高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题18不等式选讲特训(原卷版+解析)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题18不等式选讲真题汇总命题趋势真题汇总命题趋势1．【2022年全国甲卷理科23】已知a，b，c均为正数，且a2(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a2．【2022年全国乙卷理科23】已知a，b，c都是正数，且a3(1)abc≤1(2)ab+c3．【2021年全国甲卷理科23】已知函数f(x)=|x−2|,g(x)=|2x+3|−|2x−1|．（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围．4．【2021年全国乙卷理科23】已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集;（2）若f(x)>−a，求a的取值范围．5．【2020年全国1卷理科23】已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．（1）画出y=f(x)的图像；（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．6．【2020年全国2卷理科23】已知函数f(x)=x−（1）当a=2时，求不等式f(x)⩾4的解集；（2）若f(x)⩾4，求a的取值范围.7．【2020年全国3卷理科23】设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥348．【2019年新课标3理科23】设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或9．【2019年全国新课标2理科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．10．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）1a+1b+1c≤a（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．11．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．12．【2018年新课标2理科23】设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．13．【2018年新课标3理科23】设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．14．【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．15．【2017年新课标2理科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．16．【2017年新课标3理科23】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．17．【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．18．【2016年新课标2理科24】已知函数f（x）＝|x−12|+|x+12|，M为不等式（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．19．【2016年新课标3理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．20．【2015年新课标2理科24】设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则a+（2）a+b＞c+d是|a﹣21．【2014年新课标1理科24】若a＞0，b＞0，且1a（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．22．【2014年新课标2理科24】设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．23．【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）≤g（x24．【2013年新课标2理科24】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ca≤（Ⅱ）a2模拟好题模拟好题1．已知函数f(1)当a=4时，求不等式fx(2)若fx≥a2−2．已知正数a，b，c满足a3(1)求证：0<abc≤1；(2)求证：1ab3．已知函数f(x)=|x+1|+|x−2|．(1)解不等式f(x)>6；(2)若关于x的不等式f(x)≥x2+m在0,44．已知fx=x−4(1)求实数m值；(2)若a+b+c=m3−35．已知fx=x−2(1)求m的值；(2)若正实数a,b,c满足a+b+c=m，证明：a26．已知a，b，c均为正实数，且abc=1．证明：(1)a3(2)b67．已知fx(1)若m=2，求fx(2)若a>0，b>0，c>0，abc=1，对于∀x∈R，a+b2+a+c8．已知函数fx(1)当m=2,a=1，求不等式fx(2)当m=1时，证明：fx9．已知函数fx=x+2−m，(1)求m的值；(2)设a，b，c为正数，且a+b+c=m，求3a+1+10．已知函数fx(1)当m=3时，求不等式fx(2)若fx⩾4恒成立，求实数11．已知函数fx(1)求不等式fx(2)若方程kx=f(x)存在非零实数根，求实数12．已知函数fx(1)当a=−1时，求不等式fx(2)当x∈1,2时，fx≥013．已知函数fx(1)当a=−1时，求不等式fx(2)若关于x的不等式fx−x−214．已知函数f(x)=|x−1|−2|x−3|．(1)求不等式f(x)≥−2的解集；(2)若存在x，使不等式a2−a<f(x)+|x−3|成立，求实数15．已知函数fx=x−2(1)求k的最大值k0(2)设a>0，b>0，求证：aa+2b16．已知函数f(1)当a=2时，解不等式fx(2)若不等式f(x)<|x−4|对任意x∈0,217．已知函数fx（1）解不等式fx（2）若关于x的不等式fx+3x+118．已知f(x)=x+（1）解不等式f(x)≤7（2）令f(x)的最小值为M，正数a，b满足a+2b=M，求证：a219．已知函数f(x)=x+1（Ⅰ）解不等式f(x)≤2x+2；（Ⅱ）设函数f(x)的最小值为t，若a>0,b>0，且a+b=t，证明：a220．已知函数fx（1）求不等式fx≤4x+7的最小整数解（2）在（1）的条件下，对任意a，b∈−m,+∞，若a+b=4，求W=大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题18不等式选讲真题汇总命题趋势真题汇总命题趋势1．【2022年全国甲卷理科23】已知a，b，c均为正数，且a2(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：由柯西不等式有a2所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+b+2c≤3；(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c由权方和不等式知1a当且仅当1a=24c，即所以1a2．【2022年全国乙卷理科23】已知a，b，c都是正数，且a3(1)abc≤1(2)ab+c【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b所以a3即abc12≤13，所以abc≤(2)证明：因为a>0，b>0，c>0，所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，所以ab+c≤a2a当且仅当a=b=c时取等号．3．【2021年全国甲卷理科23】已知函数f(x)=|x−2|,g(x)=|2x+3|−|2x−1|．（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）a≥（1）可得f(x)=|x−2|={2−x,x<2g(x)=|2x+3|−|2x−1|={−4,x<−（2）f(x+a)=|x+a−2|，如图，在同一个坐标系里画出f(x),g(x)图像，y=f(x+a)是y=f(x)平移了|a|个单位得到，则要使f(x+a)≥g(x)，需将y=f(x)向左平移，即a>0，当y=f(x+a)过A(12,4)时，|12则数形结合可得需至少将y=f(x)向左平移112个单位，∴a≥4．【2021年全国乙卷理科23】已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集;（2）若f(x)>−a，求a的取值范围．【答案】（1）(−∞,−4]∪[2,+∞).（2）(−3（1）当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+3|，|x−1|+|x+3|表示数轴上的点到1和−3的距离之和，则f(x)≥6表示数轴上的点到1和−3的距离之和不小于6，当x=−4或x=2时所对应的数轴上的点到1，−3所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到1，−3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x≤−4或x≥2，所以f(x)≥6的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞).（2）依题意f(x)>−a，即|x−a|+|x+3|>−a恒成立，|x−a|+|x+3|=|a−x|+|x+3|≥|a+3|，当且仅当(a−x)(x+3)≥0时取等号，∴f(x)故|a+3|>−a，所以a+3>−a或a+3<a，解得a>−3所以a的取值范围是(−35．【2020年全国1卷理科23】已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．（1）画出y=f(x)的图像；（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．【答案】（1）详解解析；（2）−∞,−7【解析】（1）因为fx=（2）将函数fx的图象向左平移1个单位，可得函数f由−x−3=5x+1−1，解得所以不等式的解集为−∞,−76．【2020年全国2卷理科23】已知函数f(x)=x−（1）当a=2时，求不等式f(x)⩾4的解集；（2）若f(x)⩾4，求a的取值范围.【答案】（1）xx≤32或x≥112【解析】（1）当a=2时，fx当x≤3时，fx=4−x+3−x=7−2x≥4，解得：当3<x<4时，fx当x≥4时，fx=x−4+x−3=2x−7≥4，解得：综上所述：fx≥4的解集为xx≤（2）fx=x−∴a−12≥4，解得：a≤−1∴a的取值范围为−∞,−1∪7．【2020年全国3卷理科23】设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1）∵(a+b+c)∴ab+bc+ca=−1∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b（2）不妨设max{a,b,c}=a由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0，∵a=−b−c,a=1bc，当且仅当b=c时，取等号，∴a≥34，即8．【2019年新课标3理科23】设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或【答案】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1，由柯西不等式可得（12+12+12）[（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x﹣1+y+1+z+1）2＝4，可得（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2≥4即有（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为43（2）证明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）2＝（a+2）2，可得（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥(a+2即有（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2的最小值为(a+2)由题意可得(a+2)解得a≥﹣1或a≤﹣3．9．【2019年全国新课标2理科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，∴a的取值范围为：[1，+∞）10．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）1a+1b+1c≤a（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【答案】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．要证（1）1a+1b+1c≤a2+就要证：abca+abcb+abcc≤a即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故1a+1b+1c≤a（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2ab；（b+c）≥2bc；（c+a）≥2ac；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8ab•bc•ac=24abc当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．11．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|=2，x＞1由f（x）＞1，∴2x＞1−1≤x≤1或2＞1解得x＞1故不等式f（x）＞1的解集为（12（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜2∴a＜∵2x∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．12．【2018年新课标2理科23】设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4，x≤−1当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．13．【2018年新课标3理科23】设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【答案】解：（1）当x≤−12时，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x当−12＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x当x≥1时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，则f（x）=−3x，画出y＝f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，当x＝0时，f（0）＝2≤0•a+b，∴b≥2，当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线y＝ax+b的下方或在直线上，∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5．14．【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=1g（x）＝|x+1|+|x﹣1|=2x，x＞1当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x=17−12，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，17−1（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需12−a⋅1−2≤0(−1)故a的取值范围是[﹣1，1]．15．【2017年新课标2理科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．【答案】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（a⋅a5+b⋅b5）2＝（当且仅当ab5=ba（2）∵a3+b3＝2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴(a+b)3由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab∴（a+b）3﹣2≤3(a+b∴14（a+b）3∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．16．【2017年新课标3理科23】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|=−3，x＜−12x−1，−1≤x≤23，x＞2，f∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=−x当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=1∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=32∴g（x）≤g（32）=−9当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=1∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g（x）max=5∴m的取值范围为（﹣∞，5417．【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x−4，x≤−1由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜32时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x即有﹣1＜x＜13或1＜x当x≥32时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或3综上可得，x＜13或1＜x＜3或则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，1318．【2016年新课标2理科24】已知函数f（x）＝|x−12|+|x+12|，M为不等式（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【答案】解：（I）当x＜−12时，不等式f（x）＜2可化为：12−解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜−当−12≤x≤12时，不等式f（x）＜2可化为：1此时不等式恒成立，∴−12≤当x＞12时，不等式f（x）＜2可化为：−12+解得：x＜1，∴12＜综上可得：M＝（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．19．【2016年新课标3理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【答案】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x−12|+2|x−a|x−12|+|x−a当a≥3时，成立，当a＜3时，|x−12|+|x−a2|≥1∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．20．【2015年新课标2理科24】设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：（1）若ab＞cd，则a+（2）a+b＞c+d是|a﹣【答案】证明：（1）由于（a+b）2＝a+b+2（c+d）2＝c+d+2由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，则ab＞即有（a+b）2＞（c+则a+（2）①若a+b＞c+d，则（a+即为a+b+2ab＞c+d+2cd由a+b＝c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b＝c+d，则ab＞cd，则有（a+b）2＞（c+综上可得，a+b＞c+d是|a﹣21．【2014年新课标1理科24】若a＞0，b＞0，且1a（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且1a∴ab=1a+1当且仅当a＝b=2∵a3+b3≥2(ab)3≥223=42，当且仅当a∴a3+b3的最小值为42．（Ⅱ）∵2a+3b≥22a⋅3b=26ab，当且仅当2a而由（1）可知，26ab≥212=4故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．22．【2014年新课标2理科24】设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|≥|（x+1a）﹣（x﹣a）|＝|a+1a故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+1a|+|3﹣∴当a＞3时，不等式即a+1a＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+1a＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得综上可得，a的取值范围（1+52，23．【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）≤g（x【答案】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=−5x，x＜结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a故x≥a﹣2对x∈[−a2，故−a2解得a≤4故a的取值范围为（﹣1，4324．【2013年新课标2理科24】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ca≤（Ⅱ）a2【答案】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤1（Ⅱ）因为a2b+b≥2a，b2c+c≥2b故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+所以a2模拟好题模拟好题1．已知函数f(1)当a=4时，求不等式fx(2)若fx≥a2−【答案】(1)（-3，1）(2)−1≤a≤2【解析】(1)当a=4时，f(x)<6化为2x+4当x<−2时，不等式化为−2x−4−x−1<6，解得当−2≤x≤1时，不等式化为2x+4−x−1<6，解得当x>1时，不等式化为2x+4+x−1<6，无解，综上所述：当a=4时，不等式f(x)<6的解集为（—3，1）(2)由fx≥a因为|2x+a|+|2x−2|≥|2x+a−2x−2|=|a+2|（当且仅当2x+a2x−2≤0时，等号成立），又因为当a+2≤0，即a≤−2时，有a2≤−a−2，即当a+2>0，即a>−2时，有a2≤a+2，田a综上所述：a的取值范围为−1≤a≤2..2．已知正数a，b，c满足a3(1)求证：0<abc≤1；(2)求证：1ab【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析.【解析】(1)证明：∵a3当且仅当a=b=c时，等号成立，设abc=x，∴a3即3x2+x−4≤0∵a，b，c为正数，∴abc>0，∴0<abc≤1.(2)∵1由（1）可得，0<abc≤1,∴a+b+c∴(1ab+∵a2+b∴(1ab+3．已知函数f(x)=|x+1|+|x−2|．(1)解不等式f(x)>6；(2)若关于x的不等式f(x)≥x2+m在0,4【答案】(1)−(2)(−【解析】(1)由|x+1|+|x−2|>6得x<−1,−x−1−x+2>6或−1≤x≤2,x+1−x+2>6解得x<−52或x∈∅或x>72，(2)由题意知，当x∈[0,4]时，|x+1|+∣x−2|≥x若0≤x<2，则x+1+2−x≥x2+m此时，−1<−x2+3≤3若2≤x≤4，则x+1+x−2≥x2+m，即m≤−x2+2x−1恒成立，此时，−x综上所述，m的取值范围是(−∞4．已知fx=x−4(1)求实数m值；(2)若a+b+c=m3−3【答案】(1)m=3(2)证明见解析【解析】(1)由题意，函数fx当x<−1时，可得fx=4−x−2x−2+x−1=1−2x，可得当−1≤x<1时，可得fx=4−x+2x+2+x−1=5+2x，可得当1≤x<4时，可得fx=4−x+2x+2+1−x=7，可得当x≥4时，可得fx=x−4+2x+2+1−x=2x−1，可得所以函数fx的最小值为3(2)解：由m=3，可得a+b+c=m所以4=a+b+c当且仅当a=b=c=−23时取等号，所以5．已知fx=x−2(1)求m的值；(2)若正实数a,b,c满足a+b+c=m，证明：a2【答案】(1)5(2)证明见解析【解析】(1)fx=当且仅当−12(2)∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=5a2∴a2+2b26．已知a，b，c均为正实数，且abc=1．证明：(1)a3(2)b6【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)∵a，b，c都为正整数，且abc=1．∴a3当且仅当a=b=c=1时“=”成立．(2)法一：由题意得b①+②+③，得b6当且仅当a=b=c=1时“=”成立．法二：由Cauchy不等式，得b6令t=a则b6令gt=t+3+9t+3−6∴gt≥37．已知fx(1)若m=2，求fx(2)若a>0，b>0，c>0，abc=1，对于∀x∈R，a+b2+a+c【答案】(1)x(2)−16,8【解析】(1)若m=2，则fx当x≥2，x+4−当−4<x<2时，x+4−2−x<2当x≤−4时−x−4−2−x=−6<2综上所述：m=2时，fx<m的解集为(2)由a+b2+a+c又因为abc=1，所以4ab+ac+bc当且仅当a=b=c，ab=bc=ac时，即a=b=c=1等号成立，所以a+b2+a+c因为∀x∈R，a+b2即fx当且仅当x+4x−m≥0时等号成立，解得故实数m的取值范围为−16,8.8．已知函数fx(1)当m=2,a=1，求不等式fx(2)当m=1时，证明：fx【答案】(1)−(2)证明见解析【解析】(1)当m=2,a=1时，f(x)=|x+4|+2|x−1|=3x+2,x≥1当x≥1时，fx≤15化为3x+2≤15，解得当−4<x<1时，fx≤15化为6−x≤15，解得当x≤−4时，fx≤15化为−3x−2≤15，解得所以fx≤15的解集为(2)当m=1时，f当且仅当x+4a与x−1a异号，且4a=9．已知函数fx=x+2−m，(1)求m的值；(2)设a，b，c为正数，且a+b+c=m，求3a+1+【答案】(1)1(2)3【解析】(1)由fx≤0，得x+2≤m又fx≤0的解集为所以−m−2=−3m−2=−1，解得m=1(2)由（1）知a+b+c=1由柯西不等式得(3a+1所以(3a+1所以3a+1+当且仅当3a+1=3b+1=故3a+1=3b+1=10．已知函数fx(1)当m=3时，求不等式fx(2)若fx⩾4恒成立，求实数【答案】(1){x∣x⩽1或x⩾6}(2)−【解析】(1)解：当m=3时，fx当x≤52时，令14−4x≥10，解得当52<x<9当x≥92时，令4x−14≥10，解得因此，不等式fx≥10的解集为{x|x≤1或(2)解：因为fx⩾4恒成立，所以因为f当且仅当2m−1≤x≤m所以(m−1)2⩾4，解得m⩾3或所以实数m的取值范围是−∞11．已知函数fx(1)求不等式fx(2)若方程kx=f(x)存在非零实数根，求实数【答案】(1)(−(2)[−4,2)∪(2,4]【解析】(1)由题意f(x)={−2x+6又f(x)≥14，所以{x≤−3−2x+6≥14或{解得x≤−4或x≥10，即不等式f(x)≥14的解集为(−∞(2)由题得方程k|x|=3|x−1|−|x+3|存在非零实数根．所以k=3|x−1|−|x+3|又||3当且仅当(3x−3)(3x又3x≠0，则所以−4≤|3x−3|−|所以−4≤k≤4且k≠2，综上，实数k的取值范围是[−4,2)∪(2,4]．12．已知函数fx(1)当a=−1时，求不等式fx(2)当x∈1,2时，fx≥0【答案】(1)−(2)−【解析】(1)当a=−1时，fx当x≤−12时，fx=−2x−1+2−x=−3x+1<8，解得：当−12<x<2时，fx=2x+1+2−x=x+3<8当x≥2时，fx=2x+1+x−2=3x−1<8，解得：x<3，综上所述：不等式fx<8的解集为(2)当x∈1,2时，fx=①当2x−a≥0时，2x−a≥a2−x，即a+2∴2−a≥0a+2−3a≥0−a+4≥0②当2x−a<0时，a−2x≥a2−x，即a−2∴a>4a−2−a≥02综上所述：实数a的取值范围为−∞13．已知函数fx(1)当a=−1时，求不等式fx(2)若关于x的不等式fx−x−2【答案】(1)7(2)−【解析】(1)由题意得，2x−3+当x<32时，不等式化为3−2x+6−3x<2.解得x>75当32≤x≤2时，不等式化为2x−3+6−3x<2.解得x>1，∴当x>2时，不等式化为2x−3+3x−6<2，解得x<115，∴综上，不等式fx<2的解集为(2)由题意得，a2∵2x−3+2x−4≥2x−3解得：a≤−1或a≥3，即a的取值范围是−∞14．已知函数f(x)=|x−1|−2|x−3|．(1)求不等式f(x)≥−2的解集；(2)若存在x，使不等式a2−a<f(x)+|x−3|成立，求实数【答案】(1)5(2)(−1,2)【解析】(1)f(x)=x−5由f(x)≥−2可得x<1时无解，1≤x≤3时，解得：53x>3时，解得3<x≤7，综上，解集为53(2)由已知：存在x，使不等式a2即a2又∵|x−1|−|x−3|≤|(x−1)−(x−3)|=2（当且仅当x≥3时取“=”号），∴a2−a<2，∴∴实数a的取值范围为(−1,2)．15．已