函数中的构造问题(教师版)

一元函数的导数及其应用(七)函数中的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数在解答题中时有出现。通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，可以解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．题型：一、导数型构造函数（一）利用与构造函数1．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可.【详解】设，则，对任意，，恒成立，即在上单调递减，由可得，，解得，即解集为.故选：A2.已知函数在上满足，且当时，成立，若，，，则的大小关系是()A．B．C．D．答案：B解析：因为函数在上满足，所以函数是偶函数，令，则是奇函数，，由题意知，当时，成立，所以在上单调递减，又是奇函数，所以在上单调递减，因为,，，所以，又，，，所以.故选B．3．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察，可考虑构造函数，求得的奇偶性，再由时，的单调性确定整个增减性，由与的正负反推正负即可求解.解：设，则，∵当时，，∴当时，，即在上单调递减.由于是奇函数，所以，是偶函数，所以在上单调递增.又，当或时，；当或时，，所以当或时，.即不等式的解集为.故选：B.4．设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A．B．C．D．【分析】构造函数，求导判断其单调性即可．【详解】令，，令得，，当时，，单调递增，，，，，，，故选：A．5.已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.【详解】不等式可化为，设，则原不等式可化为，对函数求导，得，因为，所以，所以函数是实数集上的增函数，所以．故不等式的解集为.故选：B.（二）利用与构造函数1．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式等价于，即，构造函数，所以，因为时，，所以对恒成立，所以在单调递减，又因为，所以不等式等价于，所以，即的解集为.故选：A.2.设定义域为的函数满足（是的导函数），则不等式的解集为略解：构造函数,则，，即函数在定义域上单调递增，，即，解得,所以不等式的解集为（三）利用与，构造函数1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为()A. B.C. D.答案:A解析:因为偶函数的定义域为，所以设，则，即也是偶函数．当时，根据题意，则在上单调递减，且为偶函数，则在上单调递增．所以，所以解得.思维升华:函数与，相结合构造可导函数的几种常见形式，；，；，；，.二、同构法构造函数（一）单调性同构.1．若，且，都有，则的最大值为.【答案】1【分析】由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调性，即可得出实数的取值范围，即可得解.【详解】由题意可知，、均为正数，因为，由，所以，，令，，则，由于，可得时，，单调递减，时，，单调递增，所以，，则，即实数的最大值为1.故答案为：1.【点睛】思路点精：适当变形不等式，构造函数证明不等式恒成立时参数的范围.2.对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为解：由两边同时除以得：，即设，则在上是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立即在上恒成立，设，而，（二）结构同构主要原理：若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换.1.若，则()A．B．C．D．答案:B解析:由指数和对数的运算性质可得.令，则在上单调递增，又∵，∴，即，∴.2.已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（

）A． B． C． D．解析：由，可得，即，设，可得，因为，可得，又因为，所以，即，所以，当时，，可得函数在为单调递增函数，所以，即.故选B.3.已知，若在上存在使得不等式成立，则的最小值为______．答案:解析:∵，∴不等式即为，∵且，∴，设，则，故在上单调递增，∴，即，即存在，使，∴，设，则，当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴.故的最小值为.思维升华:指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将变成然后构造函数；另一种是将变成然后构造函数．4．若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（

）A．B．C．D．2【答案】BCD【分析】构造函数，将恒成立问题转化为恒成立问题，求导，研究单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由得，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，当时，恒成立，所以的图象如下：，，即，，对于A：当时，，根据图象可得不恒成立，A错误；对于B：当时，，根据图象可得恒成立，B正确；对于C：当时，，根据图象可得恒成立，C正确；对于D：当时，，又，因为，且，即，所以，即，根据图象可得恒成立，D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为，通过整体结构相同从而构造函数来解决问题.5.设函数(1)讨论函数的单调性；(2)若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由导数与函数单调性的关系求解，（2）构造函数，由其单调性列不等式，转化为最值问题求解，解：（1），所以.当时，，函数在函数上单调递减.当时，若，若，在上单调递增，在上单调递减.（2）由，即恒成立，设，由题意知时，，故当时函数单调递增，所以恒成立，即恒成立，记，得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，故，又，则，的取值范围是．