人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题21.13一元二次方程单元测试(能力过关卷)特训(原卷版+解析)

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.13一元二次方程单元测试（能力过关卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•八步区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+y＝0 B．x3﹣3x+1＝0 C．3x2＝0 D．2．（2021秋•龙沙区期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20223．（2021秋•宛城区期中）将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（）A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x4．（2021秋•津南区期中）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≤﹣15．（2021秋•武江区校级期末）为创建全国文明城市，某市2019年投入城市文化打造费用2500万元，预计2021年投入3600万元．设这两年投入城市文化打造费用的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）2＝3600 C．2500（1+x%）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝36006．（2021•平南县三模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥﹣3 B．a≠1 C．a＞﹣3且a≠1 D．a≥﹣3且a≠17．（2022•江州区模拟）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2 C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝828．（2020秋•大石桥市期末）不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值（）A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数9．（2022•桥西区校级模拟）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（）A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm310．（2022春•淄川区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+＝0有两个不相等的实数根．12．（2021秋•密山市校级期末）以﹣2为一根且二次项次数是1的一元二次方程可写为（写一个即可）．13．（2020秋•荥阳市校级月考）若关于x的方程（m﹣1）x﹣x＝1是一元二次方程，则m＝．14．（2022•秦淮区二模）写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2：．15．（2020秋•红谷滩区校级期末）已知x＝a是方程x2﹣2x﹣7＝0的根，则代数式2a2﹣4a+1的值为．16．（2020春•莱西市期中）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m+1和2m﹣13，则＝．17．（2022•山西模拟）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．若设剪去的正方形的边长为xcm，则根据题意可列方程．18．（2022•仙居县二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），此方程的解为x1＝2，x2＝3．则关于x的一元二次方程9ax2﹣3bx+c＝0的解为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•萧山区月考）解方程：（1）2x2＝8x；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．20．（2022•零陵区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）当k＝3时，求一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解；（2）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．21．（2022•南京二模）已知关于x的方程x2+2mx+n＝0（m、n是常数）有两个相等的实数根．（1）求证：m2＝n；（2）求证：m+n≥﹣．22．（2022•丰南区一模）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染．（1）若■是﹣2，化简A+B；（2）若x＝2时，A+B的值为18．①说明原题中■是几？②若再添加一个常数a，使A+B+a的值不为负数，求a的最小值．23．（2022•东莞市校级二模）国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，2019年有耕地7200亩，经过改造后，2021年有耕地8712亩．（1）求该村耕地两年平均增长率；（2）按照（1）中平均增长率，求2022年该村耕地拥有量．24．（2022•开州区模拟）“绿化校园，书香开州”，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共100棵，其中梧桐树苗每棵40元，杉树苗每棵35元，经预算，此次购买两种树苗一共至少需要3800元．（1）计划购买梧桐树苗最少是多少棵？（2）在实际购买中，因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于10元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低1元，梧桐树苗的销售量会增加2棵，杉树苗的销售量会增加3棵．若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了300元，则两种树苗都降低多少元？【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.13一元二次方程单元测试（能力过关卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•八步区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+y＝0 B．x3﹣3x+1＝0 C．3x2＝0 D．【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解析】A．该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．该方程未知数的最高次数是3次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；D．该方程未知数的最高次数不是2次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2．（2021秋•龙沙区期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2020的值．【解析】∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．故选：C．3．（2021秋•宛城区期中）将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（）A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x【分析】首先移项，把7x﹣3移到等号右边，然后再确定一次项系数即可．【解析】由7x﹣3＝2x2，得2x2﹣7x+3＝0，所以一次项系数是﹣7，故选：B．4．（2021秋•津南区期中）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≤﹣1【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，然后解关于m的不等式即可．【解析】根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，解得m≤1，故选：C．5．（2021秋•武江区校级期末）为创建全国文明城市，某市2019年投入城市文化打造费用2500万元，预计2021年投入3600万元．设这两年投入城市文化打造费用的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）2＝3600 C．2500（1+x%）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600【分析】设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据“2021年投入3600万元”可得出方程．【解析】依题意得2021年的投入为2500（1+x）2，∴2500（1+x）2＝3600．故选：B．6．（2021•平南县三模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥﹣3 B．a≠1 C．a＞﹣3且a≠1 D．a≥﹣3且a≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解析】根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，解得a≥﹣3且a≠1．故选：D．7．（2022•江州区模拟）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2 C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【解析】设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，故选：C．8．（2020秋•大石桥市期末）不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值（）A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数【分析】通过配方可把代数式x2+y2+2y﹣4x+6变形为（x﹣2）2+（y+1）2+1，由非负数的知识可知该代数式的值总不小于1．【解析】∵x2+y2+2y﹣4x+6＝（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，又∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x2+y2+2y﹣4x+6≥1，即代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值总不小于1．故选：A．9．（2022•桥西区校级模拟）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（）A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm3【分析】设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为长（40﹣2x）cm的正方形，根据该无盖盒子的底面积为900cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用盒子的容积＝该无盖盒子的底面积×盒子的高，即可求出结论．【解析】设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为长（40﹣2x）cm的正方形，依题意得：（40﹣2x）2＝900，解得：x1＝5，x2＝35（不合题意，舍去），∴盒子的容积为900×5＝4500（cm3）．故选：C．10．（2022春•淄川区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【解析】①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．二．填空题（共8小题）11．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+0（答案不唯一）＝0有两个不相等的实数根．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．【解析】a＝1，b＝﹣2．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，∴c＜1．故答案为：0（答案不唯一）．12．（2021秋•密山市校级期末）以﹣2为一根且二次项次数是1的一元二次方程可写为x2+4x+4＝0（答案不唯一）（写一个即可）．【分析】根据要求二次项系数为1，有一个因式（x+2），另一个因式不定，方程是开放型，另一个根任选即可．【解析】∵一元二次方程的二次项系数为1，且一个根为﹣2∴方程为（x+2）（x+m）＝0，令m＝2，则方程为（x+2）（x+2）＝0，即x2+4x+4＝0．故答案为：x2+4x+4＝0（答案不唯一）．13．（2020秋•荥阳市校级月考）若关于x的方程（m﹣1）x﹣x＝1是一元二次方程，则m＝﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m2+1＝2，且m﹣1≠0，继而即可得出m的值．【解析】根据题意，得：m﹣1≠0且m2+1＝2，解得m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．（2022•秦淮区二模）写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2：x2﹣4x+2＝0．【分析】设此一元二次方程为x2+px+q＝0，根据两根之和是4，两根之积是2，求出p、q的值即可．【解析】设此一元二次方程为x2+px+q＝0，∵它的两根之和是4，两根之积是2，∴﹣p＝4，q＝2，∴p＝﹣4，∴这个方程为：x2﹣4x+2＝0．故答案为：x2﹣4x+2＝0．15．（2020秋•红谷滩区校级期末）已知x＝a是方程x2﹣2x﹣7＝0的根，则代数式2a2﹣4a+1的值为15．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2﹣2a）的值，然后整体代入即可求解．【解析】根据题意，得a2﹣2a﹣7＝0，解得，a2﹣2a＝7，所以2a2﹣4a+1＝2（a2﹣2a）+1＝14+1＝15．故答案是：15．16．（2020春•莱西市期中）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m+1和2m﹣13，则＝25．【分析】方程变形后，利用平方根的定义得到两根互为相反数，即可求出m的值，由此求得原方程的两个根，结合根与系数的关系来求的值．【解析】∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13，∴m+1+2m﹣13＝0，解得：m＝4，即方程的根是5与﹣5，∴＝25．故答案为：25．17．（2022•山西模拟）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．若设剪去的正方形的边长为xcm，则根据题意可列方程（3﹣x）（5﹣2x）＝6．【分析】根据底面矩形的面积公式可得答案．【解析】设剪去的正方形的边长为xcm．则列出的方程是（3﹣x）（5﹣2x）＝6，故答案为：（3﹣x）（5﹣2x）＝6．18．（2022•仙居县二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），此方程的解为x1＝2，x2＝3．则关于x的一元二次方程9ax2﹣3bx+c＝0的解为x1＝，x2＝1．【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，且a≠0）的解是x1＝2，x2＝3，从而求得3x，然后求得x的值即可．【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，且a≠0）的解是x1＝2，x2＝3，∴方程9ax2﹣3bx+c＝0中3x＝2或3x＝3，解得：x1＝，x2＝1．故答案为：x1＝，x2＝1．三．解答题（共6小题）19．（2022春•萧山区月考）解方程：（1）2x2＝8x；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．【分析】（1）直接利用提取公因式法分解因式，进而解方程得出答案；（2）直接利用公式法解方程得出答案．【解析】（1）2x2＝8x，则2x（x﹣4）＝0，故2x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4；（2）3x2﹣4x﹣2＝0，则△＝b2﹣4ac＝16﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，故x＝＝，解得：x1＝，x2＝．20．（2022•零陵区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）当k＝3时，求一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解；（2）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．【分析】（1）把k＝3代入方程得到x2﹣4x+3＝0，解方程即可得到结论；（2）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ＞0即可．Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，因为（k﹣3）2≥0，可以得到Δ＞0．【解答】（1）解：当k＝3时，方程可化为x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3；（2）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，而（k﹣3）2≥0，∴Δ＞0．∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根．21．（2022•南京二模）已知关于x的方程x2+2mx+n＝0（m、n是常数）有两个相等的实数根．（1）求证：m2＝n；（2）求证：m+n≥﹣．【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4n＝0，然后整理得到结论；（2）利用（1）中结论用m表示n，再进行配方得到m+n＝（m+）2﹣，然后利用非负数的性质得到结论．【解答】证明：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4n＝0，∴4m2﹣4n＝0，∴m2＝n；（3）把n＝m2代入m+n得m+n＝m+m2，∵m+m2＝m2+m+﹣＝（m+）2﹣，而（m+）2≥0，∴m+n≥﹣．22．（2022•丰南区一模）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染．（1）若■是﹣2，化简A+B；（2）若x＝2时，A+B的值为18．①说明原题中■是几？②若再添加一个常数a，使A+B+a的值不为负数，求a的最小值．【分析】（1）把﹣2代入确定出B，将A与B代入A+B中，去括号合并即可得到结果；（2）①设■＝m，表示出A+B，根据A+B＝18求出m的值即可；②根据题意得到A+B+a≥0，将A+B＝18代入求出a的范围，进而确定出a的最小值即可．【解析】（1）∵A＝x2+2x，B＝﹣2x+2，∴A+B＝x2+2x+（﹣2x+2）＝x2+2x﹣2x+2＝x2+2；（2）①设■＝m，依题意得，22+2×2+2m+2＝18，解得：m＝4；②∵A+B＝18，∴A+B+a的值不为负数时，有A+B+a≥0，∴18+a≥