2025届高三数学一轮总复习 第七章 第六讲 双曲线配套课件

第六讲双曲线2025年高考一轮总复习第七章

平面解析几何1.双曲线的概念

平面内与两个定点F1，F2

的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当a<c

时，点M的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点M的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，点M不存在.项目图形2.双曲线的标准方程和几何性质项目性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线(续表)项目性质离心率实、虚轴实轴A1A2的长为2a；虚轴B1B2的长为2ba，b，c

的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)(续表)

3.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为

【名师点睛】双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b.设渐近线与实轴的夹角为θ，则双曲线的离心率为考点一双曲线的定义答案：C

2.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M与圆C1及圆C2

均外切，则点M的轨迹方程为____________.

解析：如图D77所示，设动圆M与圆C1

和圆C2

分别外切于A，B两点. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，|AC1|＝1，|BC2|＝3，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，图D77即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.所以点M到两定点C2，C1

的距离的差是2，且2<|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，且|MC2|>|MC1|，得动点M的轨迹为双曲线的左支，其中2a＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝8.答案：9【题后反思】(1)利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.考点二双曲线的标准方程答案：D答案：D3.(2023年商丘市三模)我们通常称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”.写出一个焦点在x轴上、对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程________________.【题后反思】求双曲线的标准方程的方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程. (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2

的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位求λ的值.

注意：①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论.②常见双曲线设法(ⅰ)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；(ⅱ)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；λ(λ≠0).考点三双曲线的几何性质考向1求双曲线的渐近线方程解析：由题意知，双曲线如图7-6-1所示.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，点P是C的右支上一点.图7-6-1由Rt△MOF1∽Rt△F2PF1，答案：A答案：D考向2双曲线的离心率通性通法：求双曲线的离心率或其范围的方法如图7-6-2，过点P作x轴的垂线，垂足为N，PN＝n，BN＝m－1，AN＝m＋1.图7-6-2因为PN//MB，所以∠BPN＝∠PBM.又∠PAB＝∠PBM，所以∠BPN＝∠PAN.所以Rt△BPN∽Rt△PAN.答案：A答案：B

【考法全练】若M位于第一象限，如图D78(1)，则(2)图D78(1)若M位于第四象限，如图D78(2)，则故选AB.答案：AB可得c2＋2a2－3ac＝0，e2＋2－3e＝0，因为e＞1，图D79所以解得e＝2.故选B.答案：B⊙与双曲线有关的最值和范围问题答