第22讲余角补角对顶角（原卷版）

第22讲余角、补角、对顶角一、余角、补角、对顶角1.余角与补角（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（2）性质：对顶角相等．二、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．三、钟表上有关角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．题型1：求一个角的余角1．若一个角是，则这个角的余角是（

）A． B． C． D．2．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列选项的摆放方式中∠1与∠2互余的是（）A．

B．

C．

D．

3．如图，，其中共有互余的角（

）

A．对 B．对 C．对 D．对4．一个角的余角的倍比这个角的倍大，则这个角的余角的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，直线、相交于点O，且，则的余角度数为（

）

A． B． C． D．题型2：求一个角的补角6．已知，则的补角的度数是（

）A． B． C． D．7．已知，则的补角的度数为（）A． B． C． D．8．如图，点O在直线上，，若，则的补角的大小为（

）

A． B． C． D．题型3：与余角、补角有关的计算9．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角的度数是（

）A． B． C． D．10．若与互余，与互补，则与的关系是（

）A． B．C． D．11．若，，则与的关系是（

）A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角12．一副三角板按如图所示的方式摆放，则余角的度数为（

）

A． B． C． D．13．如图，，则，，之间的数量关系为（

）

A． B．C． D．题型4：对顶角及其有关计算14．在下图中，和是对顶角的是（

）A．

B．

C．

D．

15．如图直线、交于点O，为射线，那么（

）

A．和是对顶角 B．和是对顶角C．和是对顶角 D．和是对顶角16．如图所示，如图所示，直线，相交，所形成的，，，中，的对顶角是（

）

A． B． C． D．和17．如图，直线与相交于点O，若，则（

）

A． B． C． D．18．如图，从小到大的顺序为（

）

A． B．C． D．19．如图，直线，，相交于点，，，则（

）

A． B． C． D．20．如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．题型5：邻补角及其有关计算21．如图，已知直线、相交于点O，平分，，那么的度数是（

）A． B． C． D．22．如图，直线被直线所截，若，，则（

）

A． B． C． D．23．如图，已知直线相交于点O，平分，，则的大小为（

）

A． B． C． D．一、单选题1．下列各图中，与是对顶角的为（

）A．

B．

C．

D．

2．下列的四个角中，与互为补角的是（

）A．

B．

C．

D．

3．已知与互补，且，则（

）A． B． C． D．4．如图，已知直线、相交于点O，平分，，那么的度数是（

）A． B． C． D．5．将一副三角尺按不同的方式摆放，下列摆放方式中，与互余的是（

）A．

B．

C．

D．

6．若，，则与的关系是（

）A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角7．一个角的余角的倍比这个角的倍大，则这个角的余角的度数为（

）A． B． C． D．8．如图，直线，相交于点，下列说法中错误的是（

）

A． B．和互余 C．与互补 D．与互余9．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④10．如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（

）

A．只有①④ B．只有①③④C．只有③④ D．①②③④二、填空题11．如图，直线a与b相交，，则的度数为．

12．互为余角且相等的角的度数都是，互为补角且相等的角的度数都是．13．一个角比它的余角大，则这个角的度数为．14．如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起，其中和是直角．若，则的度数．

15．如图，某水域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在北A它的北偏东的方向上，观测到小岛B在它的南偏东方向上，则的补角的度数是．16．如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，则的度数是．

17．如图，直线相交于点O，．（1）图中的对顶角有对；（2）的邻补角是；（3）如果，，那么．18．如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上．

三、解答题19．若一个角的补角比这个角大，求这个角的度数．20．直线相交于O，平分，，，求、的度数．

21．如图，直线与相交于点，．

(1)如果，求的度数；(2)如果，求的度数．22．如图所示，直线与相交于点．

(1)图中的余角是_________；（写一个即可）(2)_________；（写一个即可）(3)如果，那么根据________，可得________；(4)如果，求的度数．23．如图①，直线，相交于点．

(1)若，求的度数．(2)分别作、的平分线，，如图②，请判断与之间的位置关系，并说明理由．24．如图，已知直线和相交于点，（为锐角），点在直线上方，，平分．

(1)如图1，若，