第1讲图形的变化（一）（平移与轴对称）（题型精讲）

第1讲第1讲图形的变化（一）（平移与轴对称）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：生活中的平移现象题型二：图形的平移题型三：利用平移的性质求解题型四：利用平移解决实际问题题型五：利用平移作图题型六：坐标平移角度1：点沿轴，轴平移角度2：由平移方式确定点的坐标角度3：由点平移前后的坐标，确定平移的方式角度4：已知图形的平移，求点的坐标角度5：已知平移后的坐标，求原坐标题型七：平移综合题型八：轴对称图形的识别题型九：轴对称的性质角度1：成轴对称的两个图形的识别与判断角度2：根据成轴对称图形的特征求解角度3：轴对称中光线反射问题角度4：折叠问题题型十：对称轴角度1：画对称轴角度2：求对称轴的条数题型十一：镜面对称题型十二：画（设计）轴对称图形题型十三：坐标系中的对称问题题型十四：轴对称综合问题角度1：线段问题角度2：面积问题角度3：角度问题第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：图形的平移1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一直线方向移动一定的距离，这种图形变换叫做平移变换。2、平移的要素：①平移的方向；②平移的距离；3、平移的性质：①平移前后的两个图形形状和大小完全相同，对应角相等，对应边相等，平移前后两个图形的周长和面积相等。②对应线段（或对应边）平行(或在同一直线上)且相等。③任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。知识点二：轴对称1、定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.2、说明：①轴对称是指两个图形的位置关系；②轴对称涉及两个图形3、图示：4、性质：①对应点的连线被对称轴垂直平分，如图中对称轴②成轴对称的两个图形全等；③只有一条对称轴，如图中直线知识点三：轴对称图形1、定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.2、说明：①轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；②轴对称图形是对一个图形来说的3、图示：4特征：①有对称轴；②将图形沿对称轴（图中）折叠后对称轴两旁的部分完全重合.第二部分：课前自我评估测试1．（2023春·江苏·七年级专题练习）2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行设计创作．如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：选项A是可以通过平移得到．故选：A．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列四个选项中的哪个图案平移得到如图的图案（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：根据平移可得B是平移可得到图形中的图案，故选：B．3．（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）下列几何图形不一定是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项符合题意；B、是轴对称图形，则此项不符合题意；C、是轴对称图形，则此项不符合题意；D、是轴对称图形，则此项不符合题意；故选：A．4．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）下列图标中是轴对称图形的是（）A． B． C．D．【答案】D【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，符合题意．故选：D．5．（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）点关于轴对称点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】关于轴对称点的坐标是故选：B6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将向右平移2cm得到，则_____cm．【答案】2【详解】解：根据平移的性质可知，．故答案为：2．第三部分：典型例题剖析题型一：生活中的平移现象典型例题例题1．（2023春·七年级单元测试）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（

）A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃【答案】C【详解】解：云巴在轨道上运行可以看作是数学上的平移．故选：C．例题2．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（

）①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动A．①② B．②③ C．①②④ D．②【答案】D【详解】解：①方向盘的转动是旋转，故不符合题意；②打气筒打气时，活塞的运动是平移，故符合题意；③钟摆的摆动是旋转，故不符合题意；④汽车雨刷的运动是旋转，故不符合题意；综上分析可知，属于平移的是②，故D正确．故选：D．例题3．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________块，则下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，∴第n个图案白色六边形的个数为：，∴第4个图案白色六边形的个数为：，故选C．同类题型归类练1．（2023春·七年级单元测试）如图所示的图案，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；B、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；C、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；D、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；故选B．2．（2023春·七年级单元测试）下列现象是平移的是（）A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动C．纸张沿着它的中线对折 D．树叶从树上落下【答案】A【详解】解：A、电梯从底楼升到顶楼为平移现象，故该选项符合题意；B、卫星绕地球运动为旋转现象，故该选项不符合题意；C、纸张沿着它的中线对折是轴对称现象，故该选项不符合题意；D、树叶从树上落下既不是旋转也不是平移，故该选项不符合题意．故选：A．3．（2022春·江西赣州·七年级校考期中）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．（1）求种花草的面积；（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？【答案】（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元【详解】解：（1）（平方米）答：种花草的面积为42平方米；（2）（元）答：每平方米种植花草的费用是110元．题型二：图形的平移典型例题例题1．（2023春·八年级单元测试）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（

）A．42 B．48 C．84 D．96【答案】B【详解】解：∵平移距离为6，∴BE=6，∵平移，∴AB=DE，阴影部分的面积等于直角梯形OEBA的面积∵AB＝10，DO＝4，∴OE=104=6，∴直角梯形OEBA的面积为：（6+10）×6÷2=48．故选B．例题2．（2022春·安徽蚌埠·七年级统考期末）用四根火柴棒可摆成如图所示的象形字“口”，平移此象形字火柴棒后，变成的象形字是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有C符合．故选：C．例题3．（2023春·七年级单元测试）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形，则阴影部分的周长为______cm．【答案】32【详解】∵长方形的长为5cm，宽为3cm，∴长方形的周长为：5+3+3+5=16（cm），根据图形可知：阴影部分的周长为：，即：阴影部分的周长刚好是长方形周长的两倍，即阴影部分的周长为：16×2=32（cm），故答案为：32．同类题型归类练1．（2023春·八年级单元测试）如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块()A．向右平移1格，向下3格 B．向右平移1格，向下4格C．向右平移2格，向下4格 D．向右平移2格，向下3格【答案】C解答：解：上面的图案的最右边需向右平移2格才能与下面图案的最右边在一条直线上，最下边需向下平移4格才能与下面图案的最下面重合，故选C．2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，经过平移得到，连接，若cm，则点A与点A'之间的距离为________cm．【答案】【详解】解：∵经过平移得到，cm,∴cm,故答案为：．3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，线段CD可以看成由线段AB先向下平移______个单位，再向右平移______个单位得到．【答案】

2

2【详解】解：由由题意得线段AB先向下平移2个单位，再向右平移2个单位得到线段CD，故答案为：2，2．题型三：利用平移的性质求解典型例题例题1．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，长方形的长为8，宽为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形，则阴影部分的面积为（

）A．30 B．32 C．36 D．40【答案】A【详解】解：如图，∵将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，∴∵长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，∴,，∴长方形，∴阴影部分的面积为，故选：A．例题2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连接，若，，则的长为（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【详解】解：由平移的性质可知，，，则，即，∴，∴，故选：A．例题3．（2023春·七年级单元测试）如图，将周长为厘米的沿射线方向平移厘米得到，那么四边形的周长为___________厘米．【答案】【详解】解：沿射线方向平移厘米得到，，，cm．即四边形的周长为．故答案为．同类题型归类练1．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分面积为______．【答案】18【详解】解:由平移的性质知，，，∴，根据题意得：，∴，∴．故答案为：18．2．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点D，如果，，那么四边形的面积=______cm2．【答案】【详解】解：由平移的性质可知，，∵点是的中点，∴，∵，∴，，∵，∴，∴四边形的面积＝，故答案为：3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，中，，，将平移至的位置，若四边形的面积为20，且，则__．【答案】4【详解】解：连接，如图所示：由平移至得，，，，，，，四边形的面积为20，，设，则，即，解得，，故答案为：4．题型四：利用平移解决实际问题典型例题例题1．（2023春·七年级单元测试）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由图可以看出两条路的宽度为：1m，长度分别为：20m，30m，所以，可以得出路的总面积为：20×1+30×11×1=49m2，又知该矩形的面积为：20×30=600m2，所以，耕地的面积为：60049=551m2．故选B.例题2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，计划在一块长为5m，宽为3m的长方形草坪上．修建宽为1m的纵横相交的两条人行道，则剩余草坪的面积为_____．【答案】8【详解】解：剩余草坪的面积为4×2＝8m2，即剩余草坪的面积为8m2．故答案为：8．例题3．（2022秋·八年级单元测试）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知米．米．则展板的面积为_____，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（取3）_____元．【答案】

12平方米

3660【详解】解：由题意：展板的面积＝（平方米），当米，米时，展板的面积＝12（平方米）．制作整个造型的造价＝（元）．故答案为：12平方米；3660．同类题型归类练1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？【答案】560【详解】解：根据题意，得，故答案为：560．2．（2023春·八年级单元测试）如图是一块长方形的场地，长米，宽米，从、两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________．【答案】【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，这个长方形的长是：米，宽是：米，∴草坪的面积是：（平方米）．故答案是：．3．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．【答案】12【详解】分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．故答案为12．题型五：利用平移作图典型例题例题1．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点为坐标原点．(1)将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到；作关于轴对称的；在图中画出和，并写出、、的坐标．(2)在轴上存在一点，使得的周长最小，请在图中画出点的位置．【答案】(1)图见解析，，，(2)见解析【详解】（1）解：如图所示：和即为所求；，，；（2）如图所示：点M即为所求．例题2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．(1)将向下平移5个单位得到1，请画出；(2)将向左平移4个单位得到2，请画出．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．例题3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，每个小方格的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上．将方格中的先向右平移8格，再向上平移6格，得到．(1)画出平移后的图形，并标出对应点；(2)直接写出△DEF的面积为平方单位．【答案】(1)见解析(2)6【详解】（1）解：先作出点A、B、C平移后的对应点D、E、F，然后顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示：（2）解：（平方单位）．故答案为：6．同类题型归类练1．（2023春·八年级单元测试）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，阴影部分图形的顶点在格点上．(1)网格中阴影部分图形的面积是；(2)将阴影部分图形向右平移2个单位，再向下平移3个单位，画出平移后的图形．【答案】(1)；(2)见解析【详解】（1）阴影部分图形的面积是，故答案为：；（2）平移后的图形如图所示：2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，已知点，．(1)画出向上平移个单位，向左平移个单位后所得的图形；(2)求平移、、后的对应点的坐标；(3)求平移过程中扫过的面积．【答案】(1)画图见解析(2)、、(3)22【详解】（1）解：如图所示∶（2）由（1）可得：、、；（3）向上平移个单位扫过的面积为，接着向左平移个单位扫过的面积为，所以平移过程中扫过的面积一共为．3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△．(1)画出△；(2)利用网格点和直尺画图：画出AB边上的中线CD，请在图中标出点D；(3)图中△ABC的面积是_________．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)8【详解】（1）如图，△即为所求；（2）如图，中线CD即为所求；（3）△ABC的面积=；故答案为：8；题型六：坐标平移角度1：点沿轴，轴平移典型例题例题1．（2023春·全国·七年级专题练习）将点沿轴方向向左平移3个单位，再沿轴方向向上平移2个单位（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，则横坐标减3，纵坐标加2，∴所得的点的坐标是．故选：B．例题2．（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则、的取值范围分别是（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】解：由题意，点的坐标为（，），即：（，），∵点位于第四象限，∴，∴，故选：D．例题3．（2023秋·河南开封·八年级开封市第十三中学校考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．(1)在平面直角坐标系中画出，并求出的面积；(2)在（1）的条件下，把先关于轴对称得到，再向下平移3个单位得到，直接写出的坐标；(3)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．【答案】(1)图见详解；4(2)；；(3)或【详解】（1）解：如图，；（2）∵，，，∴A、B、C三点关于y轴对称的点为，，，，∴、、三点向下平移3个单位的点为，，，，故的顶点坐标为：，，；（3）解：∵，∴，∵点B、P都在x轴上，轴，∴，∴，∴当P在B的右侧时，横坐标为：，当P在B的左侧时，横坐标为，故P点坐标为：或．例题4．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．(1)将点向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是______；点与点关于原点成中心对称，则点的坐标是______；(2)一次函数的图像经过，两点，求直线的函数表达式；(3)设直线与轴交于点，点在轴上，且满足的面积为6，求点的坐标．【答案】(1)(4,4)；（1,2）(2)y=2x4(3)P(5,0)或(1,0)【详解】（1）解：∵点A(1,2)向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点，∴由平移可得点B横坐标为：1+5=4，纵坐标为：2+2=4，∴点B坐标是(4,4)，∵点与点A(1,2)关于原点成中心对称，∴点的坐标是（1,2）,故答案为：(4,4)，（1,2）；（2）解：设直线BC解析式为y=kx+b，把B(4,4)，C(1,2)分别代入，得，解得：，∴直线BC解析式为y=2x4；（3）解：对于y=2x4，当y=0时，x=2，∴D（2，0）,设P(m，0),∵B(4,4)∴S△BPD=解得：m=5或m=1，∴P(5,0)或(1,0)；角度2：由平移方式确定点的坐标典型例题例题1．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】解：根据题意：A、B两点的坐标分别为A（2，0），B（0，1），A′（3，b），B′（a，2），即线段AB向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段A′B′；则：a=0+1=1，b=0+1=1，∴a+b=2．故选A．例题2．（2023秋·北京海淀·七年级人大附中校考期末）已知线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（

）A．（1，2） B．（2，9） C．（5，3） D．（–9，–4）【答案】A【详解】解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1，4)的对应点为C(4，7)，∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，则点B(−4，−1)的对应点D的坐标为(1，2).故选：A例题3．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）将点向上平移个单位到点，且点​在轴上，那么点坐标为________．【答案】【详解】解：​将点​向上平移​个单位长度得到点​，​，即​，​点​在​轴上，​，解得：​，​点​的坐标为​．故答案为：​．例题4．（2023·安徽合肥·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、和，，，将平移可得到，点、、的对应点分别为点、、．(1)求点的坐标；(2)求直线与轴的交点坐标．【答案】(1)点C的坐标为(2)直线与y轴的交点坐标为【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，则，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵、，∵，，，∴，，∴点C的坐标为；（2）解：∵在平移过程中，点对应点，点对应点F，∴，设直线的函数表达式为，则，解得，∴直线的函数表达式为，在中，当时，，∴直线与y轴的交点坐标为．角度3：由点平移前后的坐标，确定平移的方式典型例题例题1．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，将三角形顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，所得图形与原图形相比（

）A．向左平移了6个单位 B．向下平移了6个单位C．向上平移了6个单位 D．向右平移了6个单位【答案】A【详解】将三角形各顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，所得图形的位置与原图形相比向左平移6个单位；故选：A．例题2．（2023春·全国·七年级专题练习）如果将三角形的三个顶点的横坐标都加上，纵坐标都减去后，得到新的三角形，那么三角形在三角形的基础上（

）A．先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度B．先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度C．先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度【答案】D【详解】解：的三个顶点的横坐标都加上，纵坐标都减去后，得到新的三角形A'B'C'，A'B'C'是由向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，故选：D．例题3．（2023春·全国·七年级专题练习）将点通过以下哪种方式的平移得到点（

）A．沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度B．沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度C．沿轴向左平移4个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度D．沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移4个单位长度【答案】D【详解】解：∵23=5，3+4=7，∴点沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度得到点，故选：D．例题4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）将，，三点的横坐标增加2，纵坐标减小3，写出对应的点，，，的坐标，并说出是如何平移的；（2）画出，并求出的面积．【答案】（1），，，先向右平移两个单位，再向下平移三个单位；【详解】（1）由图知，，，将它们的横坐标增加2，纵坐标减小3，得：，，，根据平面直角坐标系中点平移的特点求得图象先向右平移两个单位，再向下平移三个单位；（2）△A1B1C1如图所示：△A1B1C1的面积为：．角度4：已知图形的平移，求点的坐标典型例题例题1．（2023春·全国·七年级专题练习）在直角坐标系中，点，的坐标分别是、，将线段平移，平移后点的对应点的坐标是，那么点的对应点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，观察图像可知，，故选：A．例题2．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，将线段平移到线段的位置，则的值为（

）A．4 B．0 C．3 D．﹣5【答案】A【详解】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，∴a＝5﹣3＝2，b＝﹣2+4＝2，∴a+b＝4，故选：A．例题3．（2023春·七年级单元测试）如图，直角坐标系中的顶点都在网格点上．(1)将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，则的三个顶点坐标分别是，、，、，；(2)请在图中画出；(3)的面积为平方单位．【答案】(1)，1；，；0，(2)见解析(3)【详解】（1）解：如图所示：、、；故答案为：，；，；0，；（2）如图所示：，即为所求；（3）的面积为：．故答案为：．例题4．（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的位置如图，现将三角形沿的方向平移，使得点移至图中点的位置．(1)在坐标系中，直接写出点、两点的坐标；(2)画出平移后的三角形，并写出、的坐标．【答案】(1)见解析(2)图见解析(5，3)，(8，4)【详解】（1）根据图形可得B为(1，1)，C为(4，2)，如下图；（2）根据题意可画出如下图，则为(5，3)，为(8，4)角度5：已知平移后的坐标，求原坐标典型例题例题1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知内任意一点经过平移后对应点，如果点在经过此次平移后对应点，则点坐标为（

）A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3）【答案】D【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3），故选：D．例题2．（2023春·全国·七年级专题练习）将点先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得，则点坐标为（

）A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）【答案】D【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8，∴A点坐标为（﹣3，8）．故选D．例题3．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标为()A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(−1，2)【答案】D【详解】横坐标从2到3，说明是向右移动了3（2）=5，纵坐标从1到1，说明是向下移动了1（1）=2，求原来点的坐标，则为让新坐标的横坐标都减5，纵坐标都加2．则点B的坐标为（1，2）．故答案为：D．例题4．（2023春·全国·七年级专题练习）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设A（x，y），将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得（x1，y+4），∵得到的B（3，2），∴x1=3，y+4=2，解得：x=2，y=2，∴A（2，2），故选D．题型六同类题型归类练1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点O按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】A点绕O点逆时针旋转，得到点，向下平移4个单位，得到，故选：D．2．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）如图，点的坐标为，点的坐标为的坐标为，将沿轴向下平移，使点平移至坐标原点，再将绕点逆时针旋转，此时的对应点为，点的对应点为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据点的坐标为，平移后点平移至坐标原点，所以平移变换是向下平移3个单位，所以，因为将绕点逆时针旋转，所以点的坐标为，所以选C．3．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，的顶点A在y轴上，B，C两点都在x轴上，将边向右平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为O，线段交AC于点，若，则点D的坐标为（

）A．（3，3） B．（4，4） C． D．（3，4）【答案】D【详解】解：如图，分别作，垂足为F，，垂足为G，，，，和有公共角，，，根据平移的性质可知，设，则x，在中：，即，或（舍去），，．故D点的坐标为（3，4）．故选：D．4．（2022春·重庆大足·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5），…，P21（11，11），P20的纵坐标与P21的横坐标相同，∴P20（11，﹣10），故答案为：D．5．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，先将点向左平移4个单位长度得到点，再作点关于原点的对称点，则此时点的坐标为______．【答案】【详解】解：将点向左平移4个单位长度得到点，则，作点关于原点的对称点，则．故答案为：．6．（2022秋·安徽安庆·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折、再向右平移2个单位长度，这个过程称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点A的坐标是，将经过第1次变换得到，再连续进行99次这样的变换，则点A的对应点的坐标是_____，的坐标是_____．【答案】

【详解】由题意得，点A经过99次变换后，位于x轴上方，故纵坐标为，经过99次变换后，点A向右平移了198个单位，故横坐标为196，故点的坐标为．点A经过100次变换后，位于x轴下方，故纵坐标为，点A向右平移了200个单位，故横坐标为198，的坐标是，故答案为：．7．（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，若点，则点的坐标______；(2)将向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点的坐标变为______；（无需画图）(3)图中格点的面积是______；(4)在轴上找一点，使得最小，请画出点的位置．【答案】(1)(2)(3)5(4)见解析【详解】（1）解：如图，点的坐标；（2）解：将向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点的坐标变为；（3）解：图中格点的面积；（4）解：如图，点为所作．8．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，．(1)画出关于y轴对称的，其中点A、B、C的对应点分别为，，；(2)将向下平移5个单位长度得到，请直接写出点，，的坐标；（______，______），（______，______），（______，______）(3)连接线段，，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)，，(3)7【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：由（1）得，，，∵将向下平移5个单位长度得到，∴，，；（3）解：．题型七：平移综合典型例题例题1．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点在四边形内，满足，，则点的坐标为（）A．（2，1） B．（2，4） C．（3，2） D．（4，2）【答案】D【详解】解：如图，过P作PM⊥OB于M，交CD于N，∵CD∥OB，∴PN⊥CD，设P（x，y），∵S△POB：S△POC＝5：6，∴5××3x＝6××5y，∴x＝2y，①∵S△PCD＝S△PBD，∴×7•（3﹣y）＝18﹣×7（3﹣y）﹣×3x﹣×5y，②由①、②解得x＝4，y＝2，∴P（4，2），故选：D．例题2．（2022春·河北衡水·七年级校考期末）如图，三角形沿着所在直线向右平移个单位长度得到三角形（点在点的左侧）．下列判断正确的是（

）结论Ⅰ：若，，则的值为2；结论Ⅱ：连接，若三角形的周长为18，四边形的周长为22，则的值为4．A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【答案】D【详解】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，∴BE＝CF＝a，∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4，∴8＝a+4+a，∴a＝2，故结论Ⅰ正确；∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF，∴AC＝DF，∵四边形ABFD的周长为22，∴AB+BC+CF+DF+AD＝22，∴AB+BC+CF+AC+AD＝22，∵三角形ABC的周长为18，∴AB+BC+AC＝18，∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22，∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确，∴Ⅰ对Ⅱ不对，故选：D．例题3．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．(1)画出中边上的高（要求用铅笔作图，加黑加粗，并标出点的位置）；(2)画出向右平移4格、向上平移2格后的（、、的对应点依次为、、）；(3)连接、，那么与的关系是________；(4)若点是正方形网格内异于点的格点，则满足和的面积相等的点有____个．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)平行且相等(4)4（1）如图，线段CH即为所求（2）如图，△DEF即为所求（3），，故答案为：，（4）如图，满足条件的点P有4个，故答案为：4．例题4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考阶段练习）如图，矩形顶点的坐标为(8，3)，定点的坐标为(12，0)，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，、两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒，和矩形重叠部分的面积为．(1)当=___________时，的边经过点(2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围．【答案】(1)1(2)（1）解：为等腰直角三角形∴∵四边形为矩形∴当经过点B时，为等腰直角三角形∵点B的坐标为(8，3)，点D的坐标为(12，0)∴，此时，运动时间（2）解：①当时，如图，设交于点G，过点P作于点H则，∴②当时，如图，设交于点G，交于点S、T，则

，∴．③当时，如图，设与交于点T，则，．∴综上所述，S关于t的函数关系式为：同类题型归类练1．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出平移后的图形．(2)求的面积．(3)若点是轴上的一个动点，则的最小值为，此时点的坐标为．【答案】(1)见解析(2)3(3)；【详解】（1）解：平移后，，；如图：（2）面积；（3）作点关于轴的对称点为，连接交轴于点，如图，根据最短路径可知，设直线的解析式为，把，代入得，，解得，，所以直线的解析式为，当时，，解得，此时点坐标为，故答案为：；．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知A（﹣4,﹣1），B（﹣5,﹣4），C（﹣1,﹣3），△ABC经过平移得到的，△ABC中任意一点平移后的对应点为．(1)画出平移后的；(2)写出点的坐标；(3)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)5.5【详解】（1）解：由点平移后的对应点为知：点的横坐标右移6个单位，纵坐标上移4个单位平移后的图形如下所示：图中即为所求（2）解：由（1）的图形直接得：（3）解：3．（2023春·全国·七年级专题练习）△ABC与在平面直角坐标系中的位置如图．(1)分别写出下列各点的坐标：；；；(2)说明由△ABC经过怎样的平移得到？(3)求△ABC的面积．【答案】(1)（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）(2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位(3)2【详解】（1）根据图示，得A′（﹣3，1），B′（﹣2，﹣2），C′（﹣1，﹣1）；故答案为：（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）．（2）△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位；（或先向下平移2个单位，再向左平移4个单位）得到△A′B′C′；（3）如图，=×(1+3)×2﹣×1×3﹣×1×1＝2．4．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．(1)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全；(2)连接，则这两条线段之间的关系是__________；(3)画出的中线AE．【答案】(1)见解析；(2)平行且相等；(3)见解析．（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）根据平移变换的性质知，这两条线段之间的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等；（3）如图所示，BE即为所求；题型八：轴对称图形的识别典型例题例题1．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D错误．故选：C．例题2．（2023秋·天津河西·九年级校考期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．例题3．（2023秋·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）由于受新冠疫情的影响，第32届东京奥运会暂定于2021年7月23日正式开幕，于同年8月8日闭幕．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形。其中是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故符合题意．故选D．同类题型归类练1．（2023秋·广东珠海·九年级校考期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）下列四个图形中，是轴对称图形的为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、是轴对称图形，故正确；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故错误．故选：A．3．（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．故选B．题型九：轴对称的性质角度1：成轴对称的两个图形的识别与判断典型例题例题1．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（）A． B． C．D．【答案】D【详解】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故正确．故选：D．例题2．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图所示，与关于直线对称，下列说法错误的是（

） B． C．点和点到直线的距离相等 D．【答案】D【详解】解∶∵△ABC与△DEF关于直线l对称，∴△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AB=DE，直线l垂直平分线段BE，∴点B和点E到直线l的距离相等，由已知条件无法判断ACDE，故选项A，B，C正确，D错误，故选∶D．例题3．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在格点上．(1)作出与关于对称的图形；(2)______，______；(3)在直线上找一个格点，使得为轴对称图形．【答案】(1)见解析(2)5，7(3)见解析【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）如图，，；（3）如图，符合要求的点P共有2个．例题4．（2022秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）作图题：(1)四边形与四边形关于直线对称．连接、．设它们相交于点．怎样找出点关于的对称点？(2)已知五边形和成轴对称，你能用无刻度的直尺画出对称轴吗？请画出来．【答案】(1)见解析(2)能，见解析（1）如图，连接交于点，则即为所求，∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称，则点与点关于关于直线l对称，（2）如图，连接交于点，连接交于点，过作直线，则为对称轴．理由如下，连接，∵五边形ABCDE和成轴对称，∴，∴，∴在的垂直平分线上，同理可得在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，根据如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；∴即为所求对称轴角度2：根据成轴对称图形的特征求解典型例题例题1．（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点P是直线上的点，∴，，∴，，故A，B，D选项正确，无法判断，故C选项不正确，故选C例题2．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）已知：如图，是内的一点，分别是点关于的对称点，交于点于点，交于点，若，则的周长是_________．【答案】5【详解】解：∵分别是点P关于的对称点，∴，∴，∴的周长为5cm.故答案为：5．例题3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，点的坐标为．(1)在图中画出平面直角坐标系；(2)①写出点关于轴的对称点的坐标；②画出关于轴对称的图形，其中点的对称点是，点的对称点是．【答案】(1)见解析(2)①；②见解析【详解】（1）解：平面直角坐标系如下图所示；（2）解：①由（1）中建的平面直角坐标系可知点B的坐标为，因此点B关于x轴的对称点的坐标为；②如图所示．例题4．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：(1)在图①中，作出该图形的对称轴；(2)在图②中，作出点的对称点．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图所示，连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l，（2）如图所示，延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求，角度3：轴对称中光线反射问题典型例题例题1．（2022秋·全国·八年级期末）如图，在水平地面上放一个平面镜，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜与地面所成的锐角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：入射光线垂直于水平光线，它们的夹角为90°，虚线为法线，为入射角，两水平线平行故选：B．例题2．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．【答案】40°##40度【详解】解：依题意，，∵，，，∴，．故答案为：40°．例题3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜与之间夹角为120°，光线经平面镜反射到平面镜上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1的度数为_____【答案】30°【详解】如图，由镜面反射的特点得又，解得则故答案为：．例题4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线通过镜面反射后的光线为，再通过镜面反射后的光线为．光线与镜面的夹角的度数为，光线与光线的夹角的度数为．则与之间的数量关系是______．【答案】【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线n与镜面夹角度数为，∵是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n与镜面夹角度数也为，又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，，．故答案为：．角度4：折叠问题典型例题例题1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（

）A．−36° B．54° C．72° D．90°【答案】C【详解】解：如图，∵沿着直线l折叠得到，∴．∵，，∴．∴．故选：C．例题2．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数（

）A．29° B．32° C．34° D．56°【答案】C【详解】解：根据题意得：，，∵，∴．故选：C例题3．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）长方形纸片，点、分别在边、上，连接，将沿翻折，得到，连接，将翻折，得到，点恰好落在线段上，则______°．【答案】90【详解】解：根据翻折可得，，，∴故答案为：90．例题4．（2023秋·河北保定·九年级保定十三中校考期末）如图，沿直线折叠等边三角形纸片，使点落在边上任意一点处（不与、重合）．已知边长为9，D为上一点，，，则______．【答案】【详解】解：∵是等边三角形，∴，由折叠的性质可知，∴，∴，∴，∴∵等边三角形边长为9，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．例题5．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点．(1)求证：；(2)若，，求折叠后的重叠部分阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：如图，长方形沿对角线对折，使落在的位置，，，又四边形为矩形，，，而，在与中：；（2）四边形为长方形，，，，，设，则，，在中，，即，解得．折叠后的重叠部分的面积．题型九同类题型归类练1．（2023秋·山西·八年级校联考期末）如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为_______．【答案】5【详解】解：如图所示：分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接、、，，∵点P关于的对称点为点C，，，；∵点P关于的对称点为点D，，，，，，是等边三角形，，的周长为：，周长的最小值为5，故答案为：5．2．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图，在边长为4的正方形中，为边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则当取得最小值时，的值为_____________．【答案】【详解】解：∵正方形边长为4，为边的中点，∴如图，以为直径作圆，则该圆是以点E为圆心，2为半径的圆，连接，与圆交于点M，则当位于点M处时，取最小值，记当位于点M处时的折痕为，连接，设，∴，∴，∵中，，∴，由折叠知，，∴，∴中，∴，∴，∴，故答案为：．3．（2023秋·河南开封·七年级开封市第十三中学校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，，两点分别落在，两点处，若：：，则_________________度．【答案】54【详解】解：由折叠可得，：：，'，由折叠可得，，，，，故答案为：．4．（2023秋·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期末）如图，在锐角△ABC中，BC=4，∠ABC=30°，∠ABD=15°，直线BD交边AC于点D，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是__________．【答案】【详解】解：∵∠ABC=30°，∠ABD=15°，∴BD是∠ABC的平分线，作点关于BD的对称点M，连接PM、CM，由对称的性质可知，,∴，∵,∴,∵,∴M在AB上,由垂线段最短可知：当时．取得最小值，∴此时PQ+PC也取得最小值．∵，∴，∵,∴,∴PQ+PC的最小值为：．故答案为：．5．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？【答案】见解析【详解】如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时的值最小，因此泵站修在P点可使所用的输气管线最短.6．（2023秋·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)△ABC的面积是______；(2)在网格纸中画出与△ABC关于直线l成轴对称的；(3)再找一个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，并画出对称轴．【答案】(1)4.5(2)见解析(3)见解析（1）解：△ABC的面积为故答案为：．（2）解：如图所示；（3）解：如图，找出D

画出对称轴（过格点）题型十：对称轴角度1：画对称轴典型例题例题1．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，网格中的与为轴对称图形．(1)利用网格线作出与的对称轴；(2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积为______．(3)顶点在格点，找出为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出______个．(4)在对称轴上找到一点，使最短．【答案】(1)见解析(2)3(3)1(4)见解析【详解】（1）解：如图，直线l为所作；；（2）解：的面积；故答案为：3；（3）解：如图，以为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内能画1个．故答案为：1．（4）解：如图所示，点P即为所求．例题2．（2022秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）按要求作图．(1)如图，线段关于某直线作轴对称变换，得到线段，其中点的对称点是点．请确定直线的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)如图在小正方形构成的网格图中，各顶点都在格点上，直线经过格点．在网格图中画出关于直线对称的，点、点、点的对称点分别为点、点、点．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图，直线为所作；（2）如图，为所作．例题3．（2022秋·上海奉贤·七年级校联考期末）已知四边形，如果点、关于直线对称，(1)画出直线；(2)画出四边形关于直线的对称图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）如图，直线即为所求；（2）如图，四边形即为四边形关于直线的对称图形．例题4．（2022秋·江西上饶·八年级统考期中）如图，请仪用无刻度的直尺按下列要求画图：(1)如图，在中，，、分别是边上的两点，且，请画出的对称轴；(2)如图，在等腰梯形中，，请画出等腰梯形的对称轴．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，即为的对称轴．作法：连接，，和交于点O，连接．证明：，，在和中，，，，，点O在线段的垂直平分线上，又，点A也在线段的垂直平分线上，为的对称轴．（2）解：如图，为等腰梯形ABCD的对称轴．作法：连接，，和交于点F，作，的延长线交于点E，作直线．证明：在等腰梯形中，，，在和中，，，，，点F在线段的垂直平分线上，，，点E在线段的垂直平分线上，为等腰梯形的对称轴．角度2：求对称轴的条数典型例题例题1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第二十三中学校考期末）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（

）A． B． C．D．【答案】C【详解】A选项找不到一条对称轴，不是轴对称图形；B选项是轴对称图形，有1条对称轴；C选项是轴对称图形，有4条对称轴；D选项是轴对称图形，有1条对称轴；因此是轴对称图形并且对称轴条数最多的是C.故选：C例题2．（2022秋·河南许昌·八年级统考期中）如图所示的图形为轴对称图形，该图形的对称轴条数为（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】C【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有5条．故选：C例题3．（2022秋·北京海淀·七年级101中学校考期末）如图所示的轴对称图形中，对称轴最多的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：选项A的图形有四条对称轴，选项B的图形有六条对称轴，选项C的图形有三条对称轴，选项D的图形有两条对称轴，所以对称轴最多的是B．故选：B．例题4．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】D【详解】解：该图形沿直线l4折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故该图形的对称轴是l4，故选：D．例题5．（2022春·湖北黄冈·九年级专题练习）下面的图形中对称轴最多的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】A选项图形有2条对称轴；B选项图形有2条对称轴；C选项图形有3条对称轴；D选项图形有1条对称轴；所以，C选项图形的对称轴最多．故选C．题型十同类题型归类练1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑．使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形（另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同），并画出其对称轴．其对称轴分别是：___________，___________，___________，___________．【答案】见解析，【详解】解：对称轴分别是：．2．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）（1）如图1，四边形与四边形关于直线l对称．连接、．设它们相交于点P．请作出点P关于直线l对称的对称点Q．（2）如图2，已知五边形和关于直线m对称，请用无刻度的直尺画出直线m．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【详解】解：（1）如图1所示，点Q即为所求；（2）如图2所示，直线m即为所求．3．（2022秋·吉林四平·八年级统考期中）找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．【答案】见解析【详解】解：所画对称轴如下所示：4．（2022秋·江西·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴：(1)如图1，点，在抛物线上；(2)如图2，四边形为矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析（1）解；如图1，直线为所作；（2）解：如图2，直线为所作．5．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）三个面积都为1的等边三角形共一个顶点，均匀分布组成的平面图形如下，请仅用无刻度的直尺作图．(1)在图1中，作出图形的一条对称轴；(2)在图2中，作一个面积为4的菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析（1）解：如图，直线l即为所求（答案不唯一）．（2）解：如图，菱形ABCD即为所求（答案不唯一）．题型十一：镜面对称典型例题例题1．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：8点的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以最接近8点的时间在镜子里看起来就更接近4点，所以应该是图C所示，最接近8点时间．故选C．例题2．（2022秋·七年级单元测试）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为________.【答案】12：05．【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为12：05．故答案为12：05．例题3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在地面上的一个小水洼中观察到一辆小汽车车牌号的像为，则该小汽车的车牌号是_______________．【答案】FT2567【详解】由题意可得，∴实际车牌号是：FT2567．故答案为FT2567．同类题型归类练1．（2022秋·八年级单元测试）如图下面镜子里哪个是他的像？（

）A．A B．B C．C D．D【答案】B【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有与原图形成镜面对称．故选：．2．（2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）小强站在镜前,从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表,其读数如图所示,则电子表的实际时刻是______.【答案】10:21【详解】根据镜面对称原理可知15:01对称后为10:21故答案为10:213．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）黑板上写着18502，在正对着黑板的镜子里看到的数字是__．【答案】50281【详解】解：根据镜面对称的性质，因此18502的真实图象应该是50281．故答案为：50281．题型十二：画（设计）轴对称图形典型例题例题1．（2023秋·天津和平·八年级天津市汇文中学校考期末）在下列方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有（

）A．3种 B．5种 C．4种 D．6种【答案】C【详解】解：如图，共有4种添法，故选C例题2．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字________的格子内．【答案】2【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，根据题意，阴影应该涂在标有数字2的格子内；故答案为2．例题3．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：(1)画出关于轴对称的，并写出点为（______，______）(2)求出的面积为______.(3)在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（______，______），的最小值为______.【答案】(1)，(2)(3)，；【详解】（1）解：如图所示：，故答案为：，；（2）的面积为；（3）如图所示，连接交轴于点，此时的值最小，设的解析式为，将点代入得：解得：，∴的解析式为，当时，，∴，∵，∴，的最小值为：，故答案为：，；；同类题型归类练1．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在小正三角形组成的网格中，已有个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，n的最小值为3．故选C．2．（2023秋·湖南常德·八年级校联考期末）完成下列各题．(1)画出关于轴对称的图形．(2)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹）．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【详解】（1）解：由原图可知，，∵与关于轴对称∴，，∴可得图形：（2）解：∵关于轴对称点∴连接与轴的交点∴连接，点即为所求3．（2023秋·湖北孝感·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l．(1)画出关于直线l的轴对称图形，并写出点，，的坐标．(2)直线l上找一点Q，使得的周长最短，在图中标记出点Q的位置．(3)在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）．【答案】(1)见解析，(2)见解析(3)【详解】（1）解：如图，为所作；由图可知：．（2）解：如图，点Q为所作的；（3）解：点P关于直线l的对称点的坐标为．故答案为：．题型十三：坐标系中的对称问题典型例题例题1．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）把各顶点的横坐标都乘以，纵坐标都不变，所得图形是下列答案中的（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵把各顶点的横坐标都乘以，纵坐标都不变，∴则两个三角形关于轴对称，故选：B．例题2．（2023春·八年级单元测试）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1各单位，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为（1，4），（﹣3，1）．（1）请在网格所在的平面内作出符合上述表述的平面直角坐标系；（2）请你将、、的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1所得到的点、、描在坐标系中，并画出，其中点的坐标为．（3）的面积是．【答案】(1)详见解析;(2)（5，2）；(3)18．【详解】解:（1）平面直角坐标系如图所示；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为（5，2）；故答案为（5，2）；（3）△ABC的面积是×6×（3+3）=18．故答案为18．例题3．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如图，边长为1的正方形网格中，四边形的四个顶点，，，都在格点上．(1)画出四边形关于轴的对称图形四边形，则点坐标为___________；(2)在轴上找一点，使得最短，请画出点所在的位置，并写出点的坐标．【答案】(1)画图见解析，(2)【详解】（1）解：如图，四边形为所作，点坐标为；故答案为；（2）如图，点为所作，点坐标为．同类题型归类练1．（2023秋·山西·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为_______．【答案】【详解】∵点关于轴对称的点的坐标是，故答案为：2．（2023秋·山西·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．(1)分别画出关于轴、轴对称的和；(2)分别写出和各顶点的坐标．【答案】(1)见解析；(2)各顶点的坐标为，，；各顶点的坐标为，，．【详解】（1）如解图，；（2）各顶点的坐标为，，；各顶点的坐标为，，．3．（2023秋·广西钦州·八年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：(1)在图中作，使和关于轴对称；(2)写出点的坐标．【答案】(1)见解析(2)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）根据图形得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．题型十四：轴对称综合问题角度1：线段问题典型例题例题1．（2023秋·湖北孝感·八年级校考期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于，、分别是和上的动点，则的最小值是________．【答案】【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．是的平分线，，是点到直线的最短距离垂线段最短，，．的最小值是，故答案为：．例题2．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）如图1，对于平面内的点、，如果将线段绕点逆时针旋转得到线段，就称点是点关于点的“放垂点”．如图2，已知点，点是轴上一点，点是点关于点的“放垂点”，连接、，则的最小值是_________．【答案】【详解】解：如图，设，过点作轴，，，，，，，，，，，点在上，如图，作关于的对称点，连接交轴于点，则，令，得，则，的最小值．故答案为：例题3．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）如图，两直线与相交于点，它们相交所成的锐角等于15°，若点是直线上一定点满足，点、分别是直线、上的动点，则的最小值＝_________.【答案】9【详解】解：如图，作B点关于直线m的对称点E，作直线，∴，，过点E作，垂足为点F，交直线m于点H，则当C点位于点F，D点位于点H时，的值最小，等于，∵，故答案为：9．例题4．（2023秋·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．(1)作关于y轴的轴对称图形得，画出图形，并直接写出点的坐标______；(2)已知点是轴上一点，则当的最小值时，点的坐标是______．【答案】(1)绘图见解析，(2)【详解】（1）解：如图为所求作的图形，点的坐标为（2）解：作关于轴的对称点，得，连接当刚好为与轴交点时的值最小，设解析式为将，代入解析式得：得解析式为当时点坐标为角度2：面积问题典型例题例题1．（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）如图，有一张图纸被破坏，上面两个标志点、清晰，而主要建筑标志点被破损．(1)请在图中标出点的位置；(2)连接、、，作关于轴对称的图形；(3)求的面积．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)5【详解】（1）如图，C点即为所求（2）如图，即为所求.（3）.例题2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)在图中作出关于轴的对称图形；(2)请直接写出点关于轴的对称点的坐标______；(3)的面积______；(4)在轴上找一点，使得周长最小，并求出周长的最小值．【答案】(1)见解析(2)(3)4(4)【详解】（1）解：如图，为所求；（2）解：点关于轴的对称点的坐标为；故答案为：；（3）解：的面积；（4）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求