《高等数学Ⅱ》试卷及答案 卷4

座号座号学院年级专业班级学号姓名装订线内不要答题第1页共2页装订线内不要答题装订线内禁止答卷第3页共2页装订线内禁止答卷第2页共2页20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷考试说明：1、本试卷共3页，考试时间为120分钟；2、考试方式：闭卷；全部试题均答在答题纸上。一、单项选择题（在下列各小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的代码填入下列对应的表格内，多选不给分。本题共15小题，每小题2分，共30分）。1、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)2、点到点的距离（）(A)3(B)4(C)5(D)63、过点且以为方向向量的直线方程是（）(A)(B)(C)(D)4、函数的极小值是 （）(A)2(B)(C)1(D)5.设，则＝ （）(A)(B)(C).(D)6、在点的偏导数存在是在该点可微分的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件7、设函数f(x)是周期为2的函数，则f(x)的傅里叶级数中不含哪个频率的分量（）

(A)ω=π(B)ω=2π(C)ω=3π(D)ω=4π8、设为椭圆的逆时针路径，则（）(A)(B)(C)(D)9、设，则＝ （）(A)(B)(C)(D)10、若级数发散，为常数，则级数（）(A)发散(B)可能收敛，可能发散(C)收敛(D)无界11、微分方程的通解为 （）(A)(B)(C)(D).12、设幂级数在处发散，则在处（）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性不确定13、幂级数的收敛域为 （）(A)(B)(C)(D)14、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)15、若级数收敛，则 （）(A)(B)(C)(D)二、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分)16、极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。（）17、泰勒级数总是收敛于其原函数，无论函数性质如何。（）18、曲线积分与路径无关当且仅当被积函数是某函数的全微分。（）19、幂级数的收敛半径总是正数。（）20、若函数在某点处可导，则它在该点必连续。（）21、格林公式仅适用于简单闭合曲线。（）22、隐函数定理保证了从方程中解出的隐函数总是存在且唯一。（）23、任何无穷级数都可以通过部分和序列的极限来求和。（）24、重积分的中值定理总是成立，无论被积函数是否连续。（）25、对任何闭曲面，高斯公式中的曲面积分总等于零。（）三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、.27、设积分区域的面积为，则.28、设积分区域：，，则.29.的麦克劳林级数是__________________.30.微分方程的通解为_____________________.四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求微分方程的通解.（6分）32、求函数的全微分.（6分）33、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）34、求函数的极值.（6分）35、求幂级数的和函数.（6分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷·参考答案单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）题号12345678910答案ACADABBBAC题号1112131415答案DBCCC判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、√17、×18、√19、×20、√21、√22、×23、×24、×25、×三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、227、28、029、30、四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求幂级数的和函数.解：设和函数为两边由0到积分，得…………（4分）两边对求导，即得.………………（2分）32、求函数的全微分.（6分）解：因为，………….（2分）………….（2分）所以………….（2分）33、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）解：点对应的参数…………….（1分）则在该点处切线的切向量…………….（1分）所以在点处的切线方程为………….（2分）法平面方程为…………….（2分）34、求函数的极值.解解方程组得驻点为……………………（3分）再求出二阶偏导数在点处,又,所以函数在处有极小值在点处,所以不是极值．……（3分）35、求微分方程的通解.（6分）解：方程为一阶线性非齐次微分方程由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：……….（3分）………….（3分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​证明：令

F(x)=(x−b)f(x)，则

F(x)

在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

上可导。………….（2分）利用乘法法则，我们有F′(x)=(x−b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a−b)f(a)=0

和

F(b)=(b−b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我们得到

(c−b)f′(c)+f(c)=0。…….……