高中数学 第2章 2.4.2抛物线的几何性质(一)同步训练 苏教版选修2-1

2.4.2抛物线的几何性质(一)一、基础过关1．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且AB＝1，则A的横坐标的值为________．2．以x轴为对称轴的抛物线的通径长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为______________．3．经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则eq\f(y1y2,x1x2)的值是________．4．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1＝__________.5．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是________．6．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．若x1＋x2＝6，则AB＝________.二、能力提升8．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.9．已知△ABC的三个顶点都在y2＝32x上，A(2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率是________．10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．11．线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．三、探究与拓展13．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,FA)＋eq\f(1,FB)＝eq\f(2,p).

答案1．02．y2＝8x或y2＝－8x3．－44．90°5．4p26．y2＝3x7．88．2eq\r(6)9．－410．解如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.又OA＝OB，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，即xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0.整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2.由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，∴y1＝eq\f(\r(3),3)x1.与yeq\o\al(2,1)＝2px1联立，解得y1＝2eq\r(3)p，∴AB＝2y1＝4eq\r(3)p.11．解画图可知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ky＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px,x＝ky＋m))消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－2pm，由已知条件知|y1|·|y2|＝2m从而p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.12．解(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，抛物线方程为y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0，化简得x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．设eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(1＋4λ，－2eq\r(2)＋4eq\r(2)λ)，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13．证明(1)如图所示．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程：x＝－eq\f(p,2).设直线AB的方程为x＝ky＋eq\f(p,2)，把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，∴x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1),2p)·eq\f(y\o\al(2,2),2p)＝eq\f(y1y22,4p2)＝eq\f(－p22,4p2)＝eq\f(p2,4).(2)根据抛物线定义知FA＝AA1＝x1＋eq\f(p,2)，FB＝BB1＝x2＋eq\f(p,2)，∴eq\f(1,FA)＋eq\f(1,FB)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\