数学同步优化训练：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。4。2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1。已知=（，),=（—2，y）,若⊥，则y的值为（）A.B.-2C。D。2解析：∵⊥，∴·（-2）+·y=0，解得y=2.答案：D2.向量｜a｜=9，|b｜=12,则|a+b|的最大值和最小值分别为___________________。解析：由｜｜a|-｜b｜|≤｜a+b|≤｜a|+|b|可得结果.答案：21和33。(2006高考天津卷,理12）设向量a与b的夹角为θ,且a=（3,3），2b—a=（—1，1)，则cosθ=____。解析：设b=（x，y)，则2b—a=(2x，2y)—(3，3)=(-1，1），∴∴b=（1,2).∴cosθ=。答案:4。已知向量a与b同向，b=（1，2），a·b=10.（1)求向量a的坐标；（2)若c=(2,—1)，求（b·c）a.解:（1）∵向量a与b同向，b=（1，2），∴a=λb=（λ,2λ).又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a与b同向的条件.∴a=(2,4）.(2）∵b·c=1×2+2×(-1)=0，∴(b·c）a=0.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知平面上直线l的方向向量e=（）,点O（0,0)和A(1，—2）在l上的射影分别是O1、A1，则=λe,其中λ等于（）A.B.C.2D.-2解析：方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知λ=｜|cos〈e，〉==·=-=—2。方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点,故与e方向相反。排除A、C，检验B、D可知D正确。答案：D2.（2006高考江苏卷，理6)已知两点M(—2,0)、N（2,0）,点P为坐标平面内的动点，满足||·｜｜+·=0，则动点P(x,y）的轨迹方程为()A。y2=8xB。y2=-8xC。y2=4xD。y2=-4x解析：=（4，0),=(x-2，y)·=4（x-2).由已知有+4(x+2)=0，整理得y2=—8x。答案：B3。A、B、C、D四点的坐标依次是（—1，0）、（0，2)、(4，3）、（3,1)，则四边形ABCD为（）A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形解析:∵=(1，2），=(1,2）,∴.又线段AB与线段DC无公共点，∴AB∥DC且|AB｜=｜DC｜.∴四边形ABCD为平行四边形.又|AB|=，｜BC|=，∴｜AB｜≠｜DC｜。∴平行四边形ABCD不是菱形也不是正方形.又·=4+2=6≠0,∴AB与BC不垂直。∴平行四边形ABCD不是矩形.答案：D4。已知｜a｜=，b=(—2,3）且a⊥b，则a的坐标为_______________________。解析：设a=(x,y），则x2+y2=52.由a⊥b得-2x+3y=0。由以上两个条件得答案：（6，4)或（-6，-4）5。已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(1,0）、B（4，3)、C(2,4）、D(m，n）.当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列）？解:由条件知=（3，3）,=(-2,1）,AD=（m-1,n）,=（2—m，4-n).（1）若四边形ABCD为平行四边形，则,∴（3,3)=（2-m，4—n），解得m=—1，n=1.∴当m=-1，n=1时,四边形ABCD为平行四边形。（2)当m=-1，n=1时，=(3，3），=（-2，1).则||=,|｜=，｜｜≠｜|.因此,使四边形ABCD为菱形的m、n不存在.(3)当m=—1,n=1时，·=（3，3)·(—2，1）=-3≠0，即AB、CD不垂直。因此使四边形ABCD为距形的m、n不存在。(4）由（2）、（3)知，使四边形ABCD为正方形的m、n不存在。（5)若四边形ABCD为梯形，则=λ或=λ，其中λ为实数,且λ＞0,λ≠1。所以（λ＞0,λ≠1)或（λ＞0,λ≠1）.整理得m、n的取值条件为n=m+2(m＜2,m≠—1)或n=(m＜1，m≠—1）.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1.若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且｜b｜=,则b等于(）A.（—3，6）B.(3，—6)C。（6，-3)D.(-6,3）解析：方法一：设b=λ（-1，2)，且λ＞0，有（—λ）2+(2λ）2=（）2b=（—3，6）。方法二：由题意可知，向量a,b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a答案：A2.已知平面向量a=（3，1)，b=(x,-3)，且a⊥b，则x等于（）A。3B.1C解析：由3x+1×（—3)=0,得x=1。答案：B3.已知m=（1，0)，n=(1，1），且m+kn恰好与m垂直,则实数k的值为(）A.1B。-1C解析:m+kn=（1，0)+k(1,1）=（1+k,k)，∵m+kn与m垂直，∴（m+kn)·m=0，即(1+k，k）·（1，0）=0。∴(1+k）×1+k×0=0，得k=-1.答案：B4。设m、n是两个非零向量，且m=（x1，y1)，n=(x2,y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数有(）①m·n=0②x1x2=-y1y2③｜m+n|=｜m-n｜④｜m+B|=A。1B。2C解析：由两非零向量垂直的条件可知①②正确,由模的计算公式与向量垂直的条件可知③④也正确.答案：D5.（2006高考湖南卷,理5）已知｜a｜=2｜b｜≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(）A。[0,］B.［,π］C。［，]D。［，π］解析:方程x2+｜a｜x+a·b=0有实根可推出｜a|2—4a·b≥0。设a与b的夹角为θ，则cosθ=≤，∴θ∈[,π］。答案：B6.已知向量a和b的夹角为120°，且｜a｜=2，｜b｜=5，则（2a—b)·a=________________解析：（2a—b）·a=2a2—b·a=2×22—5×2×cos120°=8+5×2×答案：137.在△ABC中，∠A=90°,=(k,1)，=(2，3），则k的值是___________________。解析:∵∠A=90°，∴⊥。∴·=2k+3=0.∴k=—。答案:—8.设两向量e1、e2满足｜e1｜=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围。解:∵=4，=1,e1·e2=2×1×cos60°，∴（2te1+7e2）·(e1+te2）=2t+(2t2+7)e1·e2+7t=2t2+15t+7。∴2t2+15t+7＜0。∴—7＜t＜。设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0)，则2t=λ,且7=tλ，∴2t2=7.∴t=，λ=.∴t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π，故t的取值范围是(—7，）∪(，).9。平面内有向量=(1，7），=(5,1）,=(2，1)，点X为直线OP上的一动点。(1）当·取最小值时，求OX的坐标；（2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值.解：(1）设=（x,y)，因为点X在直线OP上,所以向量与共线.又=(2,1)，所以x·1—y·2=0,x=2y。所以=(2y,y)。又且=(1，7)，所以=(1—2y，7-y）。同理，=(5—2y，1—y)。于是有·=(1-2y）（5-2y）+（7-y）(1-y)=5（y-2)2—8。所以当y=2时，·=5(y—2)2—8有最小值-8，此时=(4，2）。（2）当=(4，2），即y=2时,有=（—3,5），=(1,—1),｜｜=，|｜=,·=—3×1+5×（—1）=—8。所以cos∠AXB==.10。如图2—4—图2-4解:设B点坐标(x，y），则=(x，y），=（x—5,y-2),∵⊥,∴x(x—5)+y(y-2）=0，即x2+y2—5x-2y=0。又∵||=｜|，∴x2+y2=（x—5)2+（y-2）2，即10x+4y=29。由或∴B点坐标为(，—）或(,)，=(—，—)或(-，）.11.平面内三点A、B、C在一条直线上，=(-2,m)，=(n,1），=(5,—1)，且⊥，求实数m、n的值.解析：因为A、B、C三点共线，所以=λ。因为=(7，—1-m)，=（n+2，