2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1．1变更率与导数1.1.1变更率问题1.1.2导数的概念内容标准学科素养1.了解导数概念的实际背景；2.会求函数在某一点旁边的平均变更率；3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.强化数学概念完善逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第1页[基础相识]学问点一函数的平均变更率eq\a\vs4\al(预习教材P2－3，思索并完成以下问题)假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系，A是动身点，H是山顶．爬山路途用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．(1)若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的变更量分别是多少？提示：自变量x的变更量为x2－x1，记作Δx，函数的变更量为y2－y1，记作Δy.(2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？提示：对山路AB来说，用eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)可近似地刻画其陡峭程度．学问梳理函数y＝f(x)从x1到x2的平均变更率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变更的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．学问点二瞬时速度eq\a\vs4\al(预习教材P4－6，思索并完成以下问题)1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝10＋5Δt.2．当Δt趋近于0时，思索1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示：当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．学问梳理瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).假如Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).学问点三函数在某点处的导数学问梳理一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).思索：1.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变更率的大小与曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上的“陡峭”程度有什么关系？提示：平均变更率的肯定值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然．2．函数的平均变更率是固定不变的吗？提示：不肯定，在平均变更率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的平均变更率不肯定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的平圴变更率也不肯定相同．事实上，曲线上随意不同两点间连线的斜率一般不相等，依据平均变更率的几何意义可知，函数的平均变更率一般状况下是不相同的．3．瞬时速度与平均速度有什么区分和联系？提示：区分：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是形容物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．联系：瞬时速度是平均速度的趋近值．4．如何理解Δx→0?提示：(1)“Δx→0”的意义：|Δx－0|可以小于给定的随意小的正数，但始终有Δx≠0.(2)当Δx→0时，存在一个常数与eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)无限接近．[自我检测]1．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，质点的平均速度等于()A．6＋Δt B．6＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．3＋Δt D．9＋Δt解析：平均速度为eq\x\to(v)＝eq\f(3＋Δt2＋3－32＋3,3＋Δt－3)＝6＋Δt.故选A.答案：A2．假如质点M依据规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6 B．18C．54 D．81解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(33＋Δt2－3×32,Δt)＝18＋3Δt，s′＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.故选B.答案：B3．已知函数f(x)＝eq\f(1,\r(x))，则f′(1)＝________.解析：f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,\r(1＋Δx))－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)授课提示：对应学生用书第2页探究一求函数的平均变更率[例1](1)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则eq\f(Δy,Δx)的值为()A．－0.11 B．－1.1C．3.89 D．0.29(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v1)，eq\x\to(v2)，eq\x\to(v3)，则三者的大小关系为________．(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．[解析](1)∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝3×2.1－2.12－6＋4＝－0.11，∴eq\f(Δy,Δx)＝－1.1.(2)eq\x\to(v1)＝kOA，eq\x\to(v2)＝kAB，eq\x\to(v3)＝kBC，由图象可知，kOA＜kAB＜kBC.(3)∵Δy＝eq\f(4,3)π×23－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(28π,3)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(28π,3),2－1)＝eq\f(28π,3).[答案](1)B(2)eq\x\to(v1)＜eq\x\to(v2)＜eq\x\to(v3)(3)eq\f(28π,3)方法技巧求函数y＝f(x)从x0到x的平均变更率的步骤(1)求自变量的增量Δx＝x－x0.(2)求函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(3)求平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).提示：Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.跟踪探究1.一运动物体的运动路程s(x)与时间x的函数关系为s(x)＝－x2＋2x.(1)求运动物体从2到2＋Δx这段时间内的平均速度eq\x\to(v)；(2)若eq\x\to(v)＝－3，求Δx；(3)若eq\x\to(v)＞－5，求Δx的范围．解析：(1)因为s(2)＝－22＋2×2＝0，s(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)2，所以eq\x\to(v)＝eq\f(s2＋Δx－s2,2＋Δx－2)＝－2－Δx.(2)由(1)，令－2－Δx＝－3，解得Δx＝1.(3)由(1)，令－2－Δx＞－5，解得Δx＜3.即Δx的范围为(－∞，3)．探究二求瞬时速度[例2]假如某物体的运动路程s与时间t满意函数s＝2(1＋t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2s末的瞬时速度．[解析]Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt＋2(Δt)2，eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4.8＋2Δt)＝4.8，即s′|t＝1.2＝4.8.故物体在1.2s末的瞬时速度为4.8m/s.延长探究1.试求该物体在t0时的瞬时速度．解析：∵Δs＝2[1＋(t0＋Δt)2]－2(1＋teq\o\al(2,0))＝4Δt·t0＋2(Δt)2，∴s′|t＝t0＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4t0＋2Δt)＝4t0.∴此物体在t0时的瞬时速度为4t0m/s.2．物体在哪一时刻的瞬时速度为12m/s?解析：∵s′|t＝t0＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4t0＋2Δt)＝4t0，∴由4t0＝12得t0＝3，∴此物体在3s时的瞬时速度为12m/s.方法技巧1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间变更量Δt和位移变更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求eq\f(Δy,Δx)(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算．(2)求出eq\f(Δy,Δx)的表达式后，Δx无限趋近于0，可令Δx＝0，求出结果即可．跟踪探究2.已知自由下落物体的运动方程是s＝eq\f(1,2)gt2(s的单位是m，t的单位是s)，求：(1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)物体在t0时的瞬时速度；(3)物体在t0＝2s到t1＝2.1s这段时间内的平均速度；(4)物体在t＝2s时的瞬时速度．解析：(1)平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(\f(1,2)gt0＋Δt2－\f(1,2)gt\o\al(2,0),Δt)＝gt0＋eq\f(1,2)gΔt.(2)瞬时速度为eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(gt0＋\f(1,2)gΔt))＝gt0.(3)由(1)得物体在t0＝2s到t1＝2.1s这段时间内的平均速度为g×2＋eq\f(1,2)g×0.1＝eq\f(41,20)g.(4)由(2)得物体在t＝2s时的瞬时速度为g×2＝2g探究三求函数在某点处的导数[例3]依据导数定义求函数y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2处的导数．[解析]当x＝2时，Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋\f(1,2)＋5))＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,22＋Δx).所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx).所以y′|x＝2＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4).延长探究本例中若已知该函数在x＝a处的导数为0，试求a的值．解析：当x＝a时，Δy＝(a＋Δx)2＋eq\f(1,a＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a)＋5))＝2aΔx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,aa＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝2a＋Δx－eq\f(1,a2＋aΔx)，所以eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋Δx－\f(1,a2＋aΔx)))＝2a－eq\f(1,a2)，所以2a－eq\f(1,a2)＝0，a＝eq\f(\r(3,4),2).方法技巧用导数定义求函数在某一点处导数的三个步骤(1)求函数值的变更量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)取极限，得导数f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).简记为一差、二比、三极限．跟踪探究3.已知函数y＝f(x)＝2x2＋4x.(1)求函数在x＝3处的导数；(2)若函数在x0处的导数是12，求x0的值．解析：(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16，所以y′|x＝3＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2Δx＋16)＝16.(2)依据导数的定义f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝eq\f(2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x\o\al(2,0)＋4x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4x0＋2Δx＋4)＝4x0＋4，所以f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得x0＝2.授课提示：对应学生用书第3页[课后小结](1)理