专题2-3直线与圆的最值问题专练-2024-2025学年高二上学期数学常考题专练

专题23直线与圆的16类最值问题全归纳求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化，今天我们一起来学习一下直线与圆相关最值问题的所有题型！总览总览题型解读TOC\o"13"\h\z\u【题型1】点到含参直线距离最值 2【题型2】过定点的弦长最短 3【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围 5【题型4】点圆型最值问题 7【题型5】斜率型最值问题 9【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数（教材原题改编） 12【题型7】与基本不等式结合求最值 19【题型8】隐圆型最值问题 24【题型9】阿氏圆 28【题型10】与切点弦有关的最值问题 35【题型11】过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值 41【题型12】半圆与直线交点问题 47【题型13】三角换元求最值 51【题型14】圆的轨迹类问题 52【题型15】点到直线距离公式为背景的最值问题 57【题型16】张角最大问题 64题型题型汇编知识梳理与常考题型【题型1】点到含参直线距离最值点P到含参直线l距离最大值即P点到定点A的距离如图，直线l绕定点A旋转，易知点到直线距离的最大值为A．1 B． C． D．2【解答】解：方法一：因为点到直线距离；要求距离的最大值，故需；，当且仅当时等号成立，可得，当时等号成立．方法二：由可知，直线过定点，记，则点到直线距离【巩固练习】已知直线l方程为，那m为时，点到直线l的距离最大，最大值为【答案】【分析】求出直线过定点的坐标，当时，为所求点到直线距离的最大值，再由垂直求得值．【详解】直线l：化为，由，得，直线l必过定点．当点到直线l的距离最大时，垂直于已知的直线l，即点与定点的连线长就是所求最大值，此时直线与直线垂直，，解得，此时，点到直线的最大距离是．综上所述，时，点到直线的距离最大，最大值为．故答案为：；．【题型2】过定点的弦长最短设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为已知直线和圆交于两点，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】求出直线过定点，再利用弦长公式即可得到最小值.【详解】，令，则，所以直线过定点，当得，则在圆内，则直线与圆必有两交点，因为圆心到直线的距离，所以．【巩固练习1】过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是．【答案】【分析】利用垂径定理很快就可以找到最小弦长的直线，再利用勾股定理进行求解即可.【详解】因为圆C：，圆心，半径所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值，即.【巩固练习2】（2425高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度最小值为.【答案】【分析】求出直线过的定点，求出圆的圆心和半径，连接，当直线与垂直时弦长最小，求出AB长度最小值.【详解】由题意得直线过定点，圆圆心为，半径为，连接，当直线与垂直时弦长最小，此时，所以AB长度最小值为.【巩固练习3】（2324高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值.【详解】直线，令，解得，所以直线恒过定点，圆的圆心为，半径为，且，即在圆内，当时，圆心到直线的距离最大为，此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系已知点和圆的一般式方程：（），则点与圆的位置关系：①点在外②点在上③点在内注意：做题时不要漏掉这个不等式若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.【巩固练习1】若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.【详解】由题意知，故，又由圆的一般方程，可得，即，即或，所以实数的范围为.【巩固练习2】若点在圆外，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解.【详解】圆的标准方程为，由于点0,1在圆外，所以，解得【巩固练习3】过点可以向圆引两条切线，则的范围.【答案】【分析】根据方程表示圆和点在圆外可得不等式，由此可解得的范围.【详解】由表示圆可得：，解得：；过可作圆的两条切线，在圆外，，解得：；综上所述：的范围为.【题型4】点圆型最值问题圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线距离的最小值减去半径若实数满足，则的最大值是．【答案】/【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.【详解】设点，由实数满足可得：点在以原点为圆心，以为半径的圆上，设点，则的几何意义为动点到定点的距离，由，则点在圆外，结合图形可知，.的最大值是.故答案为：.

【巩固练习1】若点在圆上，则的最小值为.【答案】【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求.【详解】因为，化为，圆心为，半径为，又表示点与点的距离的平方，圆心与点的距离为，所以点与点的距离的最小值为，故的最小值为【巩固练习2】若点是圆:上一点,则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.【详解】圆:可化为表示点到点的距离的平方,因为，所以的最小值为.【巩固练习3】已知圆，点与，为圆上动点，当取最大值时点坐标是．【解答】解：设，则，的几何意义是到原点的距离，由已知，圆心，半径为1，到的距离，的最大值是，的最大值为，由直线与圆，可得，或，当取最大值时点坐标是，．【题型5】斜率型最值问题形如的最值问题，可转化为点与定点的动直线斜率的最值问题已知实数，满足方程，求的最大值和最小值【解答】解：（1）圆，圆心，半径为，令，即，的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的的值，，解得，的最大值为，最小值为．（2425高二上·江西上饶·开学考试）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.【详解】，而，故直线的取值范围为若点在曲线：上运动，则的最大值为.【答案】【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置关系应用点到直线距离求解即可.【详解】曲线方程化为，是以为圆心，3为半径的圆，表示点与点连线的斜率，不妨设即直线：，又在圆上运动，故直线与圆有公共点，则，化简得解得，故的最大值为.【巩固练习1】（2223高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据斜率和倾斜角的关系，结合图象可得答案.【详解】在上的图象如图所示，由图可知，当时，倾斜角的取值范围为.故选：C.【巩固练习2】如果实数，满足，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，求的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，结合图象，易得取值范围.【详解】解：设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.其中圆心，半径从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；同理，的最小值为－1.则的范围是.【巩固练习3】已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是，的范围是.【答案】【分析】根据坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，的几何意义为与距离的平方，即可由斜率公式及距离公式求解.【详解】根据题意画出线段AB如下图所示：直线AB的方程为，的几何意义为与连线斜率，，所以；的几何意义为与距离的平方，由点到距离公式可知，,所以，故答案为：；.【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数（教材原题改编）教材原题改编：选择性必修第一册第99页圆心C到直线1的距离为d，圆C上的动点P到直线的距离为d'，则(1)直线与圆有公共点时，此时d≤r①当d'＞d＋r(d≤r)时，点P个数为0②当d'＝d＋r(d≤r)时，点P个数为1③当r－d＜d'＜r＋d(d≤r)时，点P个数为2④当d'＝r－d(d≤r)时，点P个数为3⑤当0＜d'＜r－d(dsr)时，点P个数为4(2)当直线与圆无公共点时，此时d＞r①当d'＜d－r(d＞r)时，点P个数为0②当d'＝d－r(d＞r)时，点P个数为1③当d－r＜d'＜d＋r(d＞r)时，点P个数为2已知点在圆上，点，．求点到直线距离的最大值；【答案】【分析】首先求出直线的方程，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为，即，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，故圆与直线相离，所以圆上的点到直线距离的最大值为.（多选）在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】分析可知直线平行且与该直线间距离为的直线的方程为、，由题意可知，直线、与圆均相交，可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】设与直线平行且与该直线间距离为的直线的方程为，则，解得或，所以，直线、均与圆相交，而圆心为原点，圆的半径长为，所以，，解得若圆上有且仅有两个点到直线的距离为5，则的取值范围是.【答案】【分析】求出圆心到直线的距离等于，由，能求出半径的取值范围.【详解】圆心到直线的距离等于，圆上有且仅有两个点到直线的距离为5，由圆的几何性质可得，解得，半径的取值范围是，故答案为.已知圆C：，直线l：，若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1，则m的取值范围是．【答案】【分析】首先结合已知条件，求出当圆C上有1个和3个不同的点到直线l的距离为1时，圆心到直线的距离，进而得到圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1时，圆心到直线的距离的范围，然后结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】当圆C上有且仅有两个点到直线l的距离等于1时，如下图所示．由于圆C的半径为2，故当圆C上有1个不同的点到直线l的距离为1时，圆心到直线的距离，当当圆C上有3个不同的点到直线l的距离为1时，圆心到直线的距离，从而圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1时，则圆心C到直线l的距离d满足，解得，因为圆心到直线：的距离，所以，解得或，故m的取值范围是．（2425高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是【答案】或．【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得．【详解】圆，则圆心为，半径，设两切点为，则，因为，在中，，所以,因此只要直线上存在点，使得即可满足题意．圆心，所以圆心到直线的距离，解得或．故答案为：或．

【巩固练习1】（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值.【详解】两点，B0,3，则，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.【巩固练习2】已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为.【答案】3【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案.【详解】由直线方程，则该直线过定点，易知圆上任意定点到该直线的最大距离就是该点到的距离，由圆的方程，则其圆心为，半径为，点到圆上点的最大距离为.【巩固练习3】在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为．【答案】【分析】由圆的方程确定圆心和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据已知可确定，由此构造方程求得的取值范围.【详解】由圆的方程知其圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则；圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则，即，解得：或，的取值范围为.【巩固练习4】若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是．【答案】【分析】根据题意分析出直线与圆的位置关系,再求半径的范围.【详解】圆心到直线的距离为2，又圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y＝11的距离等于1，满足，即：|R﹣2|＜1，解得1＜R＜3．故半径R的取值范围是1＜R＜3（画图）故答案为:【巩固练习5】设圆：上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径的取值范围是.【答案】【分析】计算圆心到直线的距离为，根据条件得到，解得答案.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，所以，即，所以.【巩固练习6】已知直线，圆，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则b的取值范围为．【答案】【分析】根据题意可得圆心到直线的距离小于1，再利用点到直线距离即可求出b的取值范围．【详解】圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离小于1，则，即，所以b的取值范围为．【题型7】与基本不等式结合求最值基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积）常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为______.【解答】解：由直线与直线互相垂直，所以，即；又、为正实数，所以，即，当且仅当，时取“”；所以的最大值为．设直线的方程为，若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．【解答】解：与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，的横坐标，的纵坐标，求得．求为坐标原点）面积的为，当且仅当时，取等号，故为坐标原点）面积的最小值为6．（2324高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为，此时直线方程为．【答案】【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可.【详解】圆，整理得，则其圆心为，由题意得：直线过圆心，所以，又，，所以．（当且仅当，时，取“＝”）．此时直线方程为，即.故答案为：；.（2024·安徽·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解.【详解】由题意可得，，直线的斜率为．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即当直线的斜率取最大值时，，所以，故．（2324高二上·陕西西安·期中）已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值.【详解】如图，设，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为【巩固练习1】过点的动直线和过点的动直线交于点（点异于、，且，则的最大值是A． B．5 C． D．【解答】解：因为，则，所以，则，当且仅当时取等号，所以的最大值为．【巩固练习2】过点的直线，求与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.【答案】.【解析】设出截距式方程为，代入点的坐标，用基本不等式求得的最小值，从而得直线方程．【详解】设直线方程为，∵直线过点，∴，，当且仅当，即时等号成立，∴，，∴△AOB面积最小值为24，此时直线方程为，即【巩固练习3】（2324高二上·江苏无锡·期中）若圆被直线平分，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．【答案】C【分析】由题意得圆心在直线上，即得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】由圆被直线平分，得圆心在直线上，则，即，而，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.【巩固练习4】已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，，切点分别为，若，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】根据题意，求得，得到，结合圆的切线的性质，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】如图所以，因为过点作圆的两条切线，可得，由，即，所以，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故选：C.【巩固练习5】（2324高二下·山西长治·阶段练习）已知直线，圆，当圆心到直线的距离最小时，圆的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点到直线的距离公式结合基本不等式求解圆心到的距离的最小值，即可求出圆的半径，进一步求解周长.【详解】圆化为，所以，故到的距离，当且仅当，即时等号成立，故此时圆的半径为，则圆的周长为.【巩固练习6】（2324高三下·安徽黄山·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为.【答案】1【分析】两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，根据P在公共弦上可得，再利用基本不等式即可求最小值．【详解】圆和圆的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为，所以点在两圆的公共弦上，∴，当且仅当时取等号，所以所以，当且仅当时取等号.【题型8】隐圆型最值问题一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类) 设点，，直线，于点，则的最大值为.【答案】6【分析】先求出直线过定点，再根据条件求出点的轨迹方程，再结合轨迹方程求出的最大值．【详解】直线，则，则，解得，，即直线恒过点，设，，，，即，故点的轨迹为，该轨迹是以为圆心，半径为1的圆，．已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.【详解】易知直线恒过定点A-2,0，直线恒过定点，且，易知直线与互相垂直，即可得，所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为；可得点轨迹方程为；又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点，当两圆内切（圆在外）时，取得最大值；此时满足，解得.（2324高二上·湖南·期中）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，的最小值为．【答案】．【分析】求出两直线所过定点坐标，由两直线垂直得点轨迹是圆，设的中点为，由向量加法法则得，由圆的性质得点轨迹也是圆，圆心为原点，利用两圆心距可得两圆上两点间距离的最小值，从而得出结论．【详解】变形得到，令，解得，从而，变形得到，令，解得，从而，由，由勾股定理得，点的轨迹为以为直径的圆，其中线段的中点坐标为，半径为，点轨迹方程为，圆的圆心为，半径为3，设的中点为，由垂径定理得，故点的轨迹方程为，因为点轨迹方程为，则的最小值为圆心距减去两半径，即，其中，所以的最小值为．故答案为：．

【巩固练习1】已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为.【答案】【分析】先求得该直线过定点，再根据点在直线上的射影为，得到的轨迹为以为直径的圆，然后利用点与圆的位置关系求解.【详解】由直线方程可知，联立，解得，则该直线过定点，因为点在直线上的射影为，且，所以的轨迹为以为直径的圆，圆的方程为，所以圆心为，，因为，所以，则，因此长度的取值范围为.【巩固练习2】已知直线：，：，，若和交于点，则的最大值是.【答案】【分析】根据直线的性质分析可知点M的轨迹为以为直径的圆，结合圆的性质分析求解.【详解】对于直线：，当时，恒成立，即过定点，记为A，对于直线：，当时，恒成立，则恒过定点，记为，因为，无论m取何值，与都互相垂直，和交于点M，所以，即点M的轨迹为以为直径的圆，可知圆心为，半径为，所以的最大值是.【巩固练习3】已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解.【详解】直线即直线，过定点，直线即直线，过定点，又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆，即轨迹方程为，圆心，因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切，所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线PQ的范围.设设圆的半径为，因为圆的圆心，半径为定值，当PC取得最小值和最大值时，切线PQ取得最小值和最大值，，又因为，即，即，所以，即【题型9】阿氏圆借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值.【模型解读】如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R＝OB，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使，则可说明△BPO与△PCO相似，则有。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA＋PC”值最小。（2324高二上·福建龙岩·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】设是所求轨迹上的任意一点，根据题意，求得点的轨迹方程，在求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解.【详解】设是所求轨迹上的任意一点，且，，点满足，可得，整理得，即，可得圆心坐标为，半径为，又由圆心到直线的距离为，点到直线的距离的最小值为.（2324高二上·广东佛山·阶段练习）已知点、，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是．【答案】【分析】设点，求出点的轨迹方程为，分析可知，直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可.【详解】设点，因为点、，且，则，整理可得，所以，点在圆上，又因为点在直线上，且圆的圆心为，半径为，则直线与圆有公共点，所以，，整理可得，解得.所以，实数的取值范围是.（2324高三上·河北沧州·期末）已知，Q为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为.【答案】【分析】先利用“阿波罗尼斯圆”定义设出点，由，得到，再由，即可求出最小值.【详解】由阿波罗尼斯圆的定义，设，定点，令，则，平方化简得，因为此方程与为同一方程，所以，解得，所以点，所以，当且仅当、、三点共线时，等号成立，即最小值为点到直线的距离：，故答案为：.已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为．【解答】解：如图，取点，连接、．，，，，，，，，，在中，，的最小值为的长，，，故答案为：．（2425高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得.【详解】∵，∴.∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C，设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点Px,y，满足，则，化简得，又∵，代入得，要使等式恒成立，则，即.∴存在定点，使圆上任意一点P满足，则，当三点共线（位于两侧）时，等号成立.又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离，由到直线距离，则.故.如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值.【巩固练习1】（2324高二上·山东泰安·期中）已知O为坐标原点，A，B均在直线上，，动点P满足，则的最小值为．【答案】【分析】设，，根据条件可得，得到圆心坐标后可求得圆心在直线上，利用到直线的距离减去半径即可求得的最小值.【详解】设，，因为，所以，因为，所以，即，整理得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，易得圆心在上，又点到直线的距离，故.【巩固练习2】在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，可得到关于点的轨迹方程，由已知可得直线与圆由公共点，列出不等式可求出的范围.【详解】设，因为，，，所以，整理得，所以点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆因为，直线上存在点，使得，所以直线与圆相交或相切.所以，，解得.【巩固练习3】已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为.【答案】【分析】设，Mx1,y1，且，列式化简求得定点，然后把距离问题转化为最小，数形结合，利用点到直线距离公式三点共线时最短，即可得解【详解】不妨设x轴上定点使得满足，Mx1,则，整理得，，又，所以，则，解得，所以，使得，要使最小，则最小，所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.

故的最小值为点B到直线的距离.【巩固练习4】已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．(1)求圆的标准方程．(2)已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点，试求的最小值.【答案】(1)(2)存在，(3)5【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程；（2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值；（3）由（2）知，，故所求转化为、、三点共线问题．【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为，因为直线与圆相切，所以点到直线的距离，因为，所以，故圆的标准方程为；（2）假设存在定点，设，设，则，则，当，即舍去）时，为定值，且定值为，故存在定点使得为定值，的坐标为；

（3）由（2）知，故，从而，当且仅当、、三点共线时，最小，且．所以的最小值为5.【题型10】与切点弦有关的最值问题1、切点弦方程（二级结论）：圆外一点向圆作切线，两个切点A,B的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程）2、双切线性质：OP⊥l时候①切线长最小②切点四边形面积最小③切点弦AB最短④切线夹角最大⑤AB平行l3、切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆.(1)求圆的方程；(2)过点向圆作切线，，切点分别是，，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设点，根据，列出方程，即可求得圆的方程.（2）设切点，，分别求得和的方程，点，都在直线上，即可得到答案.【详解】（1）解：设点，由，且，，可得，整理得，所以圆的方程为.（2）解：设切点，，则，，直线方程为：，整理得，同理可得直线方程为：，由直线，均过点，则，，即点，都在直线上，所以直线的方程为.（高二下·浙江温州·期末）已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】依题作出图形，从四边形的面积分析考虑得出，利用将其化为，要使最小，需使最小，即为圆心到直线的距离时，利用点到直线的距离公式计算即得.【详解】

如图，易得,,则四边形的面积为,化简得，，在中，，代入整理得，，要使线段长度最小，只需使线段长度最小，而是圆心到直线上任意点的距离，故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小，此时，.已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为.【答案】【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果.【详解】由，得到，所以圆心，半径，如图，，所以四边形的面积，所以当PC最小时，也最小，此时，，故的方程为，即，联立解得：，，即，所以直线的方程为，化简得：.【巩固练习1】（2324高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推导出垂直平分，分析可知，当PC取最小值时，AB取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可知，，因为，，，所以，，所以，，则，设，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，所以，当PC取最小值时，AB取最小值，由，可得，所以，PC的最小值为，当与直线垂直时，PC取最小值，则，因为，解得.【巩固练习2】（高二上·湖北黄石·期末）已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，则直线恒过定点，四边形面积的最小值.【答案】【解析】设点的坐标为，求出以为圆心，为半径的圆的方程，将该圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，进而可求得直线所过定点的坐标；【详解】如下图所示：设点，连接、，则，，由勾股定理可得，以点为圆心，为半径的圆的方程为，即，将圆的方程与圆的方程作差并化简得，即直线的方程为，即，由，解得，所以，直线恒过定点；由切线长定理可得，又，，，所以，四边形的面积为，当时，取最小值，即，因此，四边形的面积的最小值为.【巩固练习3】（2324高二上·辽宁·期末）已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为，直线的方程为.【答案】1,0【分析】由题意可知，则，当与直线垂直时最小，结合点斜式方程可求解直线PM方程，进而求出点P的坐标；利用勾股定理可得，以为圆心，为半径作圆，将两圆方程相减即可求出直线AB方程.【详解】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，

由题意可知，则，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，所以直线的方程为，即.联立，解得，所以点的坐标为1,0，.在Rt中，，同理.以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，

的方程为，即，两圆方程相减得，即直线的方程为.【题型11】过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值当圆心角为90°时，面积有最大值，此时圆心到直线的距离为，注意验证圆心到直线的距离是否可以取已知直线与圆交于两点M，N，当面积最大时，斜率k值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，当，面积最大，分析可得此时圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式即得解.【详解】由题意，圆，故圆心，半径，，故当时，的面积取得最大值，此时圆心到直线的距离，即，即，解得.已知圆关于直线对称，且在圆上.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.【答案】(1)；(2)，或.【分析】（1）根据题意，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.【详解】（1）解：由圆关于直线对称，即圆心在直线，满足，即圆，又因为在圆上，所以，解得，所以圆的方程为.（2）解：由，可得，联立方程组，解得，即直线过定点，又由由（1）圆心为，可得，因为，所以当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径，此时点C到直线l的距离，，所以可以取到，所以，解得或，故所求直线l的方程为或.【巩固练习1】已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，直线，可变形可得，联立，解得，则直线恒过定点，记为，圆的圆心为，半径，则，又为圆的弦，设的中点为，则有，所以，易知，记，则，，所以的面积，当且仅当，即时，等号成立.即的面积的最大值为.【巩固练习2】已知直线与圆，，交于，两点，若的面积的最大值为，求此时．【答案】【分析】当的面积最大时，AC⊥BC，由面积的最大值为4，可算得b，从而得到C到直线的距离等于2，建立方程可求得a的值，从而得ab的值.【详解】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣8y+b＝0，即（x﹣1）2+（y﹣4）2＝17﹣b；∴圆心C（1，4），半径r＝；当的面积最大时，AC⊥BC，（S△ABC）max＝＝4；∴r2＝8，即17﹣b＝8，∴b＝9；直角三角形ABC中，AC＝BC＝r，∴C到直线AB：ax+y+a﹣1＝0的距离等于d＝2，∴d＝2＝，∴a＝，∴ab＝.故答案为：.【巩固练习3】已知圆，直线.(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.【答案】(1)证明见解析(2)面积最大值为，或.【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可；（2）注意到，所以当时，可以求出面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由点到直线的距离公式可以求出参数，由此即可得解.【详解】（1）因为直线可变形为，所以，解得，故直线经过的定点为.将点代入圆的方程有，所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点.（2）由（1）知，因为，所以当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径.此时点C到直线l的距离，，所以可以取到，所以，解得或.故所求直线l的方程为或.【巩固练习4】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，且直线过定点.（1）求点的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）记（I）中求得的图形的圆心为：（i）若直线与圆相切，求直线的方程；（ii）若直线与圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．【答案】（1），是以点为圆心，为半径的圆；（2）（i）或，（ii）或．【分析】（1）设点，则可得，而点A在圆上运动，所以将点A的坐标代入圆方程中化简可得结果；（2）（i）利用分类讨论思想的应用和点到直线的距离公式的应用求出直线的方程；(ii)设，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，而，利用基本不等式可求得其最大值，进而求出，从而可求出直线的斜率【详解】（1）设点，由的坐标是，且是线段的中点知，点在圆上运动，点坐标满足圆的方程，即，整理得.这就是点的轨迹方程，它是以点为圆心，为半径的圆；（2）（i）由（1）知点的轨迹方程是以点为圆心，为半径的圆：①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意；②若直线的斜率存在，设直线，即，由直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，即，解得.此时.由①②知直线的方程为或.（ii）若直线与圆相交于，两点，则直线的斜率一定存在且不为，设直线，即，则圆心到直线的距离.又，当且仅当，即时，“=”成立，时，有最大值为2，此时，解得或，故有最大值为2，此时直线的方程为或．【题型12】半圆与直线交点问题一、半圆方程例：化简曲线移项后两边平方得，通过方程看曲线是整圆，但要满足的条件所以曲线其实是右半圆.

这就提醒我们,比如：“两边平方”、“分式化整”、“实际问题情境”等，要留意是否恒等变形.二、观察交点个数观察动直线是斜率为定值还是直线过定点.当直线斜率为定值时，此直线在平移的过程中，利用图形，抓关键点，什么时候是有一个和两个公共点，相交相切位置要清楚，然后利用点到直线的距离与半径的不等关系得出参数的范围.当直线恒过定点时，直线在旋转，方法和平移类似，抓关键点和位置直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】曲线表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，直线的斜率为1，作出图形，由图形确定直线与曲线有两个公共点时的条件.【详解】方程，即，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，直线的斜率为1，连接和，

要使直线与该半圆有两个交点，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切（不含相切），则可求出直线的两个临界位置对应的的值.当直线与重合时，，当直线与半圆相切时，圆心到的距离3，即，解得或（舍去）.所以的取值范围是）.若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是.【答案】【分析】化简曲线

得：，求出直线过的定点，当直线与曲线相切时，直线斜率最小，斜率大于的斜率且小于或等于的斜率求解即可.【详解】如图：化简曲线

得：.曲线表示以C0,1为圆心，半径的圆的上半圆.∵直线可化为，直线经过定点且斜率为.又∵半圆与直线有两个交点，设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为，当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足.解之得，即又因为直线的斜率，所以直线的斜率的范围为.【巩固练习1】直线与半圆有两个交点，则的值是．【答案】【分析】根据题意作出图象，利用直线与圆的位置关系，结合图象，即可求解.【详解】由半圆，即，如图所示，当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：或(舍去)，当直线过点时，直线与圆有两个交点和，把代入中，可得，解得，则直线与圆有两个交点时，的范围是．故答案为：【巩固练习2】若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】作出曲线与直线的图象，考虑直线与曲线相切以及直线过点时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】由可知，整理可得，所以，曲线表示圆的上半圆，作出曲线与直线的图象如下图所示：当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则有，解得，当直线过点时，，.由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点.综上所述，实数的取值范围是.【巩固练习3】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由题可知曲线，表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，作出直线与半圆，利用数形结合即得．【详解】方程是恒过定点，斜率为的直线，曲线，即，表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，半圆弧端点在同一坐标系内作出直线与半圆)，如图，

当直线与半圆C相切时，得，且，解得，又，所以或，所以或．【题型13】三角换元求最值圆的参数方程已知实数，满足，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：设，为参数，，则，，，，，，．【巩固练习1】若x，y满足，则的最大值为________【答案】3【解析】设，因此，其中，所以当时，取到最大值3【巩固练习2】已知实数，满足方程．（1）求的最大值和最小值（2）求的最大值和最小值．【解答】解：（1）圆，圆心，半径为，，，的最大值是，最小值是．（2），的最大值为，最小值为．【题型14】圆的轨迹类最值问题求与圆有关轨迹方程的常用方法1．定义法当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．2．直译法直接将题目条件翻译成代数方程，求解轨迹方程．3．直接法当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．4．几何法利用图形的几何性质，确定等量关系，设点、列式，求解轨迹方程．5．代入法(或相关点法)当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是．【答案】【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得.【详解】设，则有，化简得，即点的轨迹方程是.已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为【答案】.【分析】取中点为，连接，，确定点的轨迹为以为直径的圆，根据得到答案.【详解】取中点为，连接，如图所示：则，又，，故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为，因为，，所以，即，则.已知与相交于点线段是圆的一条动弦，且则的范围为【答案】【分析】先求得点的轨迹，然后求得线段中点的轨迹，结合向量运算以及圆与圆的位置关系等知识求得正确答案.【详解】直线，即，直线过定点，且斜率存在.直线，即，直线过定点，直线与轴不平行.线段的中点为，，由于，所以，所以点的轨迹是以线段为直径的圆，即点的轨迹是圆（除点）.圆的圆心为，半径为，设是的中点，连接，则垂直平分，则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即点的轨迹是圆，，即圆（除点）上的点，与圆上的点的距离，，所以，即，所以.故答案为：【巩固练习1】（2425高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.【详解】设动点Mx,y，则，化简得，所以点的轨迹为圆，如图，过点作圆的切线，连接，则，，所以，同理，则直线的斜率范围为.故选：C.

【巩固练习2】已知定点，圆，M，N为上的动点，满足，则的取值范围为.【答案】【分析】根据垂径定理，可知弦MN的中点P满足，从而利用圆的定义求得点P的轨迹方程，再利用数量积的运算律得，从而利用点圆圆的位置关系求得，即可得解.【详解】

设MN的中点为P，则，所以，由圆的定义知，点P的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，其方程为，所以，又，点P在圆上运动，所以，所以.【巩固练习3】已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为；记M是CD的中点，则的最小值为.【答案】【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理.【详解】由题意设点，，，因为，是圆的切线，所以，，所以在以为直径的圆上，其圆的方程为:，又在圆上，将两个圆的方程作差得直线的方程为：，即，所以直线恒过定点，又因为，，，，四点共线，所以，即在以为直径的圆上，其圆心为，半径为，如图所示:所以，所以的最小值为.【题型15】点到直线距离公式为背景的最值问题对于这类式子，可以利用点到直线距离的几何意义，把问题转化为为到直线距离（2324·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（

）A．3 B．7 C． D．【答案】A【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可.【详解】化简可得，即在圆上，则表示为圆上点到直线距离的倍，圆心到直线距离为，则的最小值为.（2024·湖南岳阳·二模）已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，利用数形结合转化求解即可．【详解】因为，、，在圆上，，因为，则是等腰直角三角形，表示、到直线的距离之和的倍，原点到直线的距离为，如图所示：，，是的中点，作于，且，，，，当且仅当三点共线，且在的两侧时等号成立，又，故的最大值为的最大值为．故选：B．已知实数满足，，，则的最大值是.【答案】12【分析】根据几何知识，将问题转化为圆上的两点到直线的距离和最大问题，根据两个点形成的夹角结合圆的性质即可求出最大值.【详解】因为，，可设，且，可得在圆上，且，又因为，且为到直线的距离，所以所求最大值可看作是到直线的距离的和的最大值,可知在直线的下方，取的中点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，则为梯形的中位线，，又因为，则，且到直线的距离为，可得，所以，故的最大值为.故答案为：12.

.（2223高二上·四川南充·期中）对于圆上任意一点，的值与，无关，则的范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由点到直线距离公式知可表示点到直线与直线得距离之和的倍，若其值与，无关，则圆在平行线与之间，即，解不等式即可.【详解】由点到直线距离公式知点到直线与直线的距离分别为与，所以，即可表示点到直线与直线得距离之和的倍，若其值与，无关，则圆在平行线与之间，即平行线间距离，解得或【巩固练习1】（2324高三上·湖南长沙·开学考试）已知满足，则的最小值为.【答案】【分析】由题意，点的轨迹是圆，然后将问题转化为求圆上的点到直线距离的最小值，进而求出结果.【详解】由得，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，表示圆上的点到直线距离的倍，而圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以圆上的点到直线距离的最小值为，所以的最小值为.

【巩固练习2】点在曲线上，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.【详解】如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，，表示点到直线距离的5倍，点到直线的距离，即直线与圆相离，点到直线的距离，最小值为，最大值为，则的取值范围为.【巩固练习3】已知圆上两点，，O为坐标原点，若，则的最大值是（

）A．8 B． C． D．12【答案】D【分析】设的中点为，求出点的轨迹方程，根据点到直线的距离公式可得表示两点到直线的距离之和的倍，求出点到直线的距离的最大值，即可得解【详解】由圆上两点Ax1,y得，设的中点为，则，由，得，所以，所以点的轨迹是以为半径，为原点的圆，，表示两点到直线的距离之和的倍，因为为的中点，故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为，所以的最大值是.【巩固练习4】已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为