的性质得出求出即可．【详解】解：∵，∴，则．故选：D．【点睛】此题主要考查了对顶角以及垂线的性质，得出度数是解题关键．二、填空题5．【广东省广州市天河区新都学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】已知，于点O，平分，，则．【答案】或者【分析】分当在内时以及当在内时，两种情况计算即可作答．【详解】解：①根据题意画图，如图1．

∵，∴．∵平方，∴．∵，∴．∴．②根据题意画图，如图2，

∵，∴．∵平方，∴．∵，∴．∴．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义等知识，注意分类讨论，是解答本题的关键．6．【山东省青岛市市南区2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】一个角的补角是它的余角的倍，则这个角余角的度数是．【答案】【分析】根据补角和余角的定义，“利用一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．【详解】解：设这个角的度数是，则，解得．这个角的余角．则这个角的余角度数是．故答案为：．【点睛】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．7．【河南省安阳市滑县2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，已知相交于O，于O，，则的度数是．【答案】【分析】根据平角的定义，得到，结合得到．【详解】∵，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了互补，互余计算，正确理解互补即两个角的和为，互余即两个角的和为是解题的关键．8．【上海市普陀区2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，在梯形中，，点分别在边上，如果，，那么．【答案】1.8【分析】连接，由平行线的性质可知，点，，到的距离相等，可得，，进而可求得答案．【详解】解：连接，

∵，∴点，，到的距离相等，∴，，∴，故答案为：1.8．【点睛】本题考查平行线的之间的距离，掌握平行线之间的距离相等是解决问题的关键．9．【湖北省黄冈市红安县部分学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为．【答案】【分析】根据垂直的定义可求出，最后根据对顶角相等得出的度数．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质等知识点，熟练掌握对顶角相等的性质是解题的关键．10．【天津市滨海新区云山道学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上．【答案】【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案．【详解】解：设，，，，，平分，平分，平分，，，，，故正确，符合题意；，度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意；，故正确，符合题意；，，，故正确，符合题意；综上所述，正确的有：，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题11．【广西壮族自治区河池市凤山县2022-2023学年七年级下学期期中数学试题】如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求和的度数．【答案】，【分析】此题主要考查了邻补角的性质和角平分线定义，一元一次方程的应用，首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，再计算出的度数，再根据邻补角互补可得的度数，进而得出的度数．【详解】解：平分，，，设，则，，，解得：，，，，平分，，，，．12．【广东省深圳市龙岗区爱义学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】直线，相交于点O．(1)，分别是，的平分线．画出这个图形．(2)射线，在同一条直线上吗？(3)画的平分线．与有什么位置关系？【答案】(1)见解析(2)射线、射线在同一条直线上．理由见解析(3)见解析，垂直【分析】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了邻补角和对顶角．熟练掌握角平分线、对顶角及邻补角的定义等知识是解题的关键．（1）根据题意画图；（2）根据邻补角和对顶角的定义得到，，再根据角平分线的定义得，，则，所以，于是可判断射线、射线在同一条直线上；（3）根据（2）得，，再由平分得，所以，即可得结论．【详解】（1）解：如图所示，（2）射线、射线在同一条直线上．理由如下：∵直线、相交于点O，∴，∵，分别是、的平分线，∴，，∴，∴，∴，∴射线、射线在同一条直线上；（3）如图，理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，即，∴．13．【广东省佛山市禅城区惠景中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】如图，点在直线上，过点作射线，平分，平分．若，求：(1)的度数；(2)的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查角平分线的定义、邻补角及角的和差关系；（1）由题意易得，然后根据邻补角可得，（2）根据角的和差倍分关系可求解．【详解】（1）解：平分，，，，（2）平分，．14．【辽宁省沈阳市和平区南昌中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题】已知直线经过点O，，射线是的角平分线．(1)如图1，若，求的度数；(2)将图1中的绕顶点O逆时针旋转