（圆梦高考数学）专题7.2 等比数列及求和（含答案及解析）

专题7.2等比数列及求和题型一基本量的计算题型二等比中项及等比数列项的性质题型三等比数列的判定与证明题型四等比数列前项和的性质题型五等比数列中的单调，最值问题题型六等比数列的简单应用题型七等差、等比数列的综合应用题型一 基本量的计算例1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则“”是“数列的公比为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例2．（2023春·高三课时练习）在等比数列中，公比为q，前n项和为.(1)，，求n；(2)，求及.练习1．（2023春·高二课时练习）在等比数列中．(1)若，，，求和；(2)已知，，求.练习2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（

）A．64 B．81 C．128 D．192练习3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列满足，，若的前n项和，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8练习4．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，若其前k项和为86，则________．练习5．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型二 等比中项及等比数列项的性质例3．（2023春·高二课时练习）已知等比数列的前项和为，且，，求.例4．（2023春·高三课时练习）已知数列为等比数列.(1)若，且，求的值；(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.练习6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列为等比数列，则（

）A．数列，，成等比数列B．数列，，成等比数列C．数列，，成等比数列D．数列，，成等比数列练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.练习8．（2022·高三课时练习）已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.练习9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．题型三 等比数列的判定与证明例5．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．(1)证明：和都是等比数列；(2)求的前项和．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列；练习11．（2023春·湖北·高三武汉市第四十九中学校联考期中）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（

）．A． B． C． D．是等比数列练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；练习13．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知数列满足：.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．(1)证明：为等比数列．(2)求的通项公式．练习15．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）（多选）数列中，．则下列结论中正确的是（

）A．是等比数列 B．C． D．题型四 等比数列前项和的性质例7．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.例8．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，则________.练习16．（2022春·辽宁·高三辽阳县第一高级中学校联考阶段练习）（多选）已知等比数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．数列为等比数列B．数列，，，…为等比数列C．数列，，，，…为等比数列D．数列，，，…为等比数列练习17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中学校联考期中）（多选）已知等比数列中，满足，，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列练习18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和．练习19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列练习20．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（

）A．85 B．64 C．84 D．21题型五 等比数列中的单调，最值问题例9．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时，_______________．例10．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件练习21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求的最大值和最小值．练习22．（2023·全国·高三专题练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值练习23．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11练习24．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列练习25．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为题型六 等比数列的简单应用例11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（

）A． B． C． D．例12．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（

）．A． B．C． D．练习26．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.练习27．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗练习28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考期中）某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（

）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟练习29．（2023·四川·校联考模拟预测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形的周长之和为（

）A． B．C． D．练习30．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（

）元（参考数据：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000题型七 等差、等比数列的综合应用例13．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在正项等比数列中，若是与的等差中项，则数列的公比______.例14．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（

）A． B． C． D．的大小关系不能确定练习31．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．第一列第二列第三列第一行147第二行369第三行258(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．练习32．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.练习33．（2023·河南·校联考模拟预测）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．(2)求数列的前n项和．练习34．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，和分别是和的前项和，则（

）A． B．C． D．和的大小关系不确定练习35．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项.(1)求；(2)设数列满足，，数列的前项和为.求．

专题7.2等比数列及求和题型一基本量的计算题型二等比中项及等比数列项的性质题型三等比数列的判定与证明题型四等比数列前项和的性质题型五等比数列中的单调，最值问题题型六等比数列的简单应用题型七等差、等比数列的综合应用题型一 基本量的计算例1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则“”是“数列的公比为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.【详解】设等比数列的公比为，由，，得，则；由，，得．故“”是“数列的公比为”的必要不充分条件．故选：B例2．（2023春·高三课时练习）在等比数列中，公比为q，前n项和为.(1)，，求n；(2)，求及.【答案】(1)6(2)，【分析】（1）由等比数列前n项和公式与通项公式可解；（2）等比数列前n项和公式列方程组，解方程组可解.【详解】（1）显然，由，即，解得，又，即，所以.（2）由知，由题意得

，两式相除得，得，，所以，.练习1．（2023春·高二课时练习）在等比数列中．(1)若，，，求和；(2)已知，，求.【答案】(1)，.(2)或【分析】（1）（2）由等比数列通项公式和前项和公式列方程组求解即可.【详解】（1）由得，解得，又由得，解得.所以，.（2）显然，则，，两式相除得，解得，时可解得，则；时可解得，则.所以或练习2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（

）A．64 B．81 C．128 D．192【答案】B【分析】根据等比数列性质结合求和公式，基本量运算，写出通项公式即得.【详解】由等比数列的性质可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故选：B.练习3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列满足，，若的前n项和，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式求出公比与，再根据等比数列的求和公式列式求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以.因为，所以，所以,解得.故选:A.练习4．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，若其前k项和为86，则________．【答案】【分析】由题意可知是以为首项，公比为的等比数列，由等比数列的前项和公式求解即可.【详解】由可得：，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以其前k项和为，故，即.故答案为：练习5．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式列方程求解.【详解】设的公比为，则，解得，由，解得，所以，解得.故选：C题型二 等比中项及等比数列项的性质例3．（2023春·高二课时练习）已知等比数列的前项和为，且，，求.【答案】或【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，利用等比数列求和公式可求得的值.【详解】解：设等比数列的公比为，则，由等比数列的性质可知，解得，当时，，这与矛盾，所以，，则，所以，，解得.①当时，，此时；②当时，，此时.综上所述，或.例4．（2023春·高三课时练习）已知数列为等比数列.(1)若，且，求的值；(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.【答案】(1)6(2)【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；（2）利用等比数列前n项和公式结合等比通项公式求出，再利用等比中项定义求解即可.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以；（2）设等比数列{a}的公比为q，因为，所以.由已知得，即，解得，若G是，的等比中项，则有，所以，所以，的等比中项为.练习6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列为等比数列，则（

）A．数列，，成等比数列B．数列，，成等比数列C．数列，，成等比数列D．数列，，成等比数列【答案】BD【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项.【详解】设等比数列的公比为，A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误；B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确．C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误；D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确.故选：BD练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.【答案】1011【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得，进而求解结论.【详解】数列、满足.其中是等差数列，，为等差数列，设公差为，则，，则，故为等比数列，，.故答案为：1011.练习8．（2022·高三课时练习）已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.【答案】4【分析】利用等比数列的性质先求出公比，再由等比数列前项和列出，即可得到答案【详解】解：因为等比数列的前项满足，，所以，所以公比，所以，解得，故答案为：4练习9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.【答案】【分析】由已知求的通项公式，进而可得的通项公式，再求的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求前n项和.【详解】由题意，，由等比数列的性质可得，解得，∴，解得，，则，则数列为等差数列，，故，，故答案为：练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】主要考察等比数列的性质，字母为主，对学生的抽象和逻辑思维能力要求比较高。【详解】当时，当时，对于A,当时，故A错，对于B,当时，，故B错，对于C,当时，，故C错，对于D,当时，，，当时，则，故选项正确，故选：D题型三 等比数列的判定与证明例5．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．(1)证明：和都是等比数列；(2)求的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得，，即可求出和的通项公式，从而得到，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.【详解】（1）因为，，所以，，又由，得，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列；【答案】证明见解析【分析】由可得，即可证明结论.【详解】由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.练习11．（2023春·湖北·高三武汉市第四十九中学校联考期中）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（

）．A． B． C． D．是等比数列【答案】C【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的定义，即可判断正误.【详解】对于A，已知，所以，所以，，不符合上式，A选项错误；对于B，已知，当首项为零时，不符合题意，B选项错误；对于C，已知，所以，则所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，C选项正确；对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为则，不符合等比数列的通项公式，D选项错误；故选：C.练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；【答案】证明见解析【分析】由已知及，求得的递推关系，可证得为等比数列.【详解】（1）由题意，当时，，得，解得．由题意知，①

当时，，②①-②得，因为，所以．则，∵，∴所以是以为首项，2为公比的等比数列．练习13．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知数列满足：.(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，利用等比数列的定义证明即可；（2）先利用（1）中结论求出数列的通项公式，再利用错位相减法求解即可.【详解】（1）设，则，且，因为，所以，即是以4为首项，2为公比的等比数列，则数列是等比数列.（2）由（1）知，则，即，则，，两式相减得：，所以.练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．(1)证明：为等比数列．(2)求的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用条件变形化简得到，根据等比数列的定义即可得到证明；（2）利用（1）中的条件，求出，再结合条件即可得出结果.【详解】（1）由题意知，所以为等比数列．其首项，．（2）由（1）可知，又，所以．练习15．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）（多选）数列中，．则下列结论中正确的是（

）A．是等比数列 B．C． D．【答案】AC【分析】由已知递推关系式，可得，则可得到是等比数列，进而得到，再利用累加法得到，然后逐项判断．【详解】因为数列中，，所以，即，则是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故A正确；由累加法得，所以，从而，故B不正确；当为奇数时，是递增数列，所以，当为偶数时，是递减数列，所以，所以，故C正确；又，，所以，故D不正确.故选：AC.题型四 等比数列前项和的性质例7．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.【答案】120【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，所以.故答案为：120例8．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，则________.【答案】28【分析】由等比数列性质：也成等比数列可解此题.【详解】由数列是等比数列，且易知公比，所以也构成等比数列，即构成等比数列，从而可得，解得或，又，所以.故答案为：28练习16．（2022春·辽宁·高三辽阳县第一高级中学校联考阶段练习）（多选）已知等比数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．数列为等比数列B．数列，，，…为等比数列C．数列，，，，…为等比数列D．数列，，，…为等比数列【答案】AB【分析】按照等比数列的定义及性质依次判断4个选项即可.【详解】由等比数列的定义可知，数列每项乘以一个不为0的常数构成的数列为等比数列，A正确；等比数列中等距离项构成的数列为等比数列，B正确；因为构成一个等差数列，所以当时不能构成等比数列，C错误；，此时不能构成等比数列，D错误.故选：AB.练习17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中学校联考期中）（多选）已知等比数列中，满足，，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列【答案】AC【分析】根据等比数列的定义以及性质即可根据选项判断ABC,由，成等比数列即可判断D.【详解】由题意可知，对于A,,所以，故，所以为等比数列，故A正确，对于B,，，所以为等比数列，且公比为，首项为1，故是递减数列，对于C,，所以为公差为1的等差数列，故C正确，对于D,所以，成等比数列，，，不成等比数列，故D错误，故选：AC练习18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和．【答案】．【分析】判断出是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的前项公式求和即可．【详解】由，得．又因为，所以是等比数列，其公比，首项．所以的奇数项也成等比数列，公比为，首项为，所以．练习19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列【答案】BD【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,显然当才相等，故A错误，而，作差可得成立，故B正确；若数列为等比数列，且，，设其公比为q，则，作商可得或所以或，故C错误；由题意得各项均不为0，而实数范围内，，即且，结合选项B的计算可得，故D正确.故选：BD.练习20．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（

）A．85 B．64 C．84 D．21【答案】A【分析】根据等比数列的性质，即可计算求解.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，，所以.故选：A题型五 等比数列中的单调，最值问题例9．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时，_______________．【答案】6【分析】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解【详解】在等比数列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得单调递减，且，因为，，所以当时，，当时，，所以当取得最大值时，．故答案为：6例10．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.【详解】由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，当，不论取何值，总存在，不满足要求；当，，则，不满足要求；，总存在，不满足要求；当，，则，不满足；，若，，显然，即，不满足；，则在上恒成立，满足.所以为递增数列有且.所以，“数列为递增数列”是“且”的充分不必要条件.故选：B.练习21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)，；(2)最大值16，最小值8【分析】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答.（2）由（1）可得，再分为奇数与偶数时，结合的单调性求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，所以数列，的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，当时，，此时数列是递减的，恒有，此时；当时，，此时数列是递增的，恒有，此时；综上可得，的最大值为16，最小值为8.练习22．（2023·全国·高三专题练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】B【分析】由题分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误.【详解】当时，则，不合乎题意；当时，对任意的，，且有，可得，可得，此时，与题干不符，不合乎题意；故，故A错误；对任意的，，且有，可得，此时，数列为单调递减数列，则，结合可得，结合数列的单调性可得故，，∴，故B正确；是数列中的最大值,故CD错误故选：B.练习23．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解.【详解】设等比数列的公比为，有，由函数单调递增，且，可得.有，由数列单调递减，所以取得最大值时的值为9，故选：B.练习24．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列【答案】D【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.故选：D.练习25．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【答案】BD【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.【详解】由题意，同号，即与同号，，又有…①或…②；若为①，则有，即；若为②，则有，则不可能大于1，即②不成立；，并且，，即是递减的正数列，A错误；所以，B正确；，即对任意的n都成立，C错误；当时，，当时，，是的最大值，D正确；故选：BD.题型六 等比数列的简单应用例11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值.【详解】设该马第天行走的里程数为，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以，该马七天所走的里程为，解得.故该马第五天行走的里程数为.故选：D.例12．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由条件确定每年的存款的本息和，再利用错位相减法求六年的本息和即可.【详解】设第年的存款到取出时的本息和为（千元），，则，，，，，，所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：所以，所以，所以，所以，故选：D.练习26．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.【答案】6【分析】根据题意分析，看成首项，公比的等比数列，已知，继而求出，即可得出答案.【详解】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列，，其公比，令数列的前n项和为，则，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案为：6练习27．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算．【详解】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，由已知，，（斗）．故选：A．练习28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考期中）某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（

）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟【答案】B【分析】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由条件求出数列的通项公式，再由求前项和，由条件求气球上升到70m高度时所需时间即可.【详解】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由已知．所以前秒热气球上升的总高度，因为，所以数列为单调递增数列，又，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70高度，故选：B．练习29．（2023·四川·校联考模拟预测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形的周长之和为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】确定不同边长的正方形的个数，构成等比数列，求出不同正方形的种数，结合正方形的边长构成以8为首项，为公比的等比数列，即可求得答案.【详解】依题意可知，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，故令，即，即有7种边长不同的正方形，又因为正方形的边长构成以8为首项，为公比的等比数列，故边长为8的正方形有1个，边长为的正方形有2个，边长为4的正方形有4个，边长为的正方形有8个，边长为2的正方形有16个，边长为的正方形有32个，边长为1的正方形有64个，这127个正方形的周长之和为，故选：A练习30．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（

）元（参考数据：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000【答案】D【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到结果.【详解】设2022年6月底小王手中有现款为元，设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴，即，年所得收入为元.故选：D.题型七 等差、等比数列的综合应用例13．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在正项等比数列中，若是与的等差中项，则数列的公比______.【答案】5【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到，再根据等比数列通项公式整理得，解得即可.【详解】解：设正项等比数列的公比为，，因为是与的等差中项，所以，即，即，解得或（舍