专题35不等式第四缉（解析版）-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编

1/2备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编1．【2015年山东预赛】已知x、y∈[0,+∞)且满足x3+y【答案】4【解析】由已知得x3又x2⇒x+y=1.故x2当x=23,y=132．【2015年江西预赛】满足1−x2≥x【答案】−1,【解析】令y=1−其与直线y=x交于点12,1因此，x∈−1,3．【2015年江西预赛】若实数x、y、z≥0，且x+y+z=30，3x+y−z=50，则【答案】120,130【解析】注意到，T=5x+4y+2z=x+y+z由4x+2y=x+y+z又20=3x+y−z−x+y+z因为x、z≥0，所以，故由x+y+z=30，知y+z≤20.于是，T=110+y+z≤130（当再由4x+2y=80，y≥0，知从而，y+z=30−x≥10.于是，T=110+y+zx≥120（当因此，120≤T≤130.4．【2015年江苏预赛】设实数满足，且，则的最大值为________.【答案】【解析】试题分析：由，且，即，也就是.分别以，轴为横轴和纵轴，那么方程所表示的曲线为焦点在纵轴上的双曲线位于第一象限的部分双曲线弧，（包括纵轴上的点），令则.由线性规划知识可知，当经过点时，，.考点：双曲线方程，线性规划的综合使用．【方法点晴】本题主要考查的是解析几何中双曲线的方程，特别是由限制条件下得出图形为双曲线的一部分而不是整个双曲线．设为一个整体，巧妙得转化到线性规划的方法利用平行线与双曲线弧的位置关系来确定最大值，也可以用换元的方法来完成该题.在画图时要注意图形的准确性，不同直线的倾斜程度要表达出来．5．【2015年河南预赛】已知正实数满足，则的最小值为___________．【答案】【解析】试题分析:因为,故应填答案.考点：基本不等式及灵活运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知变形为,然后再运用基本不等式最后达到获解之目的.6．【2015年甘肃预赛】已知a、b为两个互相垂直的单位向量,且c⋅a=c⋅b=1.则对任意的正实数t,c+ta+1【答案】2【解析】设c=λa+μb.则：c⋅a=λac⋅b=λa⋅b+u|b|于是,c=a+b故c2又c+ta+=c=2+t≥2+1从而,c+ta+1tb因此,所求最小值为227．【2015年甘肃预赛】设x、y为正实数,且x+y=1.则【答案】1【解析】由柯西不等式得x2当且仅当x2x+2x+28．【2015年福建预赛】已知实数x、y、z满足【答案】−12【解析】由柯西不等式知x+2y+3z2于是，x+2y+3z≥−12，当且仅当x=y=z=−2时等号成立.故x+2y+3z的最小值为−12.9．【2021年吉林预赛】设实数x,y满足不等式组x−y⩽04x−y⩾0x+y⩽3,则z=x+2y−1xA.776 B.5615 C.236【答案】D【解析】z=x+2y−1当且仅当x=1,y=2选D.10．【2021年吉林预赛】方程组(x+y−1)x−1=0x2+A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意得:x−1=0,x2+y2有三组解(1,1),(1,−1),62选C.11．【2019年吉林预赛】若x、y满足|y|⩽2−x,且x≥−1,则2x+y的最小值为()A.−7 B.−5 C.1 D.4【答案】B【解析】原题条件等价于:−1⩽x⩽2y⩽2−x12．【2024年吉林预赛】已知实数a,b满足a>0,b>0,a≠1,b≠1，且x=aA．存在实数a,b，使得x>y>z>wB．存在a≠b，使得x=y=z=wC．任意符合条件的实数a,b都有x=yD．x,y,z,w中至少有两个大于1【答案】CD【解析】因为lgx=lgalgb=lgblga,lgy=lgalgb，所以lgx=lgy，从而对任意符合条件的实数a,b都有x=y，所以选项A不正确，选项C正确；又若x=z，即algb13．【2024年吉林预赛】设x>0，y>0，A．0,3 B．1,3 C．0,4【答案】D【解析】由已知y=xx−1，所以因为x＞1，即0<1x<1，所以3故答案为：D14．【2024年天津预赛】实数a,b满足a≤1,a+(A)0,94 (B)−2,94 【答案】B【解析】提示：令t=a+b,则t≤1,且a+1b当t=1时,原式成为a+12当t=−1时,原式成为a+1−因此,所求的取值范围是−215．【2024年辽宁预赛】已知正数a,b,c,d满足a+(A)116 (B)8 (C)15 【答案】D【解析】提示：由平均值不等式及题设条件知2cd≤即cd≤18当且仅当c=由①可得1a+1又由条件和柯西不等式可得1a+8当且仅当b=结合条件便知此时a=由②③得1a+1bcd≥16．【2024年陕西预赛】设x≥y>0,若存在实数a、b满足0≤a≤(A)233 (B)2 (C)62【答案】A【解析】提示：如图,在直角坐标系xOy中,作矩形OABC,使Ax在边OA、AB上分别取点P,Q,使则由x−a2+y设∠OCP=所以xy当且仅当θ=故xy的最大值为217．【2024年黑龙江预赛】如果实数x,y满足x−4y+3≤0,(A)2 (B)−2 (C)15 【答案】A【解析】提示:由直线方程联立方程组易得A1将k=2代入,过B的截距Z=3,过C的截距18．【2024年陕西预赛】在平面直角坐标系中，不等式组{3A．32B．3C．2D．【答案】B【解析】由不等式组绘制可行域如图所示，则A(−2,0),B(1,3不等式组表示的平面区域的面积是S=1本题选择B选项.19．【2024年陕西预赛】设非负实数a、b、c满足ab+be+ca=a+b+c>0.则ab+A．2B．3C．3D．22【答案】A【解析】不妨设a≥b≥c.由均值不等式得(当且仅当c=0且a=b时，上式等号成立.又ab+bc+ca=a+b+c>0，则ab+由c=0，a=b，ab+bc+ca=a+b+c，得a=b=2.故当a、b、c中有两个为2、一个为0时，ab+20．【2024年天津预赛】设0<a<b.已知a、s、t、b依次成等差数列,a、u、v、b依次成等比数列记x=sts+tA．x>yB．x=yC．x<yD．既有x>y的情形,也有x<y的情形【答案】A【解析】设公比q>1.则b=aqs=2a+bt=a+2b由a1+⇒s+t=a+b>u+v，由2+2=2故sts+t21．【2024年浙江预赛】已知a、b∈R，函数fx=ax−b。若对于任意的x∈−1,1A．−12,0B．−4【答案】D【解析】由题意得0≤f1≤10≤f−1≤1⇔0≤a−b≤122．【2015年浙江预赛】若实数a、b满足A．1B．54C．7【答案】C【解析】由a、b满足的条件知故a+2b2a+b当a,b=23．【2015年湖南预赛】使关于x的不等式x−3+6−x≥kA．6−3B．3C．6【答案】D【解析】令y=x−3+⇒0<y≤6.从而，实数k的最大值为624．【20