新教材人教版高中数学必修第二册全册教案（教学设计）

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念一、教学目标1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，

2、结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.三、课前准备1.了解物理学中的矢量和标量；2.了解有向线段的定义四、教学过程1、情景引入一辆摩托车在公路向东向东快速行驶了一段距离,产生了一段位移,距离和位移一样吗？【答案】摩托车行驶的路线实际上是有方向、有长短的量,距离和位移不一定一样.m2、探索新知（1）向量的实际背景与概念问题1：位移与距离这两个量有什么区别？【答案】距离只有大小,是标量；位移既有大小，又有方向,是矢量，。向量与数量的定义： 只有大小，没有方向的量叫做数量(在物理学中称为标量).既有大小，又有方向的量叫做向量(在物理学中称为矢量); 注意：数量只有大小，是一个代数量，可

3、以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的.练习：判断下列量不是向量的选项是（ ）A.距离 B. 速度 C.力 D.密度 【答案】选AD（2）向量的表示问题：由于实数与数轴上的点一一对应，数量可以用数轴上的一个点来进行表示，那么向量是如何表示呢？有向线段的定义以A为起点，B为终点，则线段AB具有方向，把这样具有方向的线段AB叫做有向线段.A(起点) B（终点）a如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 .线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 .问题:一条有向线段由哪些要素所确定？【答案】起点、方向、长度.向量的几何表示A(起点) B（终点）（1）几何表示法：用

4、有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（2）用字母等表示；用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）；用小写字母表示：、；（印刷用a，书写用）注意：用有向线段表示向量时,起点的位置可以是任意的，所以向量与起点无关，规定数学中的向量具有自由性.4.向量的模向量的大小称为向量的长度（或模），记作或记作。思考：向量的模的取值范围?【答案】非负数。5.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作. 思考：与0的含义与书写区别.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？【答案】以原点为圆心，1为半径的圆注意

5、：（1）零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.（2）向量是不能比较大小的,但向量的模（是非负数）是可以进行大小比较的.（三）.相等向量与共线向量1.平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.思考：若/，/，则/？【答案】若=时，则/不成立2.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）零向量与零向量相等,但是两个单位向量不一定相等;（3）向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.3.共线向量与平行向量关系：如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量.巩固训练：填空

6、：（对下列选项对的打 错的）（1）平行向量一定方向相同（ ）（2）不相等的向量一定不平行（ ）（3）与零向量相等的向量必定是零向量？（ ）（4）与任意向量都平行的向量是零向量？（ ）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量？（ ）（6）两个非零向量相等的当且仅当长度相等且方向相同（ ）（7）共线向量一定在同一直线上 （ ）【答案】（1） （2） (3） （4）（5）（6）（7）例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与向量、相等的向量.例2.如图所示，43的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中

7、，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；分析:根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可解:由题意可知，因为每个小方格都是单位正方形，所以每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2点睛:本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查分析问题的能力和数形结合思想五、课堂小结1向量的概念；2向量的表示：代数表示、几何表示；3研究向量的两个方面：大小：零向量、单位向量；方向：共线向量、平行向量；大小与方向：

8、相等向量、相反向量4数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对的讨论）。六、课后作业习题6.1 2,3题六、课后反思本节课是“平面向量及其应用”的起始课,依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研究向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。最后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。教学中还需注意以下三个方面:(1)通过平面向量的概念形成,让学生体会“平面向量具有集形与数于一身的特征;(2)引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去

9、发现结论，再由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。第六章 平面向量及其应用6.2.1向量的加法一、教学目标1理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量；3理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1两个向量的和的概念及其几何意义； 2向量加法的运算律。三、教学过程：1、情景引入在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示它的实际位移，可以看作水平运动的分位移与竖直运动的分位

10、移的合位移问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为，之间有什么关系？【答案】.问题2：向量，之间有什么关系？【答案】 .2、探索新知（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： 规定：零向量与任一向量，都有 说明：共线向量的加法： 不共线向量的加法：如图（1），已知向量，求作向量.作法：在平面内任取一点（如图（2），作，则 . （1） （2）（2）向量加法的法则：三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：【口诀】尾首相接首尾相连。平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则 则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法

11、称为向量加法的平行 四边形法则。 【口诀】共起点，和为对角线。小组合作探究：问题1：若向量和共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量吗？【答案】（1）当和同向时，；（2）当和反向时，。问题2：之间具有什么样的关系。【答案】当和反向或不共线时，；当和同向时，。综上，。问题3：向量的加法能否像数的加法也满足交换律和结合律呢？【答案】如图所示：在平行四边形ABCD中，所以。在图（2）中，所以，。运算律：交换律： 结合律：4例题分析：例1.化简下列各式：(1)；(2)( )；(3) .解：(1)()0；(2)()()()；(3) .例2.如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下

12、列两个等式一定成立的是哪个？; .解：,故正确；，故错误注意：向量求和，注意“首尾顺次相连”；向量加法的结果还是向量.小雨滴在无风时以4 m/s的速度匀速下落一阵风吹来，使得小雨滴以3 m/s的速度向东移动那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何 ？(提示：tan 37eq f(3,4)解：如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则就是小雨滴实际飞行的速度在RtOAC中，|4 m/s，|3 m/s，所以|5 m/s.且tan AOCeq f(3,4)，即AOC37.所以小雨滴实际飞行速度为5 m/s，方向约为东偏南53.四、小结：1理解向量加法的

13、概念及向量加法的几何意义； 2熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则以及向量加法的运算律。 3.五、作业：习题3.1 6,7,9题精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.2.2向量的减法运算课题：平面向量的减法一、教学目标1.掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，2.掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程.3.通过对向量减法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点：1.向量减法的三角形法则.2.对向量减法定义的理解.三、教学过程：1.复

14、习回顾首先一起回顾一下求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则,本节课我们将学习向量的减法.2、探索新知（1）向量减法的定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba(b).求两个向量差的运算，叫向量的减法.说明：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量；零向量的相反向量仍是零向量；任一向量和它相反向量的和是零向量.（2）作法如图所示，以平面内的一点作为起点作a，b，则两向量终点的连线段，并指向a终点的向量表示ab.说明：向量减法可以利用相反向量转化为向量加法，b与ab尾首相接，首尾相连，得到ab eq o(CB,sup6().例题分析：例1.如图，已知向量a，b，c，d

15、，求作向量ab，cd. 解：作法：如图，在平面内任取一点O，作 eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b， eq o(OC,sup6()c， eq o(OD,sup6()d.作 eq o(BA,sup6()， eq o(DC,sup6()，则 eq o(BA,sup6()ab， eq o(DC,sup6()cd 例2.如图， 是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式不正确的是（ ）A BC D解:对于， ，故错误；对于， ，故错误；对于， ，故错误。故选:ABC如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，试用、表示解:，四、小结：1理解向量减法的概念及向量减法的几何意

16、义； 2熟练掌握向量减法的三角形法则以及向量减法的运算。五、作业：习题6.2.2.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算一、教学目标1.让学生理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；2.让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；3.理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。 二、教学重点1.实数与向量积的定义及几何意义.2向量共线的充要条件及其应用。三、教学过程：1、情景引入质点从点出发做匀速直线运动，若经过1的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过2的位移所对应的向量可用2来表

17、示。 问题1：这里，2如何表示？-2如何表示？已知非零向量，求作和如图：， 问题2：这里，2是何种运算的结果？2、探索新知引出实数与向量的积的定义： 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当 时，（让学生自己解释其几何意义）实数与向量相乘，叫做向量的数乘问题：通过几何意义，让学生尝试验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律2实数与向量的积的运算律：（1）（结合律）； （2）（第一分配律）； （3）（第二分配律） 例1.已知向量和向量，求作向量和向量2-3。解：如下图【作法】（1）如图所示，向量的长度

18、是的长度的2.5倍，方向与相反，即（2）以为起点，分别作，连结DC，则例2计算：（1）4(-)-3(+2)； （2）2(2+6-3)-3(-3+4-2)分析： 根据实数与向量的向量的线性运算的法则去解题解：（1）；（2）13.问题：向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点？生答：（1）向量的数乘与实数的乘法的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律不同点：实数的乘法的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量 （2）向量线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似例3.判断下列各题中的向量是否共线：（1），；（2），且，共线解：（1）当时，则，显然与共线当时， ，与共线（3）当

19、，中至少有一个为零向量时，显然与共线当，均不为零向量时，设，若时，显然与共线若时， 与共线例4.设是两个不共线的向量，已知，若，三点共线，求的值。解：，三点共线，与共线，即存在实数，使得，即是.由向量相等的条件，得 ，四、小结：实数与向量积的定义;2.理解实数与向量积的几何意义；3.实数与向量的积的运算律.五、作业：习题精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.2.4向量的数量积一、教学目标：1、知识与技能： 通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义，掌握平面向量数量积的性质.2、过程与方法： 经历从物理背景的分析，抽象概况出概念的过程，培养学生归纳概括、

20、类比迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.3、情感、态度、价值观： 通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作学习的科学态度.二、教材分析：重点：平面向量数量积的概念和性质.难点：平面向量数量积的性质的发现.三、教学策略：启发式和问题探究相结合。四、教学过程：（一）创设情境 展示背景如图小车在力F的作用下移动了一段位移是S，力和位移的夹角为，从物理的角度来看其实质是什么？（二）分析背景 形成概念群答：力对

21、物体做功，力对物体做功，问题1：图中力对物体所做的功是多少？ （可能学生回答,引导学生回答图中的力对物体所做的功是多少？）这里的是什么？生1：力和位移的夹角问题2：影响力对物体所做的功的因素有哪些？群答：力F、位移S、力和位移的夹角问题3：像力F、位移S这些量在物理上我们称做什么量？大家回答看看群答：矢量问题4：很好！类比矢量在数学上我们把既有大小又有方向的量称为什么量？群答：向量问题5：那我们用数学的眼光来看这是向量的一种什么运算？我们看等式的左边是什么量？群答：标量问题6：在数学上我们称为什么量？群答：数量从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？(课件展示)生5： 问题7：下面大家注意了，

22、像这种向量运算前面我们学习了好几种，对不对？有向量的加法、减法、数乘，这些运算的结果都是什么量？群答：向量这种运算的结果是数量，跟以往不同。我们今天这节课就是从力的做功公式出发来引进向量的一种新的运算，你能否给这种运算起个名称？大家想想看，取什么名字好！生6：向量的积问题7：太好了，这里的确是向量的积的运算。有没有人对这种运算有其他名字?生8：向量的数量积问题9：太棒了!大家觉得好不好！。从结果来看是一个数量。还有吗？生9:平面向量的数量积.师:简直太牛了!(由力对物体做功公式类比得出平面向量的数量积)师: 我们知道功运算中除了力和位移，还有一个夹角，物理上称为力和位移的夹角,在数学上我们称为

23、向量的夹角，下面我们来看书本给出的向量夹角的定义:向量的夹角：已知两个非零向量和，作=，=，则叫做向量与的夹角问题10：两个非零向量的夹角的范围是什么?(课件展示)当且仅当两非零向量、同方向时= ；生10:当且仅，反方向时，= ；生11:以上统称为当= ，称与垂直，记作.规定： C试一试：如图：正中，求 （1） 与 的夹角； （2） 与 的夹角。 A B 答案为：（1），（2）向量的夹角注意点：1.向量要共起点 2.角的范围 3.几个特殊角下面正式给出向量数量积的定义:已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即（板演（和不为非零向量）问题11：向量的数量积定义中

24、和为何要是非零向量？探究 ： 零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？能否找出其物理模型？（可以从或者零向量与其他向量的交角没有定义。）规定：零向量与任何向量的数量积为0，比较探究两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？两个向量的数量积是一个实数，它的符号由 的符号所决定；而数乘向量是一个向量。2 书写上的区别：符号 “ ”在向量运算中既不能省略，也不能用“”代替。（三）概念应用 探究性质例1已知向量与向量的夹角为，分别在下列条件下求（1）； （2）； （3）解：（1）=；当向量、同方向时，则=6当，反方向时，则=-6当时,则=0.数量积的性质： 小组合作讨论：（1），生答：或者或者（2）生答

25、：若，则与同向或者夹角为锐角；若，则与反向或者夹角为钝角；变式1：已知，求生板演：=；=变式2：已知，求生板演：=；练习2：答案：（1）9（2）-16（3）-6（四）归纳理解 学以致用反馈练习1已知，求答案：=32在中，若，则的形状为_答案：钝角三角形3已知正的边长为2，则答案：-6（五）回顾反思 拓展延伸1本节课你学了哪些知识？在思想方法上有哪些收获？2哪些问题你最易出错，现在深有体会吗？精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理一、教学目标1理解平面向量基本定理及其意义；2能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；3通

26、过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1平面向量基本定理及其意义； 2平面向量基本定理的理解。三、教学过程：1、情景引入在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？ 可以如图，以a为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？不一定能确定小组合作探究：问题1：如图所示，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？【答案】如图，问题2：当是零向量时，还能用表示吗？【答案】可以，

27、取，则问题3：若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？【答案】若向量与共线，取，则。若向量与共线时，取，则。问题4.设是同一平面内两个不共线的向量，则？【答案】假设，唯一。2、探索新知平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；例1.如图，不共线，且，用表示。解：因为，所以重要结论:如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。变式训练:设分别是的边上的点，,若

28、(为实数)，则的值为 .【答案】.【解析】易知= = =，=，=，例2.如图所示，在中，是以为中点的点的对称点，和交于点，设，.（1）用和表示向量、；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题意知，是线段中点，且.，；（2），由题可得，且，设，即，则有，解得.因此，.证明:三角形的三条中线交于一点.四、小结1. 平面向量基本定理；2.基底；3.掌握平面向量基本定理的简单应用五、作业习题6.3.1 精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示一、教学目标1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一

29、对应关系；2.会用坐标表示平面向量；对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系转化来用坐标表示；3.通过对平面向量的正交分解及坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。二、教学重难点1平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；2对平面向量的坐标表示的理解。三、教学过程：1、复习回顾平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；2、探索新知平面向量的正交

30、分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。问题1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？答:在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得axi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标记作a（x，y），此式叫做向量的坐标表示 作向量，设，所以。说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；（2）两向量相等时，坐标一样；（3），；（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。例1如图，用基底，分别表示向量、， 并求出它们的坐标

31、。解：由图知：；例2.如果将绕原点O逆时针方向旋转120得到，则求的坐标.解:由题意知A是30角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点,B点是将0A绕原点O逆时针方向旋转120终边与以点O为圆心的单位圆的交点由三角函数的定义，设终边OA与x轴所形成的角为因为，|OA|=|OB|,所以点B的坐标为.变式训练：已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）A.B.C.D.解：向量（5，12），将绕原点按逆时针方向旋转90得到，点B的坐标（12，5），如图：所以故选：D四、小结：1平面向量的正交分解； 2正确理解平面向量的坐标意义； 五、作业：习题6.3.2精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档

32、第六章 平面向量及其应用6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示一、教学目标1掌握平面向量加、减运算的坐标表示；2会用坐标求两向量的和、差；3通过对平面向量加、减运算的坐标表示以及运算学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养。二、教学重难点1平面向量加、减运算的坐标表示； 2对平面向量的坐标表示的理解。三、教学过程：1、复习回顾平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；(3)基底

33、给定时，分解形式唯一；问题1：向量用坐标表示的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若axiyj，则a(x，y).2、探索新知小组活动探究：问题2：若，你可以推导出的坐标吗？生答：即同理可得。重要结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。例1.已知的坐标。解：=；问题3：如图，已知向量，且点，你能推导出的坐标吗？生答：重要结论:（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标； （2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求

34、顶点D的坐标.解：设顶点的坐标为，由，得 顶点的坐标为变式训练1：已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq o(AC,sup8()(4，3)，则向量eq o(BC,sup8()=( )A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)答案：A变式训练2：已知平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(5,0)，D(2,4)，对角线AC，BD交于点M，则eq o(DM,sup8()的坐标是( )Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)Deq blc(rc)

35、(avs4alco1(f(3,2)，2)答案：A小结：1掌握平面向量加、减运算的坐标表示；3能用平面向量的坐标及其加、减运算解决一些实际问题。 五、作业：习题6.3.3精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、教学目标1.掌握向量数乘运算的坐标表示；2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；3.通过对平面向量数乘运算的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。二、教学重难点1.向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；2.向量运算的坐标表示的理解及应用向量共线的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。

36、三、教学过程：1、复习回顾（1）若，则。（2）已知向量，且点，2.探索新知问题1.已知 ，你能推导出的坐标吗？生答：因为，所以即。重要结论：实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.已知的坐标。变式训练1：已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1 B.1，2C2，1 D.1,2解：由题意得(3,4)1(1,2)2(2,3)(122，2132)由eq blcrc (avs4alco1(1223，,21324，)解得eq blcrc (avs4alco1(11，,22.)故选：D变式训练2：若向量，则等于()ABCD【答案】D【解

37、析】因为，设，则有，即，解得，所以，故选：D.问题2.设，若向量共线（其中），你能推导出这两个向量的坐标应满足什么关系？生答：向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为即问题3.你能将这两个等式合并成一个式子吗？生答：，重要结论：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：；且设，（）例2.已知向量,，若与共线,则求实数的值解： 由，则， 因为与共线，所以，解得变式训练：已知，（1）求证：，不共线；（2）若，求实数，的值：（3）若与共线，求实数的值解：（1）证明：根据题意，有，故，不共线；（2）根据题意，若，且，不共线；则有，解可得；（3）根据题意，若与共线，设，即，则有，则；故答案为:问题

38、4：设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ，当P是线段P1P2的中点时，你能推导点P的坐标吗？生答：重要结论：中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为， 线段P1P2的中点P的坐标为，则。例3.已知点，向量与平行吗？直线平 行与直线吗？解：，=，又， ；又，与不平行，、不共线，与不重合，所以，直线与平行。小结：1.向量数乘运算的坐标表示；2.向量共线的充要条件；3.中点坐标公式;五、作业：习题6.3.4精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、教学目标1.掌握平面向量数量积的坐标表示；2.会运用两个向量的数量积的

39、坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；3.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。二、教学重难点1理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算2能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式3能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直三、教学过程：1、复习回顾平面向量的数量积以及向量线性坐标运算2.探索新知问题1.过对平面向量的数量积以及向量线性坐标运算的学习，你能否已根据两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，用a和b的坐标表示ab?生答：记a(x1，y1)，b(x2，y2)，ax1iy1j

40、，bx2iy2jab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y1j2x1x2y1y2重要结论：平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab x1x2y1y2 ，即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和 问题2.小组合作，请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出向量模的坐标表示、两向量垂直的坐标表示以及两向量夹角的余弦公式？生1答：设a(x1，y1)，b(x2，y2)则abab0 x1x2y1y20生2答：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab|a|b|cos9000生3答：设是a与b的夹角，则cos eq

41、f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2).重要结论：平面向量坐标表示的几个公式(1)向量模的坐标表示若a(x，y)，则|a|2 x2y2 ，或|a|eq r(x2y2).(2)两向量垂直的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab x1x2y1y20 .(3)两向量夹角的余弦公式设a，b是两个非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos eq f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2

42、).3.数学运用例1.(1)已知向量，若，则=_(2)已知向量，则与的夹角=_解:(1)因为，所以，解得：，(2)设与的夹角为，则，又，即与的夹角是.变式训练：若向量，则向量与的夹角的余弦值为_解:，则，,，.例2.已知向量，若与的夹角是锐角，则求实数的取值范围；解:由题意 ，即，若，则，解得，综上的范围是变式训练：设平面向量，若与的夹角为钝角，则求的取值范围.解:因为与的夹角为钝角，且不反向， ， 即解得当两向量反向时，存在使即，解得所以的取值范围.例3.如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=AD=4，CD=8，若，则求.解:以为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABC

43、D中，ABCD，ABAD，AB=AD=4，CD=8，若，所以，所以，则小结：1.平面向量数量积的坐标表示；2.两个向量垂直的坐标表示；3.运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.五、作业：习题6.3.5精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.4.1 平面几何中的向量方法一、教学目标1.会用向量方法解决简单的几何问题；2.体会向量在解决几何问题中的作用；3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养。二、教学重难点1.用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；2.

44、能够将几何问题转化为平面向量问题。三、教学过程：1、复习回顾（1） 平面两个向量的数量积：；（2） 向量平行的判定: ； （3）向量平行与垂直的判定:；（4）平面内两点间的距离公式： （其中，）（5）求模：； ；2.探索新知例1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.证明法一：设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APeq r(2)a，eq o(DP,sup18()eq o(EF,sup18()(eq o(DA,sup18()eq o(AP,sup18()(eq o(EP,

45、sup18()eq o(PF,sup18()eq o(DA,sup18()eq o(EP,sup18()eq o(DA,sup18()eq o(PF,sup18()eq o(AP,sup18()eq o(EP,sup18()eq o(AP,sup18()eq o(PF,sup18()1acos 1801(1a)cos 90eq r(2)aacos 45eq r(2)a(1a)cos 45aa2a(1a)0eq o(DP,sup18()eq o(EF,sup18()，即DPEF.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(

46、x,0)，F(1，x)，所以eq o(DP,sup18()(x，x1)，eq o(EF,sup18()(1x，x)，由于eq o(DP,sup18()eq o(EF,sup18()x(1x)x(x1)0，所以eq o(DP,sup18()eq o(EF,sup18()，即DPEF.思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)构建平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为平面向量问题；(2)通过平面向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、模等问题；(3)将平面向量运算运算结果“翻译”成平面几何关系.思考：你能总结向量的线性运算法的

47、四个步骤吗？生答：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化思考：你能总结向量的坐标运算法的四个步骤吗？生答：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；把几何问题向量化变式训练:如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.解：（基底法）设eq o(AD,sup18()a，eq o(AB,sup18()b，则|a|b|，ab0，又eq o(DE,sup18()eq o(DA,sup18()eq o(AE,sup18()aeq f(b,2)，eq o(AF,sup18()eq o(AB,sup1

48、8()eq o(BF,sup18()beq f(a,2)，所以eq o(AF,sup18()eq o(DE,sup18()(beq f(a,2)(aeq f(b,2)eq f(1,2)a2eq f(3,4)abeq f(b2,2)eq f(1,2)|a|2eq f(1,2)|b|20故eq o(AF,sup18()eq o(DE,sup18()，即AFDE.（坐标法）如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，所以eq o(AF,sup18()(2,1)，eq o(DE,sup18()(1，2).因为eq o(AF,sup18()eq

49、o(DE,sup18()(2,1)(1，2)220，所以eq o(AF,sup18()eq o(DE,sup18()，即AFDE.例2.如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.解：因为是的中点，所以.又因为，所以，所以，即.变式训练：在梯形中，若点在线段上，则求的最小值解：建立如图所示平面直角坐标系：因为，所以，设所以，所以，所以，当时，的最小值为，小结：1.向量方法解决平面几何问题“三步曲”；2.向量的线性运算法（基底法）的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化向量的坐标运算法（坐标法）的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系

50、；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；把几何问题向量化五、作业：习题6.4.1精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.4.2 向量在物理中的应用举例一、教学目标1. 会用平面向量知识解决简单的物理问题的两种方法-向量法和坐标法；2.体会向量在解决速度、力学等一些简单实际问题中的作用；3.通过对用向量法解决物理问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养。二、教学重难点1.用向量方法解决物理问题的基本方法：“四步曲”；2.能够将物理问题转化为平面向量问题。三、教学过程：1、预习自主完成（1）力与向量的区别问题1：物理中力是不是就是

51、向量？相同点：力和向量都既要考虑 大小 又要考虑 方向 不同点：向量与 始点 无关，力和 作用点 有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的（2）向量方法在物理中的应用问题2：物理中力、速度、加速度、位移是向量吗？它们涉及的运算与向量的运算相符合吗？力、速度、加速度、位移都是 向量 力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、减 _运算，运动的叠加亦用到向量的合成问题2：物理中还有哪些量对应向量的运算？动量m是 向量的数乘 功即是力F与所产生位移s的 数量积 .2.探索新知例1.如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，求两根绳子拉力的大小

52、.解:作，使.在中，答:两根绳子拉力的大小分别为.思考：运用向量方法解决物理问题可以分哪几个步骤？“四步曲”：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题变式训练:如图所示，把一个物体放在倾斜角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力已知，则G的大小为_，的大小为_解:如图，由向量分解的平行四边形法则， 计算可得：.例2.若渡船在静水中的速度大小为，河宽为，水流的速度大小为，则（1）此船渡过该河所用时间的最小值是多少

53、？（2）此船渡过该河的位移最小时，需要多长时间才能从此岸到达彼岸？解:（1）当船头方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间.（2）当合速度的方向垂直于河岸时，此船渡过该河的位移最小，如图所示，水流的速度为，则，船的速度为，则，合速度为，合速度的大小为，则，设船速与合速度的夹角为，则，此时.渡河时间为.答：此船渡过该河所用时间的最小值是；此船渡过该河的位移最小时，需要才能从此岸到达彼岸.变式训练:长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则求的值解:由题意知有即所以，答:的值为.小结：向量方法

54、解决物理问题“四步曲”；问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题五、作业：习题6.4.1精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.4.3 第1课时 余弦定理一、教学目标1.掌握证明余弦定理的向量方法，熟记公式；2.掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2.掌握余弦定理公式的变式，判别三角形形状；4.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.余弦定理的发现和证明过程；2.余弦定理在解三角形时如何进

55、行边角互化。三、教学过程：1、创设情境： 量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角，最后通过计算求出岛B和岛C的长度.问题1：此实际问题如何转化为数学问题？生答：如图，已知：边AB、 AC和角(两条边、一个夹角)，求边BC.问题2:已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第三边a？教师就这个问题提出小组探究活动主题2、探索新知探究1.在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用b，c和A表示a？教师：将数学问题可以先特殊化，A=900，怎么解决？生答：利用勾股定理。问题

56、3：你能利用向量证明勾股定理吗？生答：由想到再平方处理得到。问题4：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，如果是斜三角形，三条边之间的关系又是如何？学生小组活动探讨解决，投影展示学生探讨活动的成果。利用，两边平方得到a2b2c22bccosA，二. 建构数学余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC 探究2：正弦定理结构的最大特点是什么？等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美问题4：正弦定理里面包含了几个等式？每个等式中有几个量？生答：3个等式

57、 4个量问题5：使用余弦定理解斜三角形？应用1：已知两边和一个夹角，求第三边例1.在中，已知b=60cm，c=34cm， ，求（角度精准到 ，边长精确到1cm.）解：由余弦定理，得，所以，变式训练：在中，角，的对边分别为，已知，则求解：在中，角，的对边分别为，已知，可得探究3：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知两边和一个夹角，求第三边，如果知道了三角形的三边能否确定三角形的角，怎么确定呢？生答：，例2.已知的内角，的对边分别为，若，则求。解：由，可得，由，可得变式训练：在中，内角，所对的边长分别为，如果，那么最大内角的余弦值等于ABCD解：在中

58、，是三角形中的最大角，则，即的最大内角的余弦值为故选：例3.（1）在ABC中，coseq f(C,2)eq f(r(5),5)，BC1，AC5，则AB（ ） A4eq r(2)B.eq r(30)C.eq r(29) D2eq r(5)解：由余弦定理知b2a2c22accos B.23c22eq r(3)eq f(r(2),2)c.即c2eq r(6)c10.解得ceq f(r(6)r(2),2)或ceq f(r(6)r(2),2)，当ceq f(r(6)r(2),2)时，由余弦定理得 cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2

59、),2)23,2r(2)f(r(6)r(2),2)eq f(1,2).0A180，A60，C75.当ceq f(r(6)r(2),2)时，由余弦定理得cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2),2)23,2r(2)f(r(6)r(2),2)eq f(1,2).0A180，A120，C15.故ceq f(r(6)r(2),2)，A60，C75或ceq f(r(6)r(2),2)，A120，C15.（2）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos Cccos B2b，则eq f(a,b)_.解：由余弦定理得b

60、cos Cccos Bbeq f(a2b2c2,2ab)ceq f(a2c2b2,2ac)eq f(2a2,2a)a，所以a2b，即eq f(a,b)2.（3）在ABC中，若lg(ac)lg(ac)lg blgeq f(1,bc)，则 A_.解：由题意可知lg(ac)(ac)lg b(bc)，所以(ac)(ac)b(bc)即b2c2a2bc.所以cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(1,2).又0A0，,m20，)所以m4，此时zi，eq o(OZ,sup6()(0,1)，(2)eq blcrc (avs4alco1(log2m23m30，,m23m30，,m20，),所以meq