数学学案：等差数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨1．解：通项公式为an＝an－b(a，b是常数）的数列都是等差数列．当a＝0时，是公差为0，首项为－b的常数列;当a≠0时,是公差为a，首项为a－b的等差数列．2．解：根据等差中项的定义，x，A，y组成等差数列，则有A－x＝y－A＝d（d为公差)，∴有x＋y＝2A,即A＝eq\f（x＋y,2）.3．解：要确定一个等差数列的通项公式，需要知道两个独立的条件．练习A1．解：（1）通项公式an＝3n－1，∴a4＝11,a10＝29.(2)通项公式an＝－5n＋17，∴a15＝－58。（3）通项公式an＝4n－1。由100＝4n－1，得n＝eq\f(101，4）∉N＋，故100不是等差数列中的项．由79＝4n－1,得n＝20∈N＋，故79是等差数列中的项，是第20项．评注:由前n项求通项公式，再由通项公式求指定项或判定某数是否为数列中的项．2．解：(1)由an＝am＋（n－m)d，知a7－a5＝（7－5）d,∴d＝5，∴a5＝a1＋（5－1）d，解得a1＝－14。（2）a10＝a3＋（10－3）d，∴d＝－3.∴a15＝a10＋(15－10)d＝－1＋5×（－3）＝－16。3．解:（1)24；（2)－2。4．解：（1)a1＝8，d＝3；(2)a1＝10，d＝－2。练习B1．解：由等差数列定义，an＋1－an＝d（d为常数,n∈N＋），d或正、或负、或零，为一常数．当公差d＞0时，数列｛an}为递增数列；d＝0时，数列{an｝为常数列；d＜0时,数列｛an}为递减数列．2．解：（1）是等差数列,首项为am＋1，公差为d。(2）是等差数列，首项为a1，公差为2d.(3)是等差数列，首项为a7，公差为7d.(4）是等差数列,首项为a1＋a2＋a3,公差为3d。3．解:除第5项外,没有序号与数值都相等的项．设等差数列{an}，首项a1，公差d；等差数列{bn}，首项b1，公差d1（d≠d1）,由题意有a5＝b5，即a1＋4d＝b1＋4d1,∴eq\f（a1－b1，d1－d）＝4。①假若除第5项外还有序号和数值都相等的项am＝bm（m≠5），则a1＋(m－1)d＝b1＋（m－1）d1,∴eq\f（a1－b1，d1－d)＝m－1，由①得m－1＝4，∴m＝5。与假设矛盾，因此除第5项外没有序号与数值都相等的项．1．解：仅利用通项公式，能求出使得Sn最小的序号n的值．令an＝4n－32＝0，解得n＝8，这说明数列｛an}中含有零项,且a8＝0,可知a7＜0，a9＞0，因此当n＝7或8时,Sn最小．2．思考与讨论(1）解：确定了．可以利用an＝求数列的通项公式，但是求解完以后，要注意检验a1是否适合通过Sn－Sn－1计算出的通项公式，如果适合,最后要合起来写，否则一定要用“大括号”分开写．（2)解：不一定．只有当常数c＝0时，该数列才是等差数列，如果c≠0，则该数列为除去第1项，从第2项开始的等差数列．练习A1．解:(1）195；(2）72；(3)60.2．解：(1）n2(2）n(n＋1)（3)（n＋2）2(4）eq\f（1,2)（n＋1)（3n＋2）．3．解：(1）702；（2)663；（3）18，945;（4)30,1605.练习B1．解:设前n项和为－18，∵d＝－1,a1＝4，则－18＝n×4＋eq\f(n(n－1)，2）×（－1），求得n＝12，即前12项的和为－18。2．解：m＝7n,n∈N＋，且m＜100时，元素构成等差数列7,14，…,98，易得项数n＝14.∴S14＝eq\f（14（7＋98）,2）＝735，即这些元素的和为735.3．解：设等差数列{an}，则a1＝14，d＝－3＜0,设其前n项和最大，则有，解得＜n≤，∴n＝5,S5＝＝40。故前5项的和最大．评注：等差数列前n项和的最值，当a1＞0,d＜0时，Sn有最大值；当a1＜0，d＞0时，Sn有最小值．4．解：∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f（n＋1，n)－eq\f(n，n－1)＝eq\f（－1,n（n－1)），当n＝1时，a1＝S1＝2，不满足上式，an＝评注：an与Sn的关系：an＝习题2-2A1．解：（1）a1＝9，d＝2;（2）a1＝eq\r(2）－2，d＝－2。2．(1）已知a1＝6,d＝3,求a8；(2）已知a4＝10，a10＝4，求a7及d；（3）已知a2＝12，an＝－20,d＝－2，求n;(4)已知a7＝eq\f（1，2)，d＝－2，求a1。解：(1)a8＝27；（2）a7＝7，d＝－1；（3)n＝18；（4)a1＝eq\f(25,2）.3．解：24，36，48。4．解：（1)eq\f（3，2）;(2)a2＋b2.5．解：192mm,168mm，144mm.6．解：依题意，各高度气温构成等差数列，记为｛an｝，则高度为1km时的气温为a1＝8。5，高度为5km时的气温为a5＝－17.5.∴a5＝a1＋(5－1）d，∴d＝－6.5，易得a2＝2,a4＝－11，a8＝－37.故气温分别是2℃,－11℃，－37℃.7．解:啁啾声次数4202840温度/℃28323437评注:建立等差数列模型，解之．8．解：（1)S10＝245；（2)S12＝24；（3)S8＝204.9．解：由题意得Sn＝40n＋eq\f（n(n－1）,2)·20＝(n－2）·180,∴n2－15n＋36＝0，解得n＝3或n＝12(舍去)，即凸n边形的边数为3。10．解：观察得第n行为:1,2,3，…，n－1,n，n－1，…,2，1，则各数的和为eq\f(n（n＋1），2)＋eq\f(n（n－1），2）＝n2.11．解:由题意得每层的瓦数构成一个首项为21,公差为1的等差数列，则S19＝19×21＋eq\f（19（19－1），2)×1＝570（块)．12．解:依题意，李强每天所跑路程依次排列构成等差数列，记为｛an}．已知a1＝5000，d＝400，n＝10，所以S10＝5000×10＋eq\f(10×(10－1),2）×400＝68000。答：李强10天一共要跑68000m.习题22B1．解:设三角形的三个内角的度数分别为a－d,a,a＋d，则有（a－d）＋a＋(a＋d)＝180。∴a＝60.故三角形的三个内角的大小只有一个角能确定为60°,另外两个角大小不定．2．解：设构成等差数列｛an｝,则a1＝1，a27＝15，n＝27,则有a1＋a27＝a2＋a26＝…＝2a14＝16，则a2＋a3＋…＋a26＝eq\f（25（a2＋a26），2)＝200，即插入的25个数的和为200.3．解:Sn＝eq\f(n（a1＋an），2），知S9＝eq\f（9(a1＋a9),2）＝eq\f（9×2a5，2）＝9a5＜0，所以a5＜0。又S10＝eq\f(10(a1＋a10),2)＝5(a5＋a6)＞0,所以a6＞0。因此，此等差数列的前n项和中,n＝5时取得最小值．4．解:(1）由f（x)＝|x－1｜＋|x－2|＋…＋|x－20|,得f(1)＝0＋1＋2＋…＋19＝eq\f（19（1＋19)，2)＝190；f（5）＝4＋3＋2＋1＋0＋1＋…＋15＝10＋eq\f（(1＋15)×15，2)＝10＋120＝130；f(20)＝19＋18＋…＋2＋1＋0＝eq\f（19×(19＋1)，2）＝190。（2）设x是1～20中的某一整数，则f（x)＝(x－1)＋（x－2）＋…＋3＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(20－x)＝eq\f（(x－1）[1＋(x－1)],2）＋eq\f((20－x）［1＋（20－x）］,2)＝eq\f(1，2）（2x2－42x＋420）＝x2－21x＋210＝（x－eq\f(21，2）)2＋eq\f(399，4)。因为x∈N＋，所以当x＝10或11时，f(x)取最小值，f（10）＝f（11）＝100，即最小值是100.5．解：S13＝eq\f（13（a1＋a13),2）＝eq\f(13(a3＋a11），2）＝eq\f（13×6,2）＝39。6．解：(1）f(0.1)＋f（0.9)＝eq\f（4\f（1，10),4\f(1，10）＋2)＋eq\f（4\f(9,10),4\f(9,10）＋2）＝eq\f（4\f(1,10),4\f(1，10)＋2）＋eq\f(41－\f(1,10)，41－\f(1,10）＋2）＝eq\f（4\f(1,10）,4\f(1,10）＋2)＋eq\f（\f(4,4\f(1，10）),\f（4,4\f(1,10）)＋\f(2×4\f（1,10),4\f(1,10))）＝eq\f(4\f(1，10），4\f(1,10)＋2)＋eq\f(4,4＋2×4\f(1,10)）＝1.(2)∵f(α）＋f（1－α)＝eq\f（4α，4α＋2)＋eq\f(41－α，41－α＋2）＝eq\f(4α，4α＋2）＋eq\f(4,4＋2×4α)＝eq\f（4α,4α＋2）＋eq\f（2,4α＋2)＝1，∴a1＋a2＋…＋a1000＝eq\b\lc\[\rc\（\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,1001)))＋）)eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1000，1001）)))）＋eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（f\b\l