人教版九年级数学上册同步备课第二十二章二次函数(知识清单)【原卷版+解析】

一、学习目标1掌握二次函数的概念，并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题。2掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。3能够利用二次函数解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。重点：

1掌握二次函数的图象特征及其性质。2掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。难点：

1理解二次函数与一元二次方程的关系。2利用二次函数解决实际问题。二、学习过程章节介绍二次函数是初中阶段函数中的重要函数，它在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。掌握二次函数图象和性质是学习二次函数的基础，根据二次函数图象判断抛物线抛的开口方向，顶点坐标，对称轴，与坐标轴交点坐标、确定二次函数的解析式为必须掌握内容，理解二次函数与各系数之间的关系，灵活运用二次函数解决实际问题。二次函数是体现综合性的重点内容，在期中期末试卷中既有相对稳定的基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题。知识梳理1.二次函数的概念：一般地，形如____________________(其中___________是常数，a__________0)的函数叫做二次函数。其中，_____________是自变量，a、b、c分别是函数解析式的__________、_____________和____________。2.二次函数的特殊形式：1)当___________________时，y＝ax2＋c（a≠0）2)当___________________时，y＝ax2＋bx（a≠0）3)当___________________时，y＝ax2（a≠0）3.根据实际问题列二次函数关系式的方法：一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的____________；2）然后用题设的__________________表示这个等量关系；3）列出相应二次函数的关系式。4.二次函数y=ax²的图象特征和性质5.二次函数y=ax²+k的图象特征和性质6.二次函数的图象特征和性质7.二次函数的图象特征和性质8.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质9.求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入____________的坐标列出关于____________的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点____________，可设顶点式y=____________，再将____________代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与____________的两个交点为____________时，可设y=____________，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中①当a____________0时，抛物线开口向____________，a的值越____________，开口越____________；②当a____________0时，抛物线开口向____________，a的值越____________，开口越____________；【总结】a的____________决定开口方向，a的____________决定开口的大小(|a|越____________，抛物线的开口____________)．2）在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。即对称轴x=-b2a在y轴____________则____________>0，在y轴的____________则____________<0，概括的说就是“____________（1）当c____________0时，抛物线与y轴的交点在____________；（2）当c____________0时，抛物线与y轴的交点为____________；（3）当c____________0时，抛物线与y轴的交点在____________。【小结】c决定了抛物线与____________交点的位置．11.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：12.利用二次函数解决实际问题的步骤：第一步：分析题意，把________问题转化为________问题，画出图形.第二步：根据已知条件建立适当的________________.第三步：选用适当的________________________________求解.第四步：根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.13.利用二次函数解决面积最值的方法：①找好________________；②利用相关的图象________________，列出函数关系式；③利用函数的最值解决面积最值问题。【注意】自变量的________________。14.用二次函数解决实际问题的一般步骤：审：仔细审题，理清题意；设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.15.利用二次函数解决销售利润最值的方法：巧设________________，根据________________列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。16.利用二次函数解决拱桥问题的方法：1）建立适当的________________。2）根据题意找出________________。3）求出抛物线解析式。4）直接利用图象解决实际问题。考点解读考查题型一根据二次函数的定义求参数1．一个二次函数．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？2．已知函数．（1）若这个函数是一次函数，求的值（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．3．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．(2)若这个函数是一次函数，求m的值．(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？考查题型二二次函数y=ax²的图象和性质1．已知二次函数的图象经过点．求：(1)该函数解析式及对称轴；(2)试判断点是否在此函数的图象上．2．已知是关于x的二次函数.(1)求满足条件的k的值；(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？3．如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上．(1)求点A的坐标；(2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标．考查题型三二次函数y=ax²+k的图象和性质1．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？2．已知二次函数．

求函数图象的对称轴和顶点坐标；求这个函数图象与轴的交点坐标．3．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝；（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：x﹣215ymnp表中m、n、p的大小关系为（用“＜”连接）．考查题型四二次函数的图象和性质1．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．2．已知函数，和．(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；(4)分别说出各个函数的性质．3．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中．若抛物线的对称轴为，①m的值为﹔②当时，有（填“”，“”或“”）．当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围．考查题型五二次函数+k的图象和性质1．已知二次函数y＝(x－m)2－1.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；2．已知函数.（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？3．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．考查题型六二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．(1)求抛物线的解析式；(2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；(3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标．2．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．考查题型七二次函数与一元二次方程1．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．2．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)求的面积；(3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0．(1)设方程的两根分别是x1，x2，若满足x1+x2=x1•x2，求m的值．(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示，求m的值．4．已知：一次函数，二次函数为（b，c为常数）.(1)如图，两函数图象交于点.求二次函数的表达式，并写出当时x的取值范围.(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.查题型八二次函数与实际问题1．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？2．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．(1)求y关于x的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．3．根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．4．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．5．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．

一、学习目标1）掌握二次函数的概念，并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题。2）掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。3)能够利用二次函数解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。重点：

1）掌握二次函数的图象特征及其性质。2)掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。难点：

1)理解二次函数与一元二次方程的关系。2)利用二次函数解决实际问题。二、学习过程章节介绍二次函数是初中阶段函数中的重要函数，它在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。掌握二次函数图象和性质是学习二次函数的基础，根据二次函数图象判断抛物线抛的开口方向，顶点坐标，对称轴，与坐标轴交点坐标、确定二次函数的解析式为必须掌握内容，理解二次函数与各系数之间的关系，灵活运用二次函数解决实际问题。二次函数是体现综合性的重点内容，在期中期末试卷中即有相对稳定的基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题。知识梳理1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。2.二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax2＋c（a≠0）2)当c＝0时，y＝ax2＋bx（a≠0）3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2（a≠0）3.根据实际问题列二次函数关系式的方法：一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；3）列出相应二次函数的关系式。4.二次函数y=ax²的图象特征和性质5.二次函数y=ax²+k的图象特征和性质6.二次函数的图象特征和性质7.二次函数的图象特征和性质8.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质9.求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中1)当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小2)当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越大【总结】a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．2）在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。即对称轴x=-b2a在y轴左侧则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括的说就是“左同右异1）当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴；2）当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点；3）当c<0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴。【小结】c决定了抛物线与y轴交点的位置．11.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：12.利用二次函数解决实际问题的步骤：1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.3.选用适当的函数解析式求解.4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.13.利用二次函数解决面积最值的方法：①找好自变量；②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式；③利用函数的最值解决面积最值问题。【注意】自变量的取决范围。14.用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，理清题意；2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.15.利用二次函数解决销售利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。16.利用二次函数解决拱桥问题的方法：1）建立适当的平面直角坐标系。2）根据题意找出已知点的坐标。3）求出抛物线解析式。4）直接利用图象解决实际问题。考点解读考查题型一根据二次函数的定义求参数1．一个二次函数．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【详解】解：（1）依题意有，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：，当x=3时，y=14，∴y的值为14．2．已知函数．（1）若这个函数是一次函数，求的值（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．【详解】解：（1）由题意得，解得；（2）由题意得，，解得且．3．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．(2)若这个函数是一次函数，求m的值．(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？【详解】(1)∵这个函数是二次函数，∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，∴m≠0且m≠1.(2)∵这个函数是一次函数，∴∴m＝0.(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，∴不可能是正比例函数．考查题型二二次函数y=ax²的图象和性质1．已知二次函数的图象经过点．求：(1)该函数解析式及对称轴；(2)试判断点是否在此函数的图象上．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，∴，∴二次函数解析式为，∴二次函数对称轴为y轴；（2）解：在中，当时，，∴点不在此函数的图象上．2．已知是关于x的二次函数.(1)求满足条件的k的值；(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？【详解】(1)根据二次函数的定义得

解得k=±2.∴当k=±2时，原函数是二次函数.(2)

根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.(3)根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，∴当k=-2时，函数有最大值为0.

当x＞0时，y随x的增大而减小.3．如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上．(1)求点A的坐标；(2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标．【详解】（1）解：由题意可设，则，∵点A在抛物线上，∴，∴或（舍去），∴；（2）解：设直线的解析式，∵，，∴，解得，∴直线为，由解得或，∴P点的坐标为．考查题型三二次函数y=ax²+k的图象和性质1．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？【详解】解：如图所示：(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．2．已知二次函数．

求函数图象的对称轴和顶点坐标；求这个函数图象与轴的交点坐标．【详解】（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，∴图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．3．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝；（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：x﹣215ymnp表中m、n、p的大小关系为（用“＜”连接）．【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，∴a＝±2，∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，∴c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．考查题型四二次函数的图象和性质1．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．【详解】∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，令，，解得：，令，，，，，，由勾股定理得：，．的面积为12，周长为．2．已知函数，和．(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；(4)分别说出各个函数的性质．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，开口向上，对称轴为，顶点坐标为，开口向上，对称轴为，顶点坐标为；（3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；（4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大．3．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中．若抛物线的对称轴为，①m的值为_﹔②当时，有（填“”，“”或“”）．当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围．【详解】解：（1）①由，则对称轴，，②把分别代入与得，，，；（2）联立、的解析式可得，，整理得，，则△，，，即就是没有直线与抛物线相切的情况．当时，代入方程，得，（负值舍去），，当时，代入方程，得，，又，的取值为：．考查题型五二次函数+k的图象和性质1．已知二次函数y＝(x－m)2－1.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）当m＝2时，y＝(x－2)2－1，∴D(2，－1)，又当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)2．已知函数.（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？【详解】解：（1）由函数，∵，，，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）.（2）令，即，解得，.∴图象与x轴交于（1,0），（-3,0）.令，即，∴图象与y轴交于（0,-6）.（3）由二次函数的性质，得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.（4）由顶点坐标，得：当时，y有最小值，最小值是-8.3．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为（，），∵抛物线的顶点坐标在第二象限，∴，∴；（2）当时，抛物线解析式为，令，即，解得或，令，，∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），∴OD=3，AB=2，∴，∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．考查题型六二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．(1)求抛物线的解析式；(2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；(3)点是抛物线上一点，若，求点的坐标．详解】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，令x=0时，y=-3，则C(0,-3)，令y=0时，x=3，则B(3,0)，把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入，得，解得：，∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,∴A(1,0)，B(3,0)，∴OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，∴OB=OC=3，AB=2，∴∠ABC=∠OCB=45°，∴AN=，∵，∴PM=，过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，则EF=PM=，∴CE=1∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴直线BC解析式为：y=x-3，∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,联立直线与抛物线解析式，得或，解得：，，，，∴P点的坐标为(,)或(,)或（,）或(,)．（3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，∵∠ADC=90°，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴CD=AD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，∴△CDE≌△DAD（AAS），∴DE=AF，CE=DF，∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，∴四边形OCEF是矩形，∴OF=CE，EF=OC=3，设DE=AF=n，∵OA=1，∴CE=DF=OF=n+1∴DF=3-n，∴n+1=3-n解得：n=1，∴DE=AF=1，∴CE=DF=OF=2，∴D(2,-2),设直线CQ解析式为y=px-3，把D(2,-2)代入，得p=,∴直线CQ解析式为y=x-3，联立直线与抛物线解析式，得解得：，（不符合题意，舍去），∴点Q坐标为(,).2．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．【详解】解：（1）由y＝0，得x2+x-2＝0解得x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），由x＝0，得y＝-2，∴C（0，-2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．设直线AC为y＝kx+b，则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得k＝﹣1，y＝﹣x﹣2．对称轴为x＝，当x＝时，y＝-2＝，∴P（，）．3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，∴－2＝1－2m＋5m，解得；

∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．（2）二次函数图象的对称轴为直线；故二次函数的对称轴为：直线；考查题型七二次函数与一元二次方程1．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4)，∴4=4+2m+m2−3，即m2+2m−3=0，解得：m1=1，m2=−3，又∵m>0，∴m=1；（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．2．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)求的面积；(3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为，∴，解得，即，；（2）存在，或或，理由如下，由，令，即，解得，，；（3）设，边上的高为，与的面积相等，，是上的点，则，或，解得或.，或或．3．已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0．(1)设方程的两根分别是x1，x2，若满足x1+x2=x1•x2，求m的值．(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示，求m的值．【详解】（1）解：由题意得：x1+x2=-1，x1•x2=-m，∴-1=-m．∴m=1．当m=1时，x2+x-1=0，此时Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合题意．∴m=1；（2）解：图象可知：过点（1，0），当x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得12+1-m=0．∴m=2．4．已知：一次函数，二次函数为（b，c为常数）.(1)如图，两函数图象交于点.求二次函数的表达式，并写出当时x的取值范围.(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.【详解】（1）将（3，m）代入得m=6-2=4，将（n,-6）代入得-6=2n-2，解得n=-2，∴抛物线经过点（3，4），（-2，-6），将（3，4），（-2，-6）代入得，解得，∴，由图象可得-2＜x＜3时，抛物线在直线上方，∴时x的取值范围是-2＜x＜3．（2）令，整理得，当时，两函数图象只有一个公共点，∴b=2，c=-2，满足题意．考查题型八二次函数与实际问题1．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，把点（25，50）和点（35，30）代入，得，解得，∴一次函数的解析式为；（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则，解得：，，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）解：根据题意，则，整理得：；∵，∴当时，有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．2．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．(1)求y关于x的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求