2025届浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学数学高三上期末考试试题含解析

2025届浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学数学高三上期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集为R，集合，，则A． B． C． D．2．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）A． B． C． D．3．若复数满足（是虚数单位），则（）A． B． C． D．4．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（）A．64 B．32 C．2 D．45．已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．6．在等差数列中，若，则（）A．8 B．12 C．14 D．107．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（）A．或 B． C． D．8．若（是虚数单位），则的值为（）A．3 B．5 C． D．9．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为()A． B． C． D．10．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（）A． B． C． D．11．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（）A． B． C．1 D．12．已知是第二象限的角，，则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.14．如图在三棱柱中，，，，点为线段上一动点，则的最小值为________.15．设为定义在上的偶函数，当时，（为常数），若，则实数的值为______.16．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.18．（12分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线．19．（12分）已知函数.（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.20．（12分）改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计（Ⅰ）求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82821．（12分）已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：.22．（10分）已知函数.（1）求的极值；（2）若，且，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、B【解析】

由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即为答案.【详解】由题可知，对其向左平移个单位长度后，，其图像关于坐标原点对称故的最小值为故选：B【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.3、B【解析】

利用复数乘法运算化简，由此求得.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.4、A【解析】

根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知：，，故，，.故选：.【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.5、A【解析】

根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.【详解】由题知，，则.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..6、C【解析】

将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，，得解得，，所以．故选C．【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.7、C【解析】

设公差为，则由题意可得，解得，可得.令

，可得

当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的.【详解】解：等差数列中，已知，且，设公差为，

则，解得

，.

令

，可得，故当时，，当时，，

故数列前项和中最小的是.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.8、D【解析】

直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】（是虚数单位）可得解得本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.9、D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.10、C【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．11、D【解析】

根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足，所以，所以z的虚部为.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12、D【解析】

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据向量关系表示，只需求出的取值范围即可得解.【详解】由题可得：，故答案为：【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.14、【解析】

把绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，，三点共线时最小为，为直角三角形，故答案为：【点睛】本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.15、1【解析】

根据为定义在上的偶函数，得，再根据当时，（为常数）求解.【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，又因为当时，，所以，所以实数的值为1.故答案为：1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16、【解析】

由复数对应的点，在第二象限，得，且，从而求出实数的范围．【详解】解：∵复数对应的点位于第二象限，∴，且，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式，且是解题的关键，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解；（2）设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB（不含端点）相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】（1）直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段AB的中点是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为.（2）由（1）联立,解得或,不妨令,易知直线l的斜率存在,设直线,代入,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线l与线段AB（不含端点）相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,,则,所以,当,即时,，因此四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.18、（1）（2）见解析【解析】

（1）设，求出后由二次函数知识得最小值，从而得，即得椭圆方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，设，由韦达定理得，设，利用三点共线，求得，然后验证即可．【详解】解：（1）设，则，所以，因为．所以当时，值最小，所以，解得，（舍负）所以，所以椭圆的方程为，（2）设直线的方程为，联立，得．设，则，设，因为三点共线，又所以，解得．而所以直线轴，即．【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，采取设而不求思想，设，设直线方程，应用韦达定理，得出，再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形．19、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）求出，判断函数的单调性，求出函数的最大值，即求的范围；（2）由（1）可知，.对分和两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论．【详解】（1）由，得.令.当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，.对任意恒成立，.（2）证明：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，.若，则，令在上单调递增，，.又，在上单调递减，.若，则显然成立.综上，.又以上两式左右两端分别相加，得，即，所以.【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.20、（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）见解析，【解析】

（Ⅰ）直接根据频率和为1计算得到答案.（Ⅱ）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.（Ⅲ）的取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（Ⅰ），解得.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.（Ⅱ）安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100，所以有的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）的取值为所以的分布列为期望.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、证明见解析【解析】

由已知，易得，所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸边形的面积为1，所以，所以（由柯西不等式得）（由均值不等式得）【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.22、（1）极