【易错专训】09 用树状图或表格求概率（解析版）

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错09用树状图或表格求概率【易错1例题】用树状图求概率1．（2021·陕西西安市·交大附中分校）泰岭野生动物园为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游玩线路．如表：ABCD小火车之旅爱心投喂游船码头梦幻剧场小天和小美都计划去动物园游玩，她们准备各自在这4条线路中任意选择一条游玩线路．为了保证每条线路被选择的可能性相同，她们制作了四张写有A、B、C、D的卡片，第一个人随机抽出一张，记下标记后放回，另一人再随机抽取．（1）小美选择路线“爱心投喂”的概率是．（2）用画树状图或列表的方法，求小天和小美恰好选择同一条路线的概率．【答案】（1）；（2）见解析，．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）小美选择路线“爱心投喂”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，小天和小美恰好选择同一条路线的有4种结果，所以小天和小美恰好选择同一条路线的概率为．【点睛】本题考查简单概率公式、用树状图求概率等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【易错2例题】用表格求概率2．（2021·河南平顶山市·九年级期中）为了培养学生的创新精神和实践能力，某校组织学生到技师学院开展了为期一周的社会实践活动．每位同学可以在机器人、面塑、电烙画、摄影四门课程中选择一门．为公平起见，学校制作了如图所示的转盘，学生转动转盘一次，指针指到的课程即自己参加的实践课程．（1）小明是该校的一名学生，求小明参加机器人实践课程的概率；（2）小明和小军是好朋友，他们想参加相同的实践课程，请你用画树状图或列表的方法求他们参加相同实践课程的概率．【答案】（1）；（2）列表见解析，【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先列出图表得出所有等可能的情况数和他们参加相同实践课程的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）∵共有四门课程，分别是机器人、面塑、电烙画、摄影，∴小明参加机器人实践课程的概率是；（2）根据题意列表如下：机器人面塑摄影电络画机器人机器人，机器人机器人，面塑机器人，摄影机器人，电络画面塑面塑，机器人面塑，面塑面塑，摄影面塑，电络画摄影摄影，机器人摄影，面塑摄影，摄影摄影，电络画电络画电络画，机器人电络画，面塑电络画，摄影电络画，电络画共有16种等可能的结果，其中他们参加相同实践课程的有4种，则他们参加相同实践课程的概率是．【点睛】本题考查了用概率公式求概率和用列表法或树状图求概率，关键是掌握概率的计算公式.【专题训练】选择题1．（2021·山东济南市·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：小华\小丽总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．故选C【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．2．（2021·全国九年级课时练习）有4条线段，分别为，，，，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】列举出所有情况，让能构成直角三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：4条线段的全部组合有，共四组．能构成直角三角形的组合只有一组，（能构成直角三角形）．故选：C．【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题关键是列出所有可能，能熟练运用概率公式求解．3．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级二模）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，∴两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为＝，故选B．【点睛】本题主要考查概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算公式.4．（2021·全国九年级课时练习）现有A、B两枚均匀的骰子，用骰子A的点数为x，骰子B的点数为y的方式来确定点，则各掷一次骰子所确定的点P落在已知抛物线上的概率是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再利用二次函数图象上点的坐标特征，找出点在抛物线上的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，点在抛物线上的结果数为（1，3），（2，4），（3，3）共3种，所以点在已知抛物线上的概率．故选：B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．二、填空题5．（2021·山东青岛市·九年级期末）已知线段a的长度为11，现从1～10这10条整数线段中任取两条，能和线段a组成三角形的概率为___．【答案】【分析】由10条线段中任意取2条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有90种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有40个结果．因而就可以求出概率．【详解】从1~10这10条整数线段中任意取1条，有10种可能结果；再从剩下9条线段中任意取1条，有9种可能结果；

所以从1~10这10条整数线段中任意取2条有10×9=90种等可能的情况，

三角形两边之和大于第三边，其中能和线段a组成三角形，即这2条线段的长度之和大于11的有：(2,10)，(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,5)，(7,6)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,4)，(8,5)，(8,6)，(8,7)，(8,9)，(8,10)(9,3)，(9,4)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,10)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)一共有1+2+3+4十4+5+6+7+8=40种等可能的情况；

故能和线段a组成三角形的概率为：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边．6．（2021·江苏盐城市·景山中学九年级月考）在□ABCD中，点E在AD上，在平行四边形内随意取一个点P，则点P落在△BCE内的概率为______．【答案】【分析】根据题意可以求得△BCE的面积是平行四边形ABCD面积的一半，由此即可求得概率．【详解】解：设三角形EBC中BC边上的高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴三角形EBC中BC边上的高于平行四边形中BC边上的高相等，∵，，∴，∴点P落在△BCE内的概率为．【点睛】本题主要考查了几何概率，解题的关键在于求出△BCE的面积是平行四边形ABCD面积的一半．7．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）李老师在墙上挂了一幅如图所示的图案，假设可以在图中随意钉钉子，那么这个钉子钉在阴影部分（边界忽略不计）的概率是_______．【答案】【分析】设阴影部分的面积为，则整个图形的面积为，再根据几何概率的求法求出概率．【详解】解：设阴影部分的面积为，则整个图形的面积为，则：(钉子钉在阴影部分)=．故答案为：【点睛】本题考查几何图形中概率的求法，根据相关知识点解题是关键．8．（2021·铜陵市第十五中学九年级期末）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标;求点A（a，b）的个数为：__________；点A（a，b）在函数的图象上的概率为：______．【答案】16【分析】（1）根据题意采用列表法，即可求得所有点的个数；（2）求得所有符合条件的情况，求其比值即可求得答案．【详解】解：（1）列表得：点的个数是16；（2）当时，在函数的图象上，点在函数的图象上的有4种，分别是：，点在函数的图象上的概率是；故答案是：16，．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．三、解答题9．（2021·无锡市天一实验学校九年级月考）车辆经过江阴大桥收费站时，个收费通道、、、中，可随机选择其中的一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择通道通过的概率是；（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；

（2）画出树状图即可得到结论．【详解】解：（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是，

故答案为：．

（2）设两辆车为甲，乙，

如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，

∴所以选择不同通道通过的概率为=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．10．（2021·浙江九年级月考）受疫情影响，小王准备从意大利坐飞机到杭州，然后坐班车回桐庐，意大利．到杭州仅有A、B两个班次飞机，从杭州到桐庐仅有C、D、E三个班次汽车．（1）请用列表或树状图的方法，表示小王从意大利到桐庐所有可能选择的交通情况；（2）若同一天有一名新型肺炎感染者乘A班次飞机和D班次汽车从意大利回桐庐，请你求出小王与这名新型肺炎感染者乘坐班次完全相同的概率．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据乘坐飞机和汽车的班次，列举出所有可能出现的结果情况；（2）根据概率的意义和计算方法进行计算即可．【详解】解：（1）用列表法，表示小王从意大利到桐庐的所有可能选择的交通情况如下：（2）由上表可知，共有6种可能出现的情况，其中乘A班次飞机和D班次汽车的只有1种，∴P（乘坐班次完全相同）=．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是解题的关键．11．（2021·辽宁沈阳市·中考真题）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是__________．（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，故答案为：；（2）列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．12．（2021·沈阳市第一三四中学九年级期末）小明和小亮是上海某高校的大学生，他们参加世博志愿者选拔并与甲、乙二人都进入了前4名．现从这4名入选者中确定2名作为志愿者．试用画树形图或列表的方法求出：（1）小明和小亮同时入选的概率；（2）小明和小亮至少有一人入选的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意，采用列表法，列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可；（2）由（1）可知，求出至少有一人入选的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：（1）根据题意，如下表：一共有12种可能结果，小明和小亮同时入选的可能结果有2种，因此，小明和小亮同时人选的概率=．（2）由（1）可知，小明和小亮至少有一人入选的结果有10种，∴小明和小亮至少有一人入选的概率为：．【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（2021·陕西交大附中分校九年级开学考试）某学校三名同学甲、乙、丙准备在周末参加十四运的志愿者活动，各自随机选择到乒乓球（项目）、羽毛球（项目）两个项目担任志愿者．（1）甲同学选择羽毛球项目志愿者的概率是________，（2）求这三人在同一项目担任志愿者的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）甲同学在2种等可能性结果中选择羽毛球项目的结果有1种，所以概率为；（2）利用树状图或列表法列出所有等可能性结果，从中得到符合题意的结果，列式计算即可．【详解】解：（1）甲同学在2种等可能性结果中选择羽毛球项目的结果有1种，所以概率为．（2）三名同学担任志愿者的所有可能情况如下图：由树状图知，所有等可能性的结果有8种，其中三人选择在同一项目担任志愿者的结果有2种，所以．【点睛】本题考查用树状图或是列表法求随机事件发生的概率，画图得出所有等可能性结果是解题关键．14．（2021·吉林九年级期末）某中学食堂在某天早餐提供了A（猪肉包），B（鸡蛋），C（油饼）三样食品，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐每人一份，每份含有两样不同的食品各一个，食堂师傅在窗口随机发放．（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是事件（填“可能”“必然”或“不可能”）．（2）请用列表或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到A（猪肉包）和C（油饼）的概率．【答案】（1）不可能．（2）P（A和C）=【分析】（1）根据题意中的约定，即可分析事件“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是否为确定性事件；（2）用画树状图的方法求出小张同学该天早餐刚好得到A（猪肉包）和C（油饼）的概率；【详解】（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；故答案为：不可能；（2）画树状图如图，共有6个等可能的结果，小张同学该天早餐刚好得到A（猪肉包）和C（油饼）的结果有2个，故P（A和C）=【点睛】本题考查了随机事件的定义，用列表法或画树状图法求概率，理解题意是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．15．（2021·连云港市新海实验中学九年级期中）将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张．（1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率；（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意可列出如下图的树状图，先将所有可能出现的结果列出来，然后将两次抽取的卡片上的数字之和大于5的结果列出来即可得出结果；（2）将两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的结果列出来，计算即可得出结果．【详解】解：根据题意可列出如下图的树状图，从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个，即(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)(1)两次抽取的卡片上的数字之和大于5(记为事件A)的结果有6个，分别为：(1，6)，(2，6)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，故

P(A)=；(2)两次抽取的卡片上的数字之和为奇数(记为事件

B)的结果有8个，分别为：(1，2)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，6)，(6，1)，(6，3)，故

P(B)=．【点睛】本题主要考查了概率的运算，属于基础题，难度一般，熟练掌握树状图的画法是解题的关键．16．（2021·江苏连云港市·九年级期中）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出红色，转盘转出蓝色，或者转盘转出蓝色，转盘转出红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小明获得音乐会门票：若两个转盘转出同种颜色则小芳获得音乐会门票．（1）利用列表或树状图的方法表示所有等可能出现的结果；（2）此规则公平吗？试说明理由．【答案】（1）见解析；（2）公平，理由见解析【分析】（1）用树状法画出所有可能出现的结果；（2）分别求出两人获得音乐会门票的概率，即可判断．【详解】解：（1）画树状图如图所示，∴所有可能结果为：（蓝，蓝），（蓝，红），（蓝，黄），（红，蓝），（红，红），（红，黄）；（2）∵共有6种等可能结果，其中能配成紫色的共有2种，转出同种颜色的共有2种，∴P（配成紫色）=，P（颜色相同）=，∴游戏公平．【点睛】本题考查了游戏的公平性，列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提．17．（2021·全国九年级课时练习）—个不透明的口袋里装有分别标有以学“书”、“香”、“门”、“第”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能