25.4解直角三角形的应用方向角（第2课时）（作业）（夯实基础能力提升）

25.4解直角三角形的应用—方向角（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，客轮在海上由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东，测得C处的方位角为南偏东，航行后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东，则C到A的距离是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得：∠C=25°+20°=45°，，，再利用锐角三角函数分别求出CD、AD的长，即可求解．【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得：∠C=25°+20°=45°，，，∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴∠CBD=45°，∴∠C=∠CBD，∠ABD=30°，∴CD=BD，在中，，∴，在中，∠ABD=30°，，∴，∴，即C到A的距离是．故选：D【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数的求法是解题的关键．2．（2022·上海·九年级单元测试）已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．【详解】根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∴，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．3．（2021·上海·九年级专题练习）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（

）A．15千米 B．10千米 C．千米 D．千米【答案】C【分析】根据题意，利用，根据锐角三角函数求出AD和BD的长，从而得到CD的长，再用勾股定理求出AC的长．【详解】解：如图，根据题意，，，∴，，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．二、解答题4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，小岛在港口的南偏西方向，距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，（，，）（1）出发后几小时两船与港口的距离相等？（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？【答案】（1）3小时；（2）4小时【分析】（1）求几小时后两船与港口的距离相等，可以转化为方程的问题解决．（2）过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向，则得到相等关系，C、D两点到在南北方向上经过的距离相等，因而根据方程就可以解决．【详解】解：（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等．根据题意得819x=18x．解得x=3．故出发后3小时两船与港口P的距离相等．（2）设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处．连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向．在Rt△CEP中，∠CPE=37°，则PE=PC•cos37°．在Rt△PED中，∠EPD=60°，则PE=PD•cos60°．则PC•cos37°=PD•cos60°．则（819y）cos37°=18y•cos60°．即（819y）=18y解得y=4答：出发后4小时乙船在甲船的正东方向．【点睛】考查了解直角三角形的应用方向角问题，在船舶运动过程中，构建解直角三角形的问题，考查学生对所学知识的变式认识能力．5．（2022·上海嘉定·九年级期末）如图，在航线的两侧分别有两个灯塔和，灯塔到航线的距离为千米，灯塔到航线的距离为千米，灯塔位于灯塔南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔北偏西方向的（在航线上）处，正沿该航线自东向西航行，分钟后该轮船行至灯塔正南方向的点（在航线上）处．(1)求两个灯塔和之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，，，）【答案】(1)两个灯塔和之间的距离为千米(2)该轮船航行的速度是千米/小时【分析】（1）由题意，得，，，，然后解直角三角形分别求出，即可得到答案；（2）解直角三角形求出，，则，然后求出，设该轮船航行的速度是千米/小时则，由此求解即可．（1）解：由题意，得，，，，在Rt△中，，∴，∴，在Rt△中，，∴，∴，∴答：两个灯塔和之间的距离为千米；（2）解：在Rt△中，，∴，∴，在Rt△中，，∴，∴，∴，在Rt△中，,由题意，得，∴，∴，∴，设该轮船航行的速度是千米/小时由题意，得∴（千米/小时）答：该轮船航行的速度是千米/小时．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理与航海问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．6．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，在东西方向的海岸线1上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．(1)求AB两地的距离：（结果保留根号）(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75）【答案】(1)(2)不能，理由见解析【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM、ON的大小即可得出结论．（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得MN=1,OM=58,，OA=60,OB=30∴AC=，∴∴（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸延长AB交l于D，∵AC∥OD∴∴∴，解得∵MN=1,OM=58∴ON=59∴∴如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．（2021·上海·九年级专题练习）一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北21.3°方向有一座小岛，继续向东航行80海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？（参考数据：，，，）【答案】轮船继续向东航行20海里，距离小岛C最近．【分析】过C作AB的垂线，交直线AB于点D，分别在Rt△ACD与Rt△BCD中用式子表示CD，从而求得BD的值，即离小岛C最近的距离．【详解】解：过点作⊥直线，垂足为点．此时轮船离小岛最近，即为所求．由题意可知∶，海里，，设海里．在△中，，，海里，∴海里．在△中，，，海里，∴，即．解得∶，即海里．答∶轮船继续向东航行20海里，距离小岛最近．【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．8．（2021·上海·九年级专题练习）据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航.已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10:00巡逻船在处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的处有一个不明物体正在向正东方向移动，10:15巡逻船在处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的处，若巡逻船的速度是每小时36海里．（1）试在图中画出点的大概位置，并求不明物体移动的速度；（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向的速度也不变，试问什么时候该物体与我巡逻船之间的距离最近？（参考数据：，，，，，）【答案】（1）不明物体移动的速度为12海里/小时；（2）到10:20时，两者之间距离最近．【分析】（1）设10：15时，巡逻船在B处，作北偏东18.4°方向，交过点C的水平线于点D即可；利用53.1°的三角函数值求得AF，CF长，进而求得FB即CG的长，进而利用18.4°的正切值可得GD长，也就求得了CD长，除以时间即为移动的速度；（2）两者之间的最近距离为直线CD与AB的距离，根据GD和BQ相等可得相应的关系式．【详解】（1）如图，点D即可为所求作；作于点，交延长线于点，交延长线于点，由题意，，，海里，在△中，，，海里，∴海里，海里．∴海里．又海里，∴海里，从而海里，在△中，，，∴海里，∴海里，海里/小时，∴不明物体移动的速度为12海里/小时；（2）由题意，不明物体沿移动，我巡逻船沿运动，且∥，∴两者之间的最近距离为直线与的距离．设又过了分钟，不明物体移动到点，我巡逻船到达点，这时，则海里，海里．∴，解得．∴到10∶20时，两者之间距离最近．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；利用所给角的度数作出相应辅助线，得到直角三角形是解决本题的突破点；利用相应的锐角三角函数求得相关线段长是解决本题的关键．9．（2021·上海·九年级期末）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点处的值守人员报告：在处南偏东方向上，距离处14海里的处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在处测得监测点在其北偏东方向上，继续航行半小时到达了处，此时测得监测点在其北偏东方向上．（1）、两处间的距离为_________海里；如果联结图中的、两点，那么是________三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它__________【填“能”或“不能”】到达处；（2）如果监测点处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）14；等边；能；（2）安全【分析】（1）根据题意可得△PAB是等腰三角形，故可得PB=AB=14海里，再求得∠BPQ=60°即可得△PBQ是等边三角形，最后证明A、B、Q三点共线即可；（2）过点作，求出PC=7，判断>12，即可得到结论．【详解】解：（1）如图，根据题意知，∠PAB=90°60°=30°，∠PBA=30°+90°=120°∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°∴∠APB=180°30°120°=30°∴∠PAB=∠APB∴PB=AB=(海里)∵PQ=14(海里)∴PQ=PB∵PF//BE∴∠BPF=∠PBE=30°∵∠QPF=30°∴∠BPQ=60°∴△PBQ是等边三角形，∴∠PBQ=60°∵∠PBA=120°∴∠PBA+∠PBQ=120°+60°=180°∴点A、B、Q在同一直线上所以，如果海监船保持原航向继续航行，那么它能到达Q处；故答案为：14，等边，能；（2）过点作交于点，∵是等边三角形，∴，∵，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．【能力提升】1．如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°＝cot53°≈0.755，cot37°＝tan53°≈1.327，tan32°＝cot58°≈0.625，cot32°＝tan58°≈1.600．）【分析】先过点C作CD⊥MN，垂足为D，设CD＝x米，根据AB＝BD﹣AD，然后代值计算即可求出小岛到海岸线的距离．【解答】解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，设CD＝x米，∵AB＝BD﹣AD，∴xtan37°﹣xtan32°＝780，解得：x＝6000，答：小岛到海岸线的距离6000米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．2．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC＝CD＝20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）【分析】求出∠DCA的度数，再判断出BC＝CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．【解答】解：由题意可知∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°BD＝BC＝CD＝20km，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，∴BE＝sin15°BD≈0.25×20≈5km，∴AB＝＝≈7km，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47km．答：从A地跑到D地的路程约为47km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题；通过解直角三角形求出AB是解决问题的关键．3．钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视．某日，我海监船（A处）测得钓鱼岛（B处）距离为20海里，海监船继续向东航行，在C处测得钓鱼岛在北偏东45°的方向上，距离为10海里，求AC的距离．（结果保留根号）【分析】作BD⊥AC交AC的延长线于D，根据正弦的定义求出BD、CD的长，根据勾股定理求出AD的长，计算即可．【解答】解：作BD⊥AC交AC的延长线于D，由题意得，∠BCD＝45°，BC＝10海里，∴CD＝BD＝10海里，∵AB＝20海里，BD＝10海里，∴AD＝＝10，∴AC＝AD﹣CD＝10﹣10海里．答：AC的距离为（10﹣10）海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义、正确标注方向角、正确作出辅助线是解题的关键．4．如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于H，要先求出CH的值然后再求AH，BH的值，进而得出AB的长．【解答】解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，在Rt△BHC中，，∴，∵sin36°≈0.588，∴BH≈117.6，又，∴．∵cos36°≈0.809，∴HC≈161.8，在Rt△AHC中，，∵∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∴AH≈161.8，又AB＝AH+BH，∴AB≈279.4，∴AB≈279（米），答：A、B之间的距离为279米．【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．5．已知在港口A的南偏东75°方向有一礁石B，轮船从港口出发，沿正东北方向（北偏东45°方向）前行10里到达C后测得礁石B在其南偏西15°处，求轮船行驶过程中离礁石B的最近距离．【分析】根据题意，得到点B的位置，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，进而得到轮船行驶过程中离礁石B的最近距离为里．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，AC＝10，∴AB＝AC＝5，过B作B