专题08规律探究

08规律探究1．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且）行从左向右数第个数是（用含n的代数式表示）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵第的最后一个数是∴第n（且n是整数）行从左向右数第个数是故选B2．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，…，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，∴矩形的边长和矩形的边长的比为，∴矩形的面积和矩形的面积的比为，∵，，，…∴．故选：D．3．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，第n次操作后，得到△AnBnCn，要使△AnBnCn的面积超过2022，则至少需要操作（

）次．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【详解】解：连接，如图所示：∵AB＝A1B，∴，∵CB1＝BC，∴∴，同理可得，，，∴同理可证：，第三次操作后的面积为：7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401．故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2022，最少经过4次操作，故C正确．故选：C．4．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，正方形的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD，，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，∴△AA1B∽△DAO，∴，∵AD＝AB，∴A1B，∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（）2＝5•（）2；同理可得，A2C2＝（）2第2个正方形的面积为：S2＝5•（）4…第n个正方形的面积为：S2＝5•（）2n∴第2021个正方形的面积为：S2021＝5•（）4042．故选：D．5．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值:①；②；③；④观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为__________．【答案】325【详解】解：①；②=3=1+2；③=6=1+2+3；④=10=1+2+3+4，…，∴=1+2+3+…+n，∴=1+2+3+…+25=325．故答案为：325．6．图是第七届国际数学教育大会（ICME7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图中的，按此规律继续演化，则线段的长为___________

【答案】【详解】解：，由勾股定理可得：，，，可知，，故答案为：．7．已知如下一元二次方程:第1个方程:；第2个方程:；第3个方程:；按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为________________；第n(n为正整数)个方程为_____________________，其两个实数根为____________________.【答案】

17x2+16x1=0

(2n+1)x2+2nx1=0

x1=1，x2=【详解】试题分析：仔细分析所给方程的特征可知二次项系数是从3开始的连续奇数，一次项系数是从2开始的连续偶数，常数项均为1，根据这个规律求解即可.解：由题意得第8个方程为17x2+16x1=0，第(为正整数)个方程为(2n+1)x2+2nx1=0，解得x1=1，.8．如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．【答案】【详解】解：探究规律：AB=8，BC=6，AC=7，分别为的中点，同理：总结规律：运用规律：当时，故答案为：9．已知一列数：，，，，，……，认真观察发现其中的规律，用含有（正整数）的代数式表示第个数是______．【答案】【详解】解：第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，第5个数为，……所以第n个数为．故答案为：．10．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①位置可得到点，此时；将①位置的三角形绕点顺时针旋转到②位置，可得到点，此时；将②位置的三角形绕点顺时针旋转到③位置，可得到点P3，此时；…，按此规律旋转，直至得到点为止，则=_______．【答案】【详解】根据题意，得，，，，，，所以循环节为3，且规律如下：，，，因为2023÷3=674…1，所以=．故答案为：．11．如图，在边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使…则的长度是______；按此规律所作的第个菱形的边长是______．【答案】

【详解】解：如图，连接，交于点，四边形是菱形，且边长为，，，，，，是等边三角形，，，，，同理可得：，，由此可知，第一个菱形的边长为：，第二个菱形的边长为：，第三个菱形的边长为：，归纳类推得：第个菱形的边长是，其中为正整数，故答案为：，．12．如图，直线l的解析式是，点在直线l上，，交x轴于点，轴，交直线l于点，，交x轴于点，按照此规律继续作下去，若，则点的坐标为______．【答案】【详解】解：设点的坐标为（x，），由勾股定理得，解得：或（舍去），∴，∵，∴＝60°，∵，，∴，∴，，依此计算可得：，，…，，∴，∴点的坐标为（，），故答案为：．13．观察下列一组方程：①；②；③；④；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”。若也是“连根一元二次方程”，则的值为________，第个方程为______________．【答案】

15

【详解】第一个方程的根是0和1；第二个方程的根是1和2；第三个方程的根是2和3；第四个方程的根是3和4；…第n个方程的根是n1和n;且方程的形式是：x2+(p+q)x+pq=0，且n1和n是非负数；所以：若也是“连根一元二次方程”，则由（x7）（x8）=,可得的值为15；第n个方程是：14．如图，在中，，，．分别是的中点，连接；分别是的中点，连接；……按此规律进行下去，则中最短边的长度为_______．【答案】【详解】解：在中，，，，是的中点，∴，中最短边的边长为，中最短边的边长为，中最短边的边长为，∴中最短边的边长为，则中最短边的边长为，，故答案为：．15．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，则矩形的面积为______；再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为________．【答案】

【详解】解：矩形的面积，由勾股定理得：，则矩形和矩形的相似比为，矩形矩形，矩形的面积；同理，矩形的面积，矩形的面积，则的面积为；故答案为：，．16．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则______．【答案】【详解】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴△ABC的高为：，，∵DE、EF分别是△ABC的中位线，∴，∴，同理可得；…，∴；故答案为：．17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．【答案】【详解】解：当x=1时，，∴点，∴，∴，∵根据题意得：，∴∽∽∽∽……∽，∴∶∶∶：……∶=OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，∵，，，，……，∴，，，……，，∴∶∶∶∶……∶=，∴，∴．故答案为：．18．如图，中，，，BC边上的高，点、、分别在边AD、AC、CD上，且四边形为正方形，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为______．【答案】【详解】解：∵BC边上的高AD=1，∠B=45°，∴BD=1，∴DC=BCBD=41=3，∵AD⊥DC，∴AC=，设P1D=x，则AP1=ADP1D=1x，P1Q1=H1Q1=H1D=P1D=x，∵四边形P1Q1H1D为正方形，∴AD∥Q1H1，∴△ADC∽△CH1Q1，∴，∴，解得x=，∴P1Q1=H1Q1=H1D=P1D=，∴∴△ADC和△CH1Q1的相似比是，同理：△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，∴△ADC和△CH2Q2的相似比是（）2，依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是∴∴Q2022C＝．故答案为：．19．如图，在中，，，分别是，边的中点，，分别是，的中点，，分别是，的中点……按这样的规律下去，的长为_____（为正整数）．【答案】【详解】解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，∴P1M1是△ABC的中位线，∴P1M1=BC=，同理可求：P2M2=P1M1=×＝，P3M3=P2M2=×＝，…，∴PnMn=，故答案为：.20．如图，在等腰直角三角形中，，，分别连接，，的中点，得到第1个等腰直角三角形；分别连接，，的中点，得到第2个等腰直角三角形……以此规律作下去，得到等腰直角三角形，则的长为______．【答案】【详解】解：在等腰直角三角形中，，，∴，∵、、是中点，∴，∴，∴，∴；∴，∴；同理可求：；；……∴，∴；故答案为：．21．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续下去，若，则正方形的面积为________．【答案】【详解】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴，∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴，∵OA1=1，∴OA2=2，∴A1A2=1，∴正方形A1B1C1A2的面积=1=40，∵OA1=A1A2=A1B1=1，∴∠B1OA1=45°，∴OA2=A2B2=2，∴正方形A2B2C2A3的面积=2×2=41，∵A3B3⊥x轴，∴OA3=A3B3=4，∴正方形A3B3C3A4的面积=4×4=16=42，……则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为420211=42020=24040，故答案为：24040．22．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“……”的路线运动．设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是_______________．【答案】【详解】解：如图，过作轴于，则，而，∴，，∴每6秒的纵坐标规律：，0，，0，，0，∵余1，∴点的纵坐标为，由题意可知动点P每秒的横坐标规律：，1，，2，

，3，…，，∴点的横坐标为，∴点的坐标，故答案为．23．如图，中，，，边上的高，点分别在边上，且四边形为矩形，，点分别在边上，且四边形为矩形，，…按此规律操作下去，则线段的长度为_____．【答案】【详解】∵，∴设，则可得，∵四边形为矩形，∴，，∴，∴，即，∴，∵∴，∴；由勾股定理得，∵，∴∴；由于，且四边形为矩形，，类似地得：,∴，，…，，∴．故答案为：．24．如图，正方形的边长为1，正方形的边长为2，正方形的边长为4，正方形的边长为8…依次规律继续作正方形，且点，，，，…，在同一条直线上，连接交，于点，连接，交于点，连接，交于点，…记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，四边形的面积为，则________．【答案】【详解】∵正方形的边长为1，正方形的边长为2，正方形的边长为4，正方形的边长为8…依次规律继续作正方形，且点，，，，…，在同一条直线上，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，四边形的面积为，∴，∴，∴，∴，∴=，同理可证，=，由此推测，=，当n=2022时，=．25．如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．【答案】【详解】解：点在直线上，点的横坐标为2，点纵坐标为1．分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；,类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有，不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：，，按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，故答案是：．26．如图，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为____．【答案】．【详解】解：在矩形OAA1B中，∵OA=3，AA1=2，∴∠A=90°，∴，∵，∴，∵∠OA1A2=∠A=90°，∴△OA1A2∽△OAA1，∴∠A1OA2=∠AOA1，∵A1B//OA，∴∠CA1O=∠AOA1，∴∠COA1=∠CA1O，∴OC=CA1，∵∠A2OA1+∠OA2A1=90°，∠OA1C+∠A2A1C=90°，∴∠CA2A1=∠CA1A2，∴CA1=CA2=OC，同法可证OC1=A3C1，∴CC1∥A2A3，CC1=A2A3，∴S△CC1A3=S△CC1A2，∵，∴，∴，∴，∴，同法可证，由题意，，∵△C2A3C1∽△C1A2C，∴相似比为：，∴，…，由此规律可得，△C2019C2020A2022的面积为．故答案为．27．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：______；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)（n为正整数），证明见解析【详解】（1）解：结合以上规律容易得出第四个等式为：，故答案为：；（2）结合规律猜想第n个等式：（n为正整数），证明：