湖南师范大学某中学2024届高三摸底（高二期末）考试数学试卷（含答案）

湖南师范大学附属中学2024届高三摸底（高二期末）考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、设集合A={无EN“|2'<4},^={XGN|-1<X<2},则AJ8等于（）

A.{x|-l<x<2}B.{X|X<2}C.{O,1}D.{1}

2、若复数z满足|z|=|z+2i|,其中i是虚数单位，则复数z的虚部是（）

A.1B.-lC.iD.-i

3、函数f（x）=logqW+l（Ovavl）的图象大致是（）

4、快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本

与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的

距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽10km处配建分拣中心，则每月的土地租金

成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货

运枢纽的距离应设置为（）

A.5kmB.6kmC.7kmD.8km

5、八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八

边形ABCDEFGH,设其边长为小中心为。，则下列选项中不正确的是（）

A.ABAC=ABAD

B.OAOB+OCOF=0

C.EG和HD是一对相反向量

D.\AB-BC+CD+EF-FG^=a

6、己知0后（仁一0）=¥,贝ijcos（2a-与）等于（）

A.--B.-C.-lD.1

9933

7、已知｛（｝是公差为3的等差数列，其前〃项的和为S“，设甲；｛4｝的首项为零；

乙：SZ+3是5+3和S3+3的等比中项，贝ij（）

A.甲是乙的充分不必要条件

B,甲是乙的必要不充分条件

C甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8、已知函数/（力=丁+2，+2：若不等式/（1一双）</（2+f）对任意x£R恒成立,

则实数。的取值范围是（）

A.（-2石,2）B.（-2>^,2>/3）C.（-2,2>5）D.（-2,2）

二、多项选择题

9、随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增

加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指

标，下面是2017-2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，贝心）

2017-2022年我W社会物流总费用,CDP的比率统计

A.2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多

B.2017-2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为14.9万亿元

C2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.3%

D.2022年我国的GDP超过了121万亿元

10、已知｛4｝是各项均为正数的等比数列，其前n项和为s“，且｛S“｝是等差数列，则

下列结论正确的是（）

A.｛《+S〃｝是等差数列B.｛《.S.｝是等比数列

C｛4｝是等差数列D.1号4是等比数列

n

11、先将函数/（x）=2si似的图象向右平移2个单位长度，再将横坐标缩短为原来的;

（纵坐标不变），得到函数网力的图象，则下列关于函数g（Q的说法中正确的是（）

A.在上单调递增

B.当xw5兀时，函数g（x）的值域是

C其图象关于直线1=学对称

6

D.直线y=2百工-1为曲线y=g（x）的切线

12、如图，在棱长为3的正方体ABC。-4与GR中，点p是平面ABG内的一个动

点，且满足产。+「g=2+屈，则下列结论正确的是（）

A.BQ工PB

B.点P的轨迹是一个半径为g的圆

c,直线qp与平面ABC1所成角为。

D.三棱锥尸-88G体积的最大值为3+如

22

三、填空题

13、高二年级体锻课时间提供三项体育活动，足球、篮球、乒乓球供学生选择.甲、乙两

名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选

（1）若a=1，0=：，7=7,求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；

236

（2）当，=0时、若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望

E（X）的最大值.

21、已知正项数列｛〃“｝满足：4=3,且4=川，HGN\

（1）设么=〃「?，求数列出｝的通项公式；

，1，、

（2）设％=禽+靛，求数列｛%｝的前几项和北，并确定最小正整数〃，使得T”为整数.

22、设双曲线。:与-马=1（〃〉0/>0）的右焦点为凡点。为坐标原点，过点尸的直

ab

线/与C的右支相交于A,8两点.

（1）当直线/与x轴垂直时，OAVOB,求。的离心率；

（2）当。的焦距为2时，NAQB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：

2、答案：B

解析：设Z=〃+加，则根据题意|々+回=|。+0+2川，有以2+从=/+S+2)2,得至|J

b=—l,所以z的虚部是-1.故选B.

3、答窠：A

解析：

4、答案：A

解析：设土地租金成本和运输成本分别为叱万元和％万元，分拣中心和货运枢纽相

距skm,则根据题意易知叱二竺叱=&，故叱+叱=竺+之乜但三=8,当

s5s5V55

且仅当s=5时取等号.故选A.

5、答案：C

解析：A项，由于288=135,明显有A8JLC。，故

ABAC-ABAD=ABDC=O^A正确；

B项,OA-OB+OC-OF=OA-OB+OA•OD=OA-(0B+0。)=0,B正确；

C项，EG和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，C错误；

D项，IA8—8C+CD+E/—fUKICONa,D正确.故选C.

6、答案：A

7、答案：C

解析：由｛4｝是公差为3的等差数列，可知，+3=4+3,S2+3=2«,+6,

S3+3=3a,+12,若S?+3是S1+3和S3+3的等比中项，贝I」

(为+6)2=(q+3)(3%+12),解得4=。或4=-3(舍去,因为此时

S1+3=S2+3=0）,可见“4=0”是“S?+3是。+3和S3+3的等比中项”的充要条件.故

选C.

8、答案：D

解析：函数/（1）=丁+2'+2、的定义域为R,且/（—）=/+2-，+2'=〃力，

所以/（切为偶函数,又当》“时,g（x）=V是增函数，

令咐）=2*+2-*,任取％,XjG[0,-H»）,且%＞占，

则/2Q）—力（々）=2.+2』-（2々+二）=（2*—2必）|^£[

因为%＞/，为，电《。,4"00），

所以2曷-2日＞0,2/%—1〉0,

所以秋％）一秋々）＞0,

所以〃（元）=2、2r在[0,”）上是增函数，即y=/（力在[0,3）上是增函数，

所以不等式/。-⑪）＜/（2+丁）对任意xeR恒成立，

转化为|1-时v2+f,即一2—寸＜1一如＜2+f,

所以f+公+1＞0和』_公；+3＞（）在R上恒成立，

①若“2+办+1＞0在R上恒成立，则△|=/一4＜0,解得一2＜。＜2；

②若d一以+3＞0在R上恒成立，则△2=。2-12＜0,解得—2＞/5＜々＜2石；

综上所述，实数。的取值范围是（-2,2）.

故选；D.

9、答案：AD

解析：由图表可知，2018・2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的

最多，且增长为16.7-14.9=1.8万亿元，故A正确；

因为6x70%=4.2,则70%分位数为第5个，即为16.7,所以这6年我国社会物流总

费用的70%分位数为16.7万伦元，故B错误；

由图表可知，2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为

14.8%-14.6%=0.2%,故C错误；

由图表可知，2022年我国的GDP为17.8+14.7%n121.1万亿元，故D正确.故选：AD.

10、答案：ACD

解析：由｛S〃｝是等差数列，可得2(4+勺)=4+4,

•••｛%｝是各项均为正数的等比数列，」.々二小夕，可得<7=1，“L"》。

+S“=(〃+l)q,「•数列｛a〃+S〃｝是等差数列，因此A正确；

・4=心「.｛d｝是常数列，为等差数列，因此C正确；

,・,2=4>o，.•J&]是等比数列，因此D正确；

•・•〃£=*，..・｛。〃•邑｝不是等比数列，因此B不正确.故答案为ACD.

11、答案：BCD

/\

解析：由题可得g(x)=2sin2x~,

<6，

当xjg哥时,21-”依学，故函数g(x)在住,书上不单调,故A错误；

Vo127o\oJ)10"/

71,一兀5兀11兀兀

当4£5,兀时，2x--e

0666

g(x)=2sin(2x-1e[-2>1]»故B正确；

当工="时，2x-故函数g(x)的图象关于直线X对称，故C正确；

6626

因为g(x)=2sin(2x-，所以/(力=4cos(2x-，

若直线y=26r-l为曲线y=g(x)的切线，则由<(切=4以)5(2/一卷)=2百，可得:

x=kji^x=kn+—,

6

当x=E时，g(x)=-l,于是2、GxE-1=-1,解得：4=0,

当工=阮+：时，g(x)=l,于是28+—l=此时无解.

6I6)

综上，直线y=2x/3x-l为曲线y=g(x)的切线.故D正确.

故答案为BCD.

12、答案：ACD

解析：对于A选项，连接耳A,••四边形aqcQ为正方形，

I)

,•,OR_L平面A]81Goi，4。|<=平面4与£。[,/.AG1DD\

BQ】QDR=D[,AC，平面BlDDl,

.81£)u平面与。。[,B]O_LAC]

同理可证qOJLAB,・.,43riAC|=A，81O_L平面48C],

•・・P8u平面ABC1，.♦.PB_L旦。，A对；

充于B选项，设4。。平面AZ?G=E,

・：AB=BC\=ACi=3立,A旦=34=与6，.•.三棱锥用-A^G为正三棱锥，

:.B,E=^BB；-BE2=73,•4。=36，；.DE=BJD-B】E=25

・・・8Q_L平面ABC]，「石匚平面人出,「二尸七上四。，即用七_LPE,DE上PE,

•：PD+PB[=2+屈,7PE?+12+qPE?+3=2+旧，•；PE〉0,解得PE=1,

•・•点尸的轨迹是半径为1的圆，B错；

充于C选项，平面480,「.gP与平面ABC；所成的角为NBfE,

且tan/耳尸后二皆=6,VO^Z^PE^I，故/旦PE=1,C对；

行于D选项，点E到直线BG的距离为g哈争

.••点尸到直线阳的距离的最大值为迈+1,

2

・・・司七，平面A.BQ,/.三棱锥B「BPQ的高为B.E,

三棱锥1-即(体积的最大值为13(6+⑹xJ=3+6,D对.

322

故选：ACD.

13、答案：-

3

解析:

14、答案：[一1,2]

呜当呜心小小台才2,当且仅岑十时

解析：由题可知,

等号成立，所以要使不等式X+2之疗一加恒成立，即病—施42,解得TWmK2.

4

..小432K

15、答案：—^―

解析：如图,

取8s的中点W,连接AE,CE,.,.8£=£。=；8。=&设443。的外心为6,

・：BC=CD=2,BD=2日AC=2及，.•.△88为等腰直角三角形,

.•.EC=；BO=&,•.△”£＞是等边三角形，.•.AE_L8O,AE=®

?[7

：.GA=GB=GD=^^,在△A£C中，EC2+AE2=AC\AAE1EC,

3

2[Z

在/XGEC中，由£C2+G£：2=GC:可得GC=-^—=GA=GB=GO,

3

・•.G为外接球的球心，・•・该三棱锥的外接球表面积为4TIXR2=亍.

故答案为：子32兀.

16、答案：4—A/?3

解析：由题可知点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆,

AP=AC+CP,BP=BC+CP,

APBP=^AC+CP\^BC+CP^=ACBC+CP\AC+BC^CP2,

v|c?|=l,:.APBP=^CP（AC^BC\又向量A&Bd是长度为E的一个向

量，

由此可得，点P在圆C上运动，当CP与4C+B。共线反向时，CP（AC+Bd）取最小

值，且这个最小值为-而，故ARB户的最小值为4-

7T

17、答案：(1)A=-

(2)AD=---

2

解析：(1)2csin4cosB+2Z?sirL4cosC=\f3ci»由正弦定理得：

2sinCsiMcosB+2sinBsin4cosC=\Z3sirt4,sinA>0,

.,.sinCcosB+sin3cosC=弓，/.sinA=sin(B+C)=曰，c>a,

:.A=—.

3

(2)方法一：由已知：SAMC=；匕c*sinA=2G,得c=4.

|||Q

AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AC+-AB

44V744

(\3A249x166x2x4143

(AD)2=-AC+-AB=—+------+---------x-=,

(4416161624

方法二：由己知：S^ABC=^hcsinA=2yf3f得c=4.

由余弦定理/=//+/—2Z?ccosA=12

——->>/33G

•:CD=3DB，:.BD=—CD=—.

2f2f

设AO=x,

、3

厂+——1ir6

在△AB。中，cos^ADB=---餐—；

27）

2+-----4

在△ADC中，cos^ADC=盅一

2x-——x

2

由cos/A£>3+cos/4）C=0,解得工=渔

2

n｝

18、答案：（1）xn=2~

（2）（2"1）X2〃+1

2

解析：（1）因为石+三+一舒+含=袈，

用〃—1替换上式的〃，得阿+%-+轴=（心2）.

两式作差，即得生i-今-也孚整理后有4的=2七（〃22）.

222

在原式中令〃=1,得2石=%2，故％+i=2%对任意〃EN'都成立.

而｛《｝的首项为1，故工工。，所以｛5｝是公比为2的等比数歹U.

因此｛玉｝的通项公式是z=2"）

（2）由⑴得x〃+f=2。

故。=g（〃+〃+l）（%f）=（2〃+l）x2"-2.

明以5=3x27+5x2。+…+（2〃-1）X2〃—3+（2〃+1）X2"-2.

又2s〃=3X20+5X2".,+（2〃-1）X2"-2+（2〃+1）X2”-，

作差得S〃=-3X2-'-（2,+22++2"T）+（2/?+l）xT-'

32x（1-2，i）

+（2M+1）X2/,_,

--21-2

（2H-l）x2tt+l

2

19、答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）取8C中点P,作直线Cf即为所求.

取A8中点〃，连接A"，P”，则有P////AC,PH=^ACf

如图，在等腰梯形AACR中，AC=2AG，所以HP//AC，HP=A£

则四边形A。/"为平行四边形，

所以GP〃A”,

又4"u平面448,①平面4A8,

所以GP〃平面AA8.

（2）过点B作8。UAC于O',

在等腰梯形A4CG中，AC=2A41=2AC,=4,所以该梯形的高/?=百，

用以等腰梯形AACG的面积为S=3百，

所以四棱锥8-4ACG的体积V=gsx8O'=2百，解得8。=2,

所以点。'与。2重合，

以。2为原点，o?B，O2cf02a方向为居y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则

C（O,2,O）,8（2,0,0）,A（0-2,0）f4仅，-1，间，G（OJ@,

M=（0,1,5/3）,AB=（2,2,0）,CC；=（O,-1,6）,BC=（-2,2,0）

设平面AA3的法向量为a=（%,%,zj,

所以卜+后=。，

2x,+2y=0.

取马=1,贝但

同理可得平面GCB的法向量为b=（石，石,1）,

设平面AA8与平面GC8夹角为a,

ab3-3+1

则cosa=

MxHyj3+3+1x>/3+3+17

故平面AAB与平面C\CB夹角的余弦值为；.

20、答案：（1）2

13

（2）分布列见解析，期望最大值为：

4

解析：（1）用事件4B,。分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”或“平局”，则

尸（A）=a=4,P⑻=0=；,P（C）=y=!,

230

记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N,则事件N包括事件A844BAAA,

ACCAfCACAfCCA4共5种，所以

尸（N）=P（ABAA）+P{BAAA）+尸（ACC4）+P（C4c4）+P{CCAA）

3/,\2

=2P$）P（A）P（A）P（A）+3P（C）P（C）P（A）P（A）=2xgx（£|"4）

（2）因为7=0,所以每局比赛结果仅有“甲获胜''和"乙获胜”，即夕=1,

由题意得X的所有可能取值为2,4,5,则

p（X=2）=P（A4）+P（BB）=a2+,

尸"=4）=P（钻4/1）+0（明44）+。（4588）+尸（&38）=（口+肉）储+（3+加）尸2

=2诩（修+夕），

P^X=5）=P[ABAB）+P{ABBA）+P（BABA）+P{BAAB^^a1p2^-a2ft2+a2/32+O1Pz

.所以X的分布列为

X245

2的（M+62）

Pa2+p24a2P2

用以X的期望七”）=2（〃+尸2）+8s伍2+，）+20储夕2

=2（1-2a/3）+83（1—2a+20a2j32=4a2/72+4叩+2,

因为a+尸=1N2^，所以当且仅当。二/二;时等号成立，所以

（1\213

所以£：（乂）=轨2/2+4必+2=（2必+1）2+142乂一+1+1=—,

I4J4

IQ

故E（X）的最大值为

2、答案：⑴

（2）9

解析：⑴因为4(匕「1)=2(。：-1)%,且%>0,

.•.^^=2.妇，即--’=2k,

a

。用q4+iIn)

j8

•.也中=叽，又4=4_：=鼻/0,

v4tD

Q

,也｝是首项为：，公比为2的笔比数列，

.也=伉2"=『

।(]丫

(2)因为q,=。；+下=4---+2,

/Ian)

=©+04+削"..+联4“-1+2"=*12"黜一1）+2〃

若空为整数,因为2〃wZ,•••,（4"-l）wZ,即」4"-l）wZ.

4"-1=（3+1）"-1=C：3"+C；3“T++C；333+C7232+C丁3+C；；-l

=C：3”+C：3”7++C；：-333+Cr232+C：-'3.

.•.C；2