高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第4讲两条直线的位置关系(知识点串讲)特训（学生版+解析）

第四讲两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．2．两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C．3．两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0．例1．(P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝____________．练习．(2019·山东滨州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于()A．2 B．－3C．2或－3 D．－2或－34．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．例2．(2019·山东济宁月考)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____________．练习．当0<k<eq\f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．三种距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|d＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))例3．(2019·山东蒙阴月考)已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为eq\r(5)，则直线l1的方程为________________．[变式探究]将题2改为“已知直线l过点P(3，－4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________.”练习.(P110B组T2改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋16．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．例4．求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为____________________.7.对称问题在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．例5.(2019·福建厦门月考)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．练习.(2019·山东德州月考)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0练习.(2019·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)第四讲两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．2．两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C．3．两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0．例1．(P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝____________．【答案】1[由题意知eq\f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.]练习．(2019·山东滨州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于()A．2 B．－3C．2或－3 D．－2或－3【答案】C[直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2)，故m＝2或－3.]4．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．例2．(2019·山东济宁月考)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____________．【答案】－9[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x,x＋y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))，即交点坐标为(1,2)．又三线共点，∴m＋2×2＋5＝0，m＝－9.]练习．当0<k<eq\f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1).))又∵0<k<eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(k,k－1)<0，y＝eq\f(2k－1,k－1)>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．]5．三种距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|d＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))例3．(2019·山东蒙阴月考)已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为eq\r(5)，则直线l1的方程为________________．【答案】2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0[∵l1∥l2，∴eq\f(m,2)＝eq\f(8,m)≠eq\f(n,－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴eq\f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－22或18．故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0．(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为4x－8y－2＝0，∴eq\f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－18或22．故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.][变式探究]将题2改为“已知直线l过点P(3，－4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________.”【答案】2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0[显然直线l斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq\f(2,3)．∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.]练习.(P110B组T2改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1【答案】C[由题意得eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.解得a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2).∵a>0，∴a＝－1＋eq\r(2).]6．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．例4．求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为____________________.【答案】x＋2y－7＝0[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7．∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.]7.对称问题在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．例5.(2019·福建厦门月考)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．【答案】x＋4y－4＝0[设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]练习.(2019·山东德州月考)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0A[设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.]练习.(2019·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)C[设A(－4