高考数学专项练习第03讲 数列求通项（含答案及解析）

第03讲数列求通项目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查累加法 1题型二：重点考查累乘法 4题型三：重点考查与（或）的关系求通项 7题型四：重点考查构造法 11题型五：重点考查倒数法 15题型一：重点考查累加法典型例题例题1．（2024上·江苏无锡·高三江苏省江阴长泾中学校考阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，2，3，5，8，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”若，则（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式；数列的通项公式.例题3．（2024上·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为精练核心考点1．（2024上·吉林白山·高二统考期末）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中讨论了一些高阶等差数列的求和方法，高阶等差数列中后一项与前一项之差并不相等，但是后一项与前一项之差或者高阶差成等差数列，如数列，后一项与前一项之差得到新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前5项分别为，则该数列的第10项为（

）A．96 B．142 C．202 D．2782．（2024·全国·高二假期作业）已知数列满足，则的通项公式为（

）A． B． C． D．3．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）若数列满足，（，），则的最小值是.题型二：重点考查累乘法典型例题例题1．（2024·全国·高二假期作业）已知数列的项满足，而，则＝（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）数列满足，，则（

）A． B． C． D．例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，且，求的通项公式精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023上·高二课前预习）（1）在数列中，，则；（2）已知数列中，，则数列{an}的通项公式是.3．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列满足.求的通项公式；题型三：重点考查与（或）的关系求通项典型例题例题1．（2024上·湖北·高二期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且(1)求的通项公式；例题2．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；例题3．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，且当时．(1)求数列的通项公式；例题4（2024上·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；精练核心考点1．（2024上·天津·高二耀华中学校考期末）已知数列中，，（）.(1)求数列的通项；2．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；3．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，（）.(1)求的通项公式；4．（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，.(1)求；题型四：重点考查构造法典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）设数列满足，．(1)求数列的通项公式；例题2．（多选）（2024上·河北邢台·高二河北省博野中学校联考期末）已知数列的前项和为，则（

）A．B．为等比数列C．D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.例题4．（2024上·河南周口·高三统考阶段练习）在数列中，已知．(1)求的通项公式；精练核心考点1．（2024·全国·高二假期作业）已知数列满足，，则该数列的通项公式．2．（2024·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且.(1)求证：数列为等比数列；3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项为.(1)求通项公式；题型五：重点考查倒数法典型例题例题1．（2023上·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考期中）已知数列满足，，，则（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知数列满足，则（

）A．为等比数列B．的通项公式为C．为单调递减数列D．的前n项和例题3．（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）已知函数.(1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式；(2)证明（1）中的猜想．例题4．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，求．精练核心考点1．（2023上·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知数列满足，设的前n项和为，则（

）A． B． C．1 D．22．（2023上·湖北黄石·高二校联考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为.3．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的通项公式．4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．

第03讲数列求通项目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查累加法 1题型二：重点考查累乘法 4题型三：重点考查与（或）的关系求通项 7题型四：重点考查构造法 11题型五：重点考查倒数法 15题型一：重点考查累加法典型例题例题1．（2024上·江苏无锡·高三江苏省江阴长泾中学校考阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，2，3，5，8，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，又因为，由，得，所以，，，，将这个式子左右两边分别相加可得:，所以．所以．故选:C．例题2．（2024·全国·高三专题练习）对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式；数列的通项公式.【答案】/【详解】由题意，设数列是数列的一阶差数列，数列是数列的二阶差数列，数列的二阶差数列是等比数列，数列是等比数列，，，，，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，故，则，，各项相加得，当时，也满足上式，；故，则，，各项相加，得.故答案为：；.例题3．（2024上·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为【答案】【详解】数列中，由后项减前项，得，因此当时，，，而满足上式，所以该数列的通项公式为.故答案为：精练核心考点1．（2024上·吉林白山·高二统考期末）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中讨论了一些高阶等差数列的求和方法，高阶等差数列中后一项与前一项之差并不相等，但是后一项与前一项之差或者高阶差成等差数列，如数列，后一项与前一项之差得到新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前5项分别为，则该数列的第10项为（

）A．96 B．142 C．202 D．278【答案】D【详解】设该数列为，其前5项分别为，设，其前4项分别为，由题意可知：，当时，则，且符合上式，所以，即，则，所以该数列的第10项为278.故选：D.2．（2024·全国·高二假期作业）已知数列满足，则的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，∴，∴，故选：C.3．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）若数列满足，（，），则的最小值是.【答案】6【详解】由已知，，…，，，所以，，又也满足上式，所以，设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，因此在时递减，在时递增，又，，所以的最小值是6，故答案为：6.题型二：重点考查累乘法典型例题例题1．（2024·全国·高二假期作业）已知数列的项满足，而，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因为，所以，因为满足上式，所以，故选：B例题2．（2024·全国·高三专题练习）数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得：，；设，则，，，，即，.故选：B.例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，且，求的通项公式【答案】【详解】由已知，得，因为数列是正项数列，所以，即，故累乘得，，又也满足上式故的通项精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，因为，所以，所以，所以，因为，所以由对勾函数的性质可知，当时，取得最小值.故选：C2．（2023上·高二课前预习）（1）在数列中，，则；（2）已知数列中，，则数列{an}的通项公式是.【答案】【详解】(1)由，得.当时，当时，也符合．故.(2)因为，，所以.当时，，于是，当时，也符合．故.故答案为：；.3．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列满足.求的通项公式；【答案】【详解】由可得：，因为为正项数列，所以，所以，则，……，，将这个式子相乘，则，又因为，所以题型三：重点考查与（或）的关系求通项典型例题例题1．（2024上·湖北·高二期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）当时，，又的各项均为正数，所以；当时，得，则，所以，又的各项均为正数，所以，所以，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；例题2．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由可得，且，故是以为首项，为公差的等差数列，故

，即.则当时，，当时也成立，故.例题3．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，且当时．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为时，数列为正项数列，所以．由累加法得，又，所以，即，故当时，，因此．例题4（2024上·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)，【详解】（1）∵，①∴当时，，∴；当时，，②由①－②得，∴，，．当时，符合，∴，．精练核心考点1．（2024上·天津·高二耀华中学校考期末）已知数列中，，（）.(1)求数列的通项；【答案】(1)【详解】（1）因为①，当时，②，由①②得，整理得到，又由，当时，得到，即，故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，又时，，所以.2．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）当时，，，两式相减，得，是以2为首项，2为公比的等比数列，的通项公式为.3．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，（）.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由题意可得（），两式作差，得（），则（），当时，，即，将代入，解得，则，适合（），所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.4．（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）当时，，当时，，①由，②②－①可得：，，，所以，．5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，.(1)求；【答案】(1)【详解】（1），，又.数列是公差为2，首项为的等差数列.,即.当时，，故.题型四：重点考查构造法典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）设数列满足，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）解：因为数列满足，，则，且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为，所以，，则.例题2．（多选）（2024上·河北邢台·高二河北省博野中学校联考期末）已知数列的前项和为，则（

）A．B．为等比数列C．D．【答案】ACD【详解】选项A，由题意得，A正确；选项B，将两边同时除以，得，即，则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误；选项C，由，得，所以①，则②，①-②得，，，即，则，C正确；选项D，因为，所以，D正确.故选：ACD.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.【答案】【详解】解法一：设，整理得，可得，即，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：(两边同除以)两边同时除以得：，整理得，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，当时，则，故，显然当时，符合上式，故.故答案为：.例题4．（2024上·河南周口·高三统考阶段练习）在数列中，已知．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．所以，即；精练核心考点1．（2024·全国·高二假期作业）已知数列满足，，则该数列的通项公式．【答案】【详解】因为，所以，则数列时以为首项公比为的等比数列，故，所以.2．（2024·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且.(1)求证：数列为等比数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由，则，则，，故，故是以为首项，为公比的等比数列3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．【答案】【详解】解法一：因为，设，所以，则，解得，即，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：因为，两边同时除以得，所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，所以.4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项为.(1)求通项公式；【答案】(1)【详解】（1），设，即，即，解得，，故是首项为，公比为的等比数列.，故.题型五：重点考查倒数法典型例题例题1．（2023上·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考期中）已知数列满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，即，可得，又，即有数列是首项为1，公差为4的等差数列，可得，即.故选：D.例题2．（多选）（2023下·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知数列满足，则（

）A．为等比数列B．的通项公式为C．为单调递减数列D．的前n项和【答案】BCD【详解】因为，所以是以