专题5.12二次函数与特殊四边形综合问题大题专练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】专题5.12二次函数与特殊四边形综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________一、解答题(共24题)1．（2012·江苏泰州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求PQ∥OB），直接写出相应的点【答案】(1)y=(2)：S=-m2-4m,当m＝﹣2时，(3)Q(-2+25,2-25)或(-2-25【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB，即可进行解答；（3）由PQ∥OB，则OB，【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：{16a-4b+c=0解得{a=所以此函数解析式为：y=1（2）解：连接OM,∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为(m,1∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB＝12×4×（-12m2﹣m+4）+12＝﹣（m+2）2+4，∵﹣4＜m＜0，当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝0+4＝4．答：m＝﹣2时，S的最大值为4；（3）解：设P（x，12x2+x﹣4根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x）．由PQ＝OB，得|-x-(1整理得：|-1所以-12x解得x＝0或﹣4或-2±25（x=0由此可得：Q(-2+25,2-25)或(-2-25【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键．2．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数关系式．(2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2(2)2,-3或4,5或-2,5；(3)-34【分析】（1）把点A(1，0)、B(3，0)代入解析式，即可求解；（2）先求出抛物线的对称轴为x=1，设点D1,t,Gm,m2-2m-3，然后分三种情况：当（3）先求出点M1,-4，再求出直线CM的解析式，可得到∠CBE=∠E，然后两种情况：当△PEO∼△ABC时和当△PEO∼△CBA（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A(1，0)、B(3，0)两点，∴a-b-3=09a+3b-3=0，解得：a=1b=-2∴抛物线的函数关系式为y=x2（2）存在，理由如下：∵y=x∴抛物线的对称轴为x=1，当x=0时，y=-3，∴点C0,-3设点D1,t,G∵B(3，0)，当DG为对角线时，另一条对角线为BC，∴1+m2=解得：m=2t=0∴此时点G2,-3当DB为对角线时，另一条对角线为GC，∴m+02=1+32m∴此时点G4,5当DC为对角线时，另一条对角线为BG，∴m+32=1+0∴此时点G-2,5综上所述，点G的坐标为2,-3或4,5或-2,5；（3）如图，连接AC，OP，∵y=x∴点M1,-4设直线CM的解析式为y=kx+mk≠0把点M1,-4，C0,-3k+m=-4m=-3，解得：k=-1∴直线CM的解析式为y=-x-3，当y=0时，x=-3，∴点E-3,0∴OE=OB=3，且OC⊥BE，∴CE=CB，∴∠CBE=∠E，设Px,-x-3又∵点P在线段EM上，∴-3<x<1，∴PE=x+32+-x-32当△PEO∼△ABC时，OEBC=即332=2x+3∴此时点P-1,-2当△PEO∼△CBA时，OEAB=即34=2x+33∴此时点P-3综上所述，点P的坐标为-34,-【点睛】本题主要考查了二次函数与四边形的综合题，熟练掌握二次函数的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．3．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A0,-3，与x轴的交点为B、C，直线l:y=2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）最大值PM=92，此时P点坐标（2，3）；（3）点G的坐标【分析】（1）先求出C点坐标，再把AC坐标代入解析式即可；（2）由PM∥x轴设P点坐标，再表示出M点坐标，即可表示出PM的长度；（3）先求出新函数的解析式，再求出B、E两点坐标并表示出FG坐标，最后根据菱形的性质列出方程即可．【详解】（1）∵直线l:y=2x+2与抛物线相交于点C∴C点坐标为（1，0）把A0,-3、C（1，0）代入函数解析式y=c=-3解得c=-3∴抛物线的函数表达式y=（2）设P(a,∵段PM∥x轴∴M纵坐标为a∵M在直线l:y=2x+2上∴M(∴PM=a-(∴当a=2时PM最大，最大值PM=92，此时P点坐标（2，（3）∵抛物线的函数表达式y=∴顶点坐标（1，4）,与x轴的交点B（3，0）、C（1，0）∵把抛物线绕点O旋转180°∴旋转前后对应点关于原点对称∴新抛物线的顶点为（1,4），与x轴的交点为（3，0）、（1，0）∴设新抛物线解析式为y=-∵向上平移使得新抛物线过（2）中的P（2，3）点设平移后解析式为y=-∴-3=-(2+1)2∴平移后解析式为y=-∵E是平移后抛物线与y轴的交点，∴E（0,5）∵F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，∴设F1,a1∵以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形∴确定的学段BE可能是对角线也可能是边①当BE是对角线时∵菱形BFEG对角线互相垂直平分∴此时F是BE的垂直平分线与直线x=1的交点，∵E（0,5）、B（3，0）∴直线BE的解析式为y=-53x+5，∴设BE的垂直平分线解析式为y=35x+5解得b1∴BE的垂直平分线解析式为y=当x=1时y=115，即∵菱形BFEG对角线互相垂直平分∴由中点公式得1+m2=即G点坐标(2,②当BE为边长时BE=BF，∴由距离公式得3-0解得：a∵菱形BFGE对角线互相垂直平分∴由中点公式得1+02=m+32即G点坐标为(-2,30+5)综上所述所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标为(-2,30+5)或(-2,-30【点睛】本题考查二次函数与菱形的综合，难度比较大，解题的关键是在直角坐标系中利用中点坐标公式把菱形的性质与坐标关联起来．4．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期末）如图，已知抛物线y=14x2-32x-n(n>0)与x轴交于A，B两点（（1）如图1，若△ABC为直角三角形，①求n的值；②P是抛物线上的一点，Q是抛物线的对称轴上的一点，若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标；（2）如图2，过点B作BC的垂线BD分别交抛物线和y轴于点D、E，且BE=ED，求n的值．【答案】（1）①n=4，②P点的坐标为(11,394)和(-5,394)【分析】（1）先证明ΔAOC∽ΔCOB，得到OA、OB、OC之间的关系，再设出A和B两点的坐标，利用根与系数的关系得出关于n的方程，求解即可；（2）设出P和Q两点的坐标，再分情况讨论哪两条线段为平行四边形的对角线，根据平行四边形对角线互相平分，利用中点坐标公式建立方程求解即可；（3）先设出B点坐标，再通过相似建立比例线段，求出E点坐标，然后通过做辅助线构造相似三角形，得到D点的坐标，将B和D两点坐标同时代入抛物线解析式中求解即可．【详解】解：（1）①由题可知：C（0，n）∴O∵△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠BCO=90°又因为∠ACO+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠OCB，由∠AOC=∠COB,∴ΔAOC∽ΔCOB，∴AO∴AO⋅OB=OC设A(∴x1即4n=n解得n=0(舍)，n=4，∴n=4．②由（1）知，14x2∴B(8,0)

C(0,4)又∵抛物线对称轴为直线x=3

∴设点P坐标为(t,14t2由平行四边形的性质可知：当BQ、CP为平行四边形对角线时，BQ与CP的中点重合，∴1∴t=11，代入P点坐标公式可得：P(11,当BP、CQ为平行四边形的对角线时，同理可得P点坐标为(-5,当BC、PQ为平行四边形的对角线时，同理可得P点坐标为(5,-综上所述P点的坐标为(11,394)和(-5,（2）解设B点坐标为（a，0），∵BC⊥BD，∴∠CBE=90°∴∠CBO+∠OBE=90°，又∵∠CBO+∠BCO=90°，∴∠OBE=∠BCO，因为∠BOE=∠COB,∴Rt△CBE中，△BEO∽△CBO∴BECB∴EO=BO⋅BO所以E过D作DH⊥x轴于H点，∴DH∥OE,∴BEBD∵BE=ED，∴DH=2OE=2a∴D(-a,将B点（a，0），D(-a,2a2n)代入抛物线解析式，解得n综上所述n=52【点睛】本题为二次函数与相似综合题，涉及到了相似三角形的判定与证明、平行四边形的性质的应用、图像上点的坐标与二次函数解析式的关系、待定系数法、平行线分线段成比例等内容，要求学生理解并熟记相关概念，能运用相关公式进行求解，对学生的综合分析、推理和计算的能力都有较高要求，题中蕴含了数形结合和分类讨论等思想方法．5．（2021·江苏连云港·九年级期末）已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，点B3,0，与y（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标；（3）已知点H0,458，G2,0，在抛物线对称轴上，找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P的坐标为2,3，1+7,-3，1-7,-3；（3【分析】(1)因为抛物线经过A(1，0)，B(3，0)，利用待定系数法解决问题即可.(2)分点P在x轴的上方或下方，点P的纵坐标为3或3，利用待定系数法求解即可.(3)如图，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小.求出直线HB的解析式，可得点F的坐标，设K(x0，y0)，作直线SK∥y轴，且S得纵坐标为174，证明KF=SK，利用垂线段最短解决问题即可【详解】解：（1）∵经过A、B两点的抛物线解析式为y=ax将A-1,0，Ba-b+3=09a+3b+3=0，解得：a=-1∴抛物线的解析式为y=-x（2）点P的坐标为2,3，1+7,-3，∵y=−x2+2x+3①当四边形CAQP为平行四边形时，P在x轴的上方，由AQ∥CP，得：点P的纵坐标为3，令y=3，则−x2+2x+3=3．∴x=0或x=2，但x=0时，P与C点重合，即舍去x=0，∴P的坐标为(2，3)②当四边形PACQ为平行四边形时，P在x轴的下方，得：点P的纵坐标为3，令y=3，得：−x2+2x+3=3，∴x=1+7或x=17∴P的坐标为：(1+7，−3)，(1−7，−3)，综上：P的坐标为(2，3)，(1+7，−3)，(1−7，−3)．（3）∵点A与点B关于对称轴x=1对称，∴连接BH与直线x=1交点即为F点．∵点H的坐标为0,458，点B的坐标为∴直线BH的解析式为：y=-15令x=1，则y=15当点F的坐标为1,154时，设抛物线上存在一点Kx0,则由勾股定理可得：KF又∵点K在抛物线上，∴y0∴x0∴KF∴KF=y如图，过点K作直线SK，使SK//y轴，且点S的纵坐标为174∴点S的坐标为x0则SK=y∵y0∴y0∴KF=SK．∴KF+KG=SK+KG．当且仅当S，K，G三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，FK+FG的值最小．又∵点G的坐标为2,0，∴x0=2，将其代入抛物线解析式中可得：∴当点K的坐标为2,3时，KF+KG最小．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，第四个问题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，属于中考压轴题.6．（2021·江苏无锡·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a=-25；（3）能，P（1，-2677）或P【分析】(1)令抛物线y=0，即可求出A点和B点坐标，再根据CD=4AC得到D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，由此求解；(2)过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax22ax3a)，得到F(x，ax+a)，求出EF=ax23ax4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；(3)令ax22ax3a=ax+a，即ax23ax4a=0，得到D(4，5a)，设P(1，m)，分类讨论：①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【详解】解：(1)当y=ax22ax3a=a(x+1)(x3)=0时，得A(1，0），B(3，0)，∵直线l：y=kx+b过A(1，0)，∴0=k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵CD=4AC，∴D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，∴点D的横坐标为4，故答案为：A(1，0)，点D的横坐标为4；(2)D的横坐标代入二次函数得到：D(4,5a)，如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)，∵直线l：y=kx+b过A（1，0），∴0=k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，则F(x，ax+a)，EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF=12(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)-12(ax2﹣3ax﹣4a)x=12(ax2﹣=1∵E是直线l上方的抛物线上的动点，∴x=32时，△ACE的面积的最大值为-∵△ACE的面积的最大值为54∴-25a8=5故答案为：a=-2(3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴设P（1，m），分类讨论：情况一：如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，∵A点横坐标在D点横坐标左边5个单位，∴Q点横坐标在P点横坐标左边5个单位，即Q横坐标为：15=4，将x=4代入二次函数解析式中求得Q纵坐标为21a，∴Q(4，21a)，∴m=21a+5a=26a，则P(1，26a)，∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+(5a)2+32+(26a5a)2=22+(26a)2，解得a²=17，又a<0∴a=-77，此时P(1，-情况二：如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，∵D点横坐标在P点横坐标右边3个单位，∴Q点横坐标在A点横坐标右边3个单位，即Q点横坐标为1+3=2，将x=2代入抛物线中求得Q点纵坐标为3a，∴Q(2，3a)，∴m=5a(3a)=8a，则P(1，8a)，∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴(11)2+(8a)2+(14)2+(8a5a)2=52+(5a)2，解得a²=14，又a<0∴a=-12，此时P(1，综上所述，P点坐标存在，且P(1，-2677)或P(1【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点坐标，动点问题之三角形面积的最值问题，矩形的存在性问题等，题目较难，具有一定的综合性，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键7．（2021·江苏·昆山市城北中学九年级阶段练习）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．(1)求抛物线的解析式及直线AC的解析式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x(2)PE的最大值＝9(3)存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+7，0），F4（4﹣【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式；（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值；（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．（1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝0=1-b+c0=9+3b+c解得：b＝﹣2，c＝﹣3；∴y＝将C点的横坐标x＝2代入y＝得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；设直线AC的函数解析式是：y=kx+b，则：0=解得：k∴直线AC的函数解析式是y＝（2）解：设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2＝-x∴当x＝12时，PE的最大值＝9（3）解：存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+7，0），F4（4﹣①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，∵C（2，﹣3），G（0，﹣3）∴CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，∴G点的纵坐标为3，代入y＝x2-2x-3=∴G点的坐标为（1±7，3），图中G点在第一象限，所以G（1+7，3），∵AC∥GF∴设直线GF的解析式为：y＝将G点代入得：3∴h可得出直线的解析式为y＝当y＝0∴F的坐标为（4+7，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣7，0）；综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考中常见的压轴题，解题的关键是：正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行解题．对于二次函数中的存在性问题，要进行分类讨论．8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y=-12(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标；(3)将抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-14x2+(2)点E的坐标为(3,154(3)存在，点N的坐标为(﹣2,2+5)或(7,﹣2-5)或(﹣3,﹣2【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，代入抛物线求得a、b的值，即可得抛物线的表达式；（2）根据四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线y=-12x+n与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线，使该方程判别式为0即可求得（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．（1）解：∵直线BC的解析式为y=-12∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3，∴点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3)；∵A(﹣2,0)，∴代入抛物线得：4a-2b+3=036a+6b+3=0解得：a=-1∴抛物线的表达式为：y=-14x2+x（2）解：∵AD∥BC，∴设直线AD的表达式为：y=-12x+将A(﹣2，0)代入直线AD即可求得：m＝﹣1，∴直线AD：y=-12x﹣设过点E与直线BC平行的直线：y=-12x+∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线y=-12x+∴令y=-12x+n=-14x2化简得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，由Δ＝36﹣4(4n﹣12)＝0得：n=21∴方程①的解为：x1＝x2＝3，∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为(3,154)（3）解：存在，理由：①当AE是平行四边形的对角线时，∵y=-14(x+2)2+(x+2)+3=-14∴新抛物线的表达式为：y=-14x2+4，且原抛物线对称轴为直线x＝∵点A、E的坐标分别为(﹣2,0)、(3,154)∴AE中点的坐标为(12,158设点M(2,t)，点N(s,-14t2则由中点公式得：12=2+s解得：s＝﹣2，t＝2+5(负值舍去)∴N(﹣2,2+5)②当AE是平行四边形的边时，设M(2,t')，点N(s',-14t'2则s'﹣2＝5，解得s'＝7，N(7,﹣2-5)s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N(﹣3,﹣2+35)综上，点N的坐标为：(﹣2,2+5)或(7,﹣2-5)或(﹣3,﹣2+【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中(3)问要注意分类求解，避免遗漏．9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；(3)如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为：y＝-49x2-169(2)矩形PEFG周长最大时，点P的横坐标为-(3)存在，AN＝1或55【分析】（1）抛物线的表达式为：y=-4（2）PE=-49m2-169m+209，PG=2（2m）=42（3）分MN=DM、NM=DN、DN=DM，三种情况分别求解．（1）抛物线的表达式为：y＝-49(x+5)(x-1)则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，-49则PE＝-49m2-169m+209，PG＝2（﹣矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（-49m2-169m+∵-89＜0，故当m＝-17此时，点P的横坐标为-17（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，ANBM而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM＝DN时，则∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝256而ANBM=AMBD，即解得：AN＝5536③当DN＝DM时，∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1或5536【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A-2,0、B6,0两点，与y轴交于点C0,4，顶点为点G，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接(1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；(2)当PMAM的值最大时，求点P的坐标及PM(3)如图2，在（2）的条件下，EF是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接CE、AF，当四边形ACEF周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标．【答案】(1)y=-13(2)P3,5；最大值为(3)H13,3、H【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；（2）作AN∥CO交直线BC于点N，作PQ∥CO交直线BC于点Q，得：AN∥PQ，得到△PQM∽△ANM，PMAM=PQAN，待定系数法求出直线BC的表达式，点N的坐标是-2,163，求出AN=163，求（3）先说明C四边形ACEF最小，就是CE+AF最小；作AA'∥EF，且AA'=EF=2，连接EA'，如图4，则CE+AF=CE+A'E；作点C关于对称轴的对称点C'4,4，连接C'A'交对称轴于点E'，则点E运动到点E'时，C四边形ACEF最小；待定系数法求出直线A'C'的表达式，得到E2,10(1)解：由抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A-2,0、B6,00=4a-2b+c0=36a+6b+c解得：a=-1∴y=-1对称轴：直线x=-2+6∴yD∴点G的坐标为2,16(2)解：如图3，作AN∥CO交直线BC于点N，作PQ∥CO交直线BC于点∴△PQM∽△ANM，∴PMAM设直线BC的表达式为y=kx+b，∴0=6k+b4=b解得k=-2即y=-2∵A-2,0∴把x＝﹣2代入y=-23x+4得y∴点N的坐标是-2,16∴AN=16∴求PMAM的最大值，就是求PQAN的最大值，即求设Pp,-13∴PQ=-=-=-1当p=3时，PQ最大值时3，P3,5∴PMAM的最大值=PQAN(3)解：∵在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∴AC=A∴C四边形∴C四边形ACEF最小，就是作AA'∥EF，且AA'=EF=2，连接EA'，如图∴四边形AA'EF是▱；∴A'E=AF，∴CE+AF=CE+A'E；作点C关于对称轴的对称点C'4,4，连接C'A'交对称轴于点E'，则点E运动到点E'时，C设直线A'C'的表达式为y=k∴2=-2k解得k=1即y=1∴E2,以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，∴H13,3、H2【点睛】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键．11．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校九年级阶段练习）如图，直线y=-x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B(1)求抛物线的解析式；(2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)（2，4）(3)（5，-72）或（3，-72）或（【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；（2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可；（3）分BC为对角线和边两种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．（1）解：∵直线y=-x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），∴16a+4+c=0c=4∴a=-1∴抛物线解析式为y=-1（2）解：如图所示，过点E作EF⊥x轴于F，交直线BC于G，设点E的坐标为（m，-12m2+m+4），则点G的坐标为（∴EG=-1∴S===2-=-m-2∴当m=2时，△BEC的面积有最大值，设点E到BC的距离为h，∴S△BEC∵BC是定值，∴当△BEC面积最大时，h有最大值，∴当点E到直线BC的距离最大时，点E的坐标为（2，4）；（3）解：设点P的横坐标为（n，-1如图1所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCPQ的边时，∵抛物线解析式为y=-1∴抛物线对称轴为直线x=-1∴n+02∴n=5，∴点P的坐标为（5，-7同理如图2所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCQP的边时，∴n+42∴n=3，∴点P的坐标为（3，-7如图3所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BPCQ的对角线时，∴1+n2∴n=3，∴点P的坐标为（3，52∴综上所述，点P的坐标为（5，-72）或（3，-72）或（【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．12．（2022·江苏淮安·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为；(3)当平行四边形CPBD是菱形时，求m的值．【答案】(1)y=(2)（2，3）(3)m【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式；（2）先确定点D在x轴上，再利用平行四边形的性质可判断PC∥x轴，然后根据抛物线的对称性确定点P的坐标；（3）设P(m,m2-2m-3),而B(3,0),先求解C(0,-3)，BP2=(m-3)(1)解：由题意可得：抛物线的解析式为y=（x+1）（x3），即y=x22x3；(2)解：由（1）可得，点C(0，3)，∵平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上，∴点D在x轴上，而BD∥PC∴点P和点C为抛物线上的对称点，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴点P的坐标为（2，3）；(3)解：设P(m,m2-2m-3),令x=0,则y=-3,∴C(0,-3),∴BP当平行四边形CPBD是菱形时，∴PB=PC,∴(m-3)整理得：m2解得：m=即：m【点睛】本题考查的利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与特殊四边形，勾股定理的应用，熟练的运用二次函数的性质与特殊四边形的性质解题是关键．13．（2022·江苏徐州·二模）如图，二次函数y=-x2+bx的图像与x轴负半轴交于点E，平行于x轴的直线l与该抛物线交于A、B两点（点A位于点B(1)求b的值；(2)设C、D是x轴上的点（点D位于点C左侧），四边形ABCD为平行四边形，过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线交于C'(m,n)、①若n+q=-16，求m的值；②当n+q值最大时，四边形CC'D【答案】(1)b=-3(2)①m=-1或3；②20【分析】（1）根据y=-x2+bx的对称轴与直线l交于点F(-（2）①根据题意求得m-p=5，根据过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线交于C'(m,n)、D'②根据①的结论，表示出n+q，根据二次函数的性质求得最大值时，m的值，进而判断CC（1）∵y=-x2+bx的对称轴与直线l∴对称轴为x=-3即x=-b解得b=-3，（2）①∵F(-32,-4)，A,B∴l=-4，联立y=-x解得x1∴A-4,-4∴AB=5，∵四边形ABCD为平行四边形，过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线交于C'(m,n)、∴AB=CD=m-p=5，∵C'(m,n)、D'∴n=-m∵n+q=-16，∴-m即m2整理得m-p2∴2mp+3m+p联立m-p=52mp+3m+p=-9，解得m=-1∴m=-1或3，②由①得n+q=-m2-3m-p∴n+q=-2m当m=1时，n+q最大，此时p=m-5=1-5=-4，∴n=-12-3×1=-4∴C',D'∴四边形CC'D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．14．（2022·江苏·常州市清潭中学一模）如图，点A4,3，二次函数y=-14x2+x+3的图象顶点为B．与y轴交于点C．连接AC．过点A作AD⊥x轴于点D，点E是线段AC上的动点（点(1)直接写出顶点B，点C的坐标；(2)若直线BE将四边形ACOD分成周长相差为4的两个四边形，求点E的坐标；(3)如图，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在二次函数的图像上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B2,4，(2)E125(3)存在，AE=4【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可求得B的坐标，令x=0即可求得点C的坐标；（2）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式，则点M的坐标为（4m6，0），由题意得出OC=3，AC=4，OM=4m6，CE=m，根据题意建立绝对值方程，解方程求解即可；（3）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：a2,-14a2+a+3，证明△EFN≌△DGO（ASA），得出NE=OD=AC=4，则AE=NC=a，证△ENF(1)解：由y=-14∴B令x=0，解得y=3∴C(2)∵A4,3,B∴AC=OD=3,CO=AD=4∴四边形ADOC是平行四边形∵AD⊥x∴四边形ADOC是矩形，设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y=kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：则2k+n=4∴∴直线BE的函数表达式为：y=-令y=0，解得x=4m-6∴点M的坐标为（4m6，0）．∵直线BE将四边形ACOD分成周长相差为4的两个四边形，∵C（0，3），A（4，3），M（4m6，0），E（m，3），∴OC=3，AC=4，OM=4m6，CE=m．∴∵CO=AD,EM=EM∴即m+4m-6解得m=125∴E125(3)存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：设点F的坐标为（a，14a2+a+3），则NF=3（14a2+a+3）=14a2a，NC∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，∴∠DAE=∠DEF=∠N=90°，EF=DG，EF∥DG，AC∥OD．∴∠NEF=∠ODG，∠EMC=∠DGO．∵NF∥CG，∴∠EMC=∠EFN．∴∠EFN=∠DGO．在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG∴△EFN≌△DGO（ASA）．∴NE=OD=AC=4．∴ACCE=NECE，即AE=NC=a．∵∠DAE=∠DEF=∠N=90°，∴∠NEF+∠EFN=90°，∠NEF+∠DEA=90°．∴∠EFN=∠DEA．∴△ENF∽△DAE．∴NE即4整理得3解得a=-43当a=0时，点E与点A重合，∴a=0舍去，∴AE=NC=a=∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为4【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键．15．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）抛物线y=ax2+2x+c过点A-1,0，点(1)求抛物线的表达式及顶点C的坐标；(2)如图1，点P在第一象限抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，AP．若S△ACP:S△ADP(3)如图2，在（2）的条件下，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得四边形ADFE为菱形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x(2)P(3)存在，6,21或【分析】（1）用待定系数法求出二次函数关系式即可；（2）过点C作CM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，根据面积法求得PNCM=59，设（3）先求出直线CD的函数关系式，再求出点D坐标，设E1,h，根据菱形的性质列出关于h的方程并求解，最后求出点【详解】（1）把A-1,0、B3,0代入得到a-2+c=09a+6+c=0，解得a=-1∴抛物线的解析式为y=∴顶点C坐标1,4（2）如图1，过点C作CM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，∵S△ACP∴S△ADP∴12∴PN设Pt,-t2则-解得：t1=-1∴P（3）设直线CD的函数关系式为：y=mx+n，∵直线CD过C1,4，P∴m+n=47解得：m=-可求得直线CD:y=-4将y=0代入y=-43x+16∴D4,0由题知抛物线的对称轴为直线x=1，A-1,0设E1,若四边形ADFE是菱形，则AD=AE∴4--1∴h=±∴点E坐标为1,21或1,-由平移性质可得点F坐标分别为6,21或6,-【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，，菱形的性质等知识，理解二次函数的性质是解题的关键．16．（2022·江苏连云港·一模）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设PEOE=k，求当(3)如图2，D(m,0)是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形CMN【答案】(1)y=-(2)k取得的最大值是34，此时(3)存在，(3+2,0)【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)，设y=a(x+1)(x-3)，将C(0,3)代入，求得：a=-1，得到（2）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，得到△PEH∽△OEC，PEOE=PHOC，根据PEOE=k，OC=3，得到k=13PH，求出直线BC的解析式y=-x+3，

设点P(t,-t2+2t+3)，H(t,-t+3)（3）由折叠知，MC=M'C，MN=M'N，根据MN=MC时，判断四边形CMNM'为菱形，设M(m,-m+3)，N(m,-m2+2m+3)，得到MN=|-m2+3m|，MC=(m-0)2+(-m+3-3)2=2(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)∴设y=a(x+1)(x-3)，将C(0,3)代入，得a(0+1)(0-3)=3，解得：a=-1，∴y=-(x+1)(x-3)=-x∴抛物线的解析式为y=-x(2)解：如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，∴△PEH∽△OEC，∴PEOE∵PEOE=k，∴k=1设直线BC的解析式为y=kx+n，∵B(3,0)，C(0,3)，∴{3k+n=0n=3解得：∴直线BC的解析式为y=-x+3，

设点P(t,-t2+2t+3)∴PH=-t2∴k=1∴当t=32时，k取得最大值34(3)由折叠知，MC=M'C，MN=M'N，∴当MN=MC时，四边形CMNM设M(m,-m+3)，则N(m,-m∴MC=(m-0)∴|-m2+3m|=解得：m=3+2或3-综上所述：点D坐标为(3+2,0)或【点睛】本题考查了二次函数，相似三角形，二次函数的最值，折叠，菱形．熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，作辅助线构建相似三角形，用配方法将二次函数解析式化为顶点式，求二次函数的最值，折叠图形的全等性，菱形的判定，是解决问题的关键．17．（2022·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与坐标轴交于A0,-2，B4,0两点，直线BC:y=-2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC(1)求b和c的值；(2)当GF=12时，连接BD，求△(3)H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．【答案】(1)b=-32，c(2)△BDF的面积为3(3)H(0，3)【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)求出点D的坐标，可得结论；(3)过点H作HM⊥EF于M，证明△EMH≌△FGB(AAS)，推出MH=GB，EM=FG，由HM=OG可得OG=GB=12OB=2，由题意直线AB的解析式为y=12x2，设E(a，2a+8)，F(a，12a2)，根据MH（1）∵抛物线y=x2+bx+c过A(0，2)，B(4，0)两点，∴{c=-28解得{b=-3∴y=故答案为：b=-32，c（2）∵B(4，0)，A(0，2)∴OB=4，OA=2，∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，在Rt△BOA和和Rt△BGF中，∴tan∠ABO=OAOB即24∴GB=1∴OG=OBGB=41=3当x=3时，yD∴D(3，2)，即GD=2∴FD=GDGF=212=3∴S（3）①如图1中，过点H作HM⊥EF于M，∵四边形BEHF是矩形，∴EH//BF，EH=BF，∴∠HEF=∠BFE，∵∠EMH=∠FGB=90°∴△EMH≌△FGB(AAS)，∴MH=GB，EM=FG，∴HM=OG，∴OG=GB=12OB=2∵A(0，2)，B(4，0)，∴直线AB的解析式为y=12x2设E(a，2a+8)，F(a，12a2)，由MH=BG得到，a0=4a，∴a=2，∴E(2，4)，F(2，1)，∴FG=1，∵EM=FG，∴4yH=1∴yH=3，∴H(0，3)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．18．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，直线y＝﹣34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+34x+c经过A、(1)求二次函数解析式；(2)如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；(3)在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．(4)如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+13N′B【答案】(1)y=-(2)△DEM的周长的最大值为18(3)存在，P(-3,-218)或(4)145【分析】（1）、由一次函数与坐标轴交点坐标特点求出A、B两点坐标，代入二次函数解析式即可求解；（2）、设E(m,-38m2+34m+3)，则可用m表示出点M、F点坐标，由两点间的坐标公式，可用m（3）、由（2）可知E、M点坐标，则可分成AM为边和AM为对角线去求解即可；（4）、在y轴上截取OH=13，连接HN'，可证得：△HON'∽△N'OB，则可得当H、N(1)解：∵直线y＝﹣34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B∴令x=0，则y=3；令y=0，则x=4，∴A(4,0),B(0,3)，∵抛物线y＝ax2+34x+c经过A、B∴16a+3+c=0c=3解得：a=-38∴y=-3(2)设E(m,-38m2+34∴MF=-34m+3，MA=(m-4)2∵点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），∴0＜m∴MA=54∴△AMF的周长为：AF+MF+MA=4-m-34∵ED⊥AB，EF⊥AC，∴∠EDM=∠AFM，∵∠EMD=∠AMF，∴△DEM∽△FAM，∴△DEM的周长∶△FAM的周长=EM:AM∵EM=-38∴EM∴△DEM的周长为：C=-∵C=-9100＜∴m=2时，△DEM的周长最大值为185(3)存在点P，由（2）可知：m=2，此时可得：E(2,3),M(2,32y=-3∴抛物线的对称轴为：x=1，则Q点的横坐标为1，∵A(4,0)，∴C(-2,0)，设P(k,n)，①当CM为平行四边形的边时，且P点在Q点的左侧，此时：CM=PQ,CM∥PQC点先向右平移4个单位，再向上平移32个单位到M则P点先向右平移4个单位，再向上平移32个单位到Q∵Q点的横坐标为1，∴k=-3，将其代入抛物线解析式得：n=-218∴P(-3,-218②当CM为平行四边形的边时，且P点在Q点的右侧，同理可知：将Q点先向右平移4个单位，再向上平移32个单位到P此时k=5，代入抛物线解析式得：n=-218∴P(5,-21③当CM为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得：-2+22=∴k=-1，代入抛物线解析式得：n=158∴P(-1,综上所述：P(-3,-218)或P(5,-(4)在y轴上截取OH=13，连接HN∵ON'∴OHO∴OH又∠HON'∴△HON'∴HN∴HN'∴N'当H、N'、A共线时，N'A+1在直角三角形AOH中，AH=OH∴N'A+13【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和三角形的综合问题，点到点的距离，相似三角形判定与性质，最值问题，平行四边形的存在性问题，熟练掌握基础知识并会综合应用，掌握分类讨论的数学思想方法，作辅助线构造相似三角形是解题关键．19．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线c1:y=-3x-m2+3（其中m为常数，且m<0）关于原点对称得到抛物线c2，抛物线(1)请直接写出抛物线c2的表达式；（用含有m(2)若抛物线c1与x轴的交点从左到右依次为A，B；抛物线c2与x轴的交点从左到右依次为C，①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD=3BC，求m的值；②是否存在这样的m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；(3)在抛物线c1对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与y轴相交于P，Q两点，且GM=pGP，GN=qGQ，求p-q【答案】(1)c2的解析式为：y=3(2)①m=2；②存在m，m=1；(3)pq=1．【分析】（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），点（x，y）关于原点的对称点为（x，y），将点（x，y）代入抛物线c1（2）①分别求出A（1+m，0），B（1+m，0），C（1m，0），D（1m，0），再由题意建立方程即可求m的值；②由M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，则MN为矩形的对角线，在由勾股定理可得1+3+（2m1）2+3=12+4m2，解得m=1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线交GI于点K，则GI∥MH，由平行线的性质可得PG(1+p)GP=-t-m，即t=m1+p，再由NK∥y轴，得列出等式，可求pq=1．（1）解：设抛物线c2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于原点的对称点为（x，y），将点（x，y）代入抛物线c1∴抛物线c2的解析式为y=3（2）①对函数c1令y=0，解得x=1+m或x=1+m，∵m＜0，∴A（1+m，0），B（1+m，0），对函数c2：y=3令y=0，解得x=1m或x=1m，∵m＜0，∴C（1m，0），D（1m，0），∴AD=22m，BC=22m，∵AD=3BC，∴22m=3（22m），∴m=2；②存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：∵抛物线c1的对称轴为x=m，∴M（m，3），∵抛物线c2的对称轴为x=m，∴N（m，3），∵M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，∴MN为矩形的对角线，∴AM2+AN2=MN2，∴1+3+（2m1）2+3=12+4m2，解得m=1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线交GI于点K，∴GI∥MH，∴∆GIP~∆MHP，∴PGPM∵GM=pGP，∴PGPM∴t=m∵NK∥y轴，∴∆GQI~∆GKN，∴GQGN∵GN=qGQ，∴GQGN∴t=mq∴m1+p∴1+p=q，∴pq=1．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，中心对称图形的性质，平行线的性质，矩形的性质是解题的关键．20．（2022·江苏无锡·一模）已知抛物线y=ax22ax+c(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，4)，抛物线的顶点为P，对称轴交BC于点M，连接PC、PB，ΔPCM与△PBM的面积比为1∶2；(1)①抛物线的对称轴是；②求抛物线的函数表达式．(2)若点Q为抛物线第一象限图像上的一点，作QN⊥x轴交BC于点N，当QN+NB取得最大值时，求以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标．【答案】(1)①x=1；②抛物线的表达式为y=-4(2)点G的坐标为G1-52,【分析】（1）①根据对称轴公式求解即可得出答案，②设Bm,0，由S△PCMS△PBM=1-0m-1=12，求得B（3,0），由抛物线y=ax22ax+c(a<0)过C（2）设N（x',y'）直线yBC=kx+b，由抛物线的表达式为y=-43x2+83x+4，设Q（x0，-43x02+83x0+4），由yBC=kx+b过C(0，（1）解：①∵抛物线y=ax22ax+c(a<0)，∴对称轴为x=--2a2a故答案为x=1；②设Bm,0，如图1∵S△PCM∴m=3，∴B（3,0），∵抛物线y=ax22ax+c(a<0)过C(0，4)，B（3,0），∴c=49a-6a+c=0解得a=-4∴抛物线的表达式为y=-4（2）解：如图2，设N（x',y'）直线yBC=kx+b，由抛物线的表达式为y=-43∵yBC=kx+b过C(0，4)，B（∴b=43k+b=0解得k=-4∴y∴N（x0，-4∴QN+NB=-=-4当x0=78时，∴Q（78，8516），N（78，①以Q、N、B、G为顶点的平行四边形以QN为对角线时，x'+3=7解得x'=-52∴G1②以Q、N、B、G为顶点的平行四边形以NB为对角线时，x'+7解得x'=3，y∴G2③以Q、N、B、G为顶点的平行四边形以QB为对角线时，x'+3解得x'=3，y∴G3综上所述点G的坐标为G1-52,【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的性质以及平行四边形与二次函数的综合运用，分类讨论思想的运用是本题的解题关键．21．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A(0，﹣1)，B(4，1)直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；(3)把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标．【答案】(1)y=(2)点P的坐标为(2,-4)，ΔPDE周长最大值为(3)点M的坐标为(2,-4)或(-2,12)或(6,12)【分析】（1）利用待定系数法将A(0,-1)，B(4,1)代入y=x（2）先运用待定系数法求出AB的函数表达式，设P(t,t2-72t-1)，其中0<t<4，根据点E在直线y=12x-1上，PE∥x（3）分两种情况：①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，分别进行讨论即可．(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A(0,-1)∴c=-116+4b+c=1，解得：b=-∴该抛物线的函数表达式为y=x(2)解：如图所示：设直线AB的函数表达式为y=kx+n，其图象经过A(0,-1)，B(4,1)，∴n=-14k+n=1，解得：k=∴直线AB的函数表达式为y=1令y=0，得12x-1=0，解得：∴C(2,0)，设P(t,t2-∵点E在直线y=12x-1∴t∴x=2t∴E(2t2-7t∴PE=t-(2t∵PD⊥AB，∴∠AOC=∠PDE=90°，又∵PE∥x轴，∴∠OCA=∠PED，∴Δ∵AO=1，OC=2，∴AC=5∴ΔAOC的周长为3+5，令ΔPDE的周长为∴l=3∴当t=2时，ΔPDE周长取得最大值，最大值为2455+8，此时，点(3)解：满足条件的点M坐标为(2,-4)，(6,12)，(-2,12)，如图所示：由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y=x2-4x①若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，即MN经过AB的中点C(2,0)，∵点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2，∴点M的坐标为(2,-4)；②若AB是平行四边形的边，（Ⅰ）当MN∥AB且MN=AB时，四边形ABNM是平行四边形，∵A(0,-1)，B(4,1)，点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2-4=-2，∴点M的坐标为(-2,12)；（Ⅱ）当MN∥AB且NM=AB时，四边形ABMN是平行四边形，∵A(0,-1)，B(4,1)，点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2+4=6，∴点M的坐标为(6,12)；综上所述，点M的坐标为(2,-4)或(-2,12)或(6,12)．【点睛】本题是二次函数综合，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象和性质、三角形周长、平行四边形性质等知识点，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．22．（2022·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A-4, 0，B(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．【答案】(1)y=1(2)S=-m2-4m(3)Q点的坐标为（4，-4）或（-2+25，2-25）或（-2-25，2+25）或（4【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式；（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBMS△AOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．(1)解：设抛物线解析式为y=ax将A-4, 0，B16a-4b+c=0c=-44a+2b+c=0

解得∴抛物线解析式为y=1(2)解：∵点M的横坐标为m，点M为第三象限内抛物线上一动点，∴M的坐标为（m，12∴S=S△AOM+S△OBMS△AOB==-m∵-4<m<0，∴当m=-2时，S有最大值为4；(3)解：设P（x，12当OB为边时，根据平行四边形的性质得PQ∥∴点Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x，∴Q（x，-x），∴-x-(解得x=0,-4,-2±25x=0不合题意，应舍去，如图，当OB为对角线时，点A与P重合，OP=4，四边形PBQO为平行四边形，则BQ=OP=4，点Q的横坐标为4，∴Q（4，-4），综上，Q点的坐标为（4，-4）或（-2+25，2-25）或（-2-25，2+25）或（【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形性质，三角形面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论求得结果．23．（2022·江苏南京·九年级专题练