高中数学1理 第五章平面向量

第五章

DIWUZHANG平面向量

1.平面向量线性运算的几何意义、数显树的定义,必考财本章内容的考查以基础题为主.主要

长度、角度问题及平面向中教优枳的坐标表示及考查内容命题特点考查三块内容：（1）平而向我的线性运算

运其是常考内容.及几何意义；（2）平面向过的数过机的定

2.有时向量也会作为解答鹿的•个条件出现.如义及长度、角度问题：（3）平面向过的数

量职的坐标表示.一般以选择照、填空膻

与解析几何.三角函数等结合考《£.

的形式直接进行考杳.雌度不大.解答题中

考频赋分有时与三角函数、解析几何等内容综合考

命题规律杳.以一个已知条件的慰式出现.

直接考查.分值为5分.

解题方法

直接考森向时的试题•般为中等偏F难度市时作题型难度宜接法、公式法.转化法.教形结合法.

为一个已知条件在解答题中出现.要求能i则；R向坐标法等.

缺的含义.这种情况我们•般要么利用向卡的儿

何意义来做.要么转化为向优的代数运克.

核心索养以考查教学运算与逻辑推理为主.

第一节平面向量的概念及线性运算

・梳教初•固基砒-----基固为根必备知识

［基础自梳］

1.向量的有关概念

（1）向量的定义：既有大小，又有方面的量叫向量，常用。或布表示.

（2）向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的近度叫做向量的模，记作⑷或

|丽.

（3）几个特殊向＞：_____________________________________________

长度（模）方向

零向量0任意

单位向量1任意

相等向量相乘相同

相反向量相等相反

平行向量相同或相反

2.向量的加法、减法与数乘

定义法则（或几何意义）运算律

Q»b/J(1)交换律：a

+b=h+

求两个向量和的运a；

加法

算(2)结合律：(〃

三角形法则之〜+b)+c=

平行四边形法则”+(b+c)

向量a加上向量b

a—b=a+

减法的相反向量叫

(一b)

做。与b的差a

三:角吻法则

数乘实数a与向量。的积(l)Ua|=Ulla|；(1)Ma)

的运算⑵当2>0时,痴与。的方向=如)4；

相同:(2)(/1+")。=

当1<0时.〃与”的方向a：

相反;(3况Q+b)=

当2=0时，Xa=0北+劝

3.共线向量定理

向量”3X0）与力共线，当且仅当有唯----个实数九使b=Xa.

思考拓展

1.与向量。共线的单位向量为端.

2.两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适左三角形法则.

3.A,B,。三点共线，。为A,B,C所在直线外任一点，则后=2既+4沅且2+"=

1.

4.若篇=流，则A,B,C三点共线.

［基础自测］

1.（教材改编）如图，D,E,9分别是△48C各边的中点，则下列结论错误的是（）

\.EF=CD

B施与无共线

C.而与诙是相反向量

D.4E=1|AC|

［答案］D

2.（教材改编）如图，的对角线交于M,若初=〃，筋=4用a,b表示^^为（）

4444

C.一呼一与D.一乃+，

［答案ID

3.（易错点：向量的加减法则）设M为平行四边行A8CD对角线的交点，。为平行四边

形48co所在平面内任意一点，则亦+初+沆+而等于（）

X.OMB.20MC.3OMD.4OM

［答案］D

4.（2018•全国I卷，T6改编）在△A8C中.AO为8C边上的中线.则助用油和公表示

为.

［答案］病=；初+紧

5.（易错点:向量的几何意义）若菱形A8CD的边长为2,则而一无+诙|=.

f答案12

■研考点-练方法点明为纲关键能力

考点一向量的基本概念

[例1](1)给出下列五个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若⑷=步|,则。=从

③在%BCO中，一定有赢=比；

④若m=n,〃=p,则m=p：

⑤若b//c,则a〃c.

其中不正确的个数是()

A.2B.3C.4D.5

B[两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同

的起点和终点，故①不正确；\a\=\b\t但明b方向不确定，所以出。不一定相等，故②不

正确：③、④正确：零向量与任一非零向量都平行，当6=0时，”与c不一定平行，故⑤不

正确.]

(2)给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③瓶=0(2为实数)，则2必为零.

④2,4为实数，若羽=〃b,则。与b共线.

其中错误的命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

C[①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.

②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，

故可以比校大小.

③错误.当。=0时，不论2为何值，相=0.

④错误.当4="=0时，布=7必=0,此时，。与。可以是任意向量.]

方法指导掌握向量有关概念的关键点

(1)定义，方向和长度，二者缺一不可；向量无大小.

(2)非零共线向量，方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；与起点无关；非

零向量的平行也具有传递性.

(3)相等向量，方向相同且长度相等，与共线向量不同；相等向量具有传递性.

(4)单位向量，方向没有限制，但长度都是一个单位长度；前是与。同方向的单位向量.

(5)零向量，方向没有限制，长度是0,规定零向量与任何向量共线.

(6)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量.解题时.不要把它与函数图象

的移动混淆.

[思维变式]

1.下列四个结论

①若°、)都是单位向量，则|。|=步|=1.

②物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量.

③直角坐标系中，x轴、丁轴都是向量.

④若⑷=步|,则。=圾

则正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

B[①由单位向量的定义可知①正确.②根据物理学知识知②正确.③x轴与)，轴无大

小，故③错.④。与b方向不一定相同或相反，故④错.故选BJ

2.设的为单位向量，给出下列命题：①若。为平面内的某个向量，则。=|研的；②若。

与的平行，则a=|a|ao;③若。与的平行且|a|=1，则。=ao.其中假命题的个数是（）

D［若〃为平面内的某个向量，又与切不一定共线，技①不正确：若〃与画平行，则〃

与。（）同向或反向，反向时，«=—|a|ao,故②③不正确.］

考点二平面向量的线性运算

［例2］（I）设。，E,F分别为△AB。的三边BC,CA,A8的中点，则西+A?等于（）

1f

AADB.]A。C.BCD.QBC

8DC

A［由于O,E,尸分别为BC,AC,AB的中点，设AO,BE,。尸交点为O,则诿+元'

3—3—3―――

=RB+gOC=5X2OO=3OO=AD.故选A.］

（2）在△ABC中，点。在线段BC的延长线上，且於=3诙，点。在线段CO上（与点C,

。不重合），若最）=品+（1—工）成，则x的取值范围是（）

>2)73J

C.(To)D.(To)

D［itCO=yBC,因为n=启+的=元+）优==启+丁（公-AB）=一）脑+（1+

y）AC.

因为病=3而，点O在线段CO上（与点C,。不重合）,

因为最）=.麻+（1-x）而，

所以x=-y,所以0）］

方法指导对于向量的概念的三点注意

（1）向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字号表示，也可以用坐标

表示；

（2）相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量

则未必是相等向量；

（3）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能比较大小，但向量的模是非负实数,

故可以比较大小.

［思维变式］

1.设。为△A8C所在平面内一点，BC=3CD,则（）

—>1—>4—>

AAD=—B.AD=^AB—^AC

CAD=^AB+^AC—>4-1—>

D.AD=^AB—jAC

."A-A-A-A1--►-►I-A1--►1->4--►

A[由题意得AO=AC+CO=AC+mC=AC+QAC-QAB=-5AB+QAC]

JJJJJ

1o

2.设£>,E分别是△ABC的边A8,8C上的点，AD=^AB,8七=鼻8。.若泣=九丽十九次

（九，为为实数）,

由九十42的值为________.

［解析］DE=DB-］-BE=^AB-\-^BC,

=：赢+］（4C-魂）=一348+各b,

VDE=2iAB+XTAC,

.,_1，=2

••41一=$，42,-3,

因此&+入2=1

［答案I1

考点三共线向量定理的应用

MT］三点共线问题

［例3］（1）（一题多解）已知A,B,C是直线/上不同的三个点，点。不在直线,上，则使

等式^OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为（）

A.{0}B.0C.{-1}D.{0,-1}

C［方法一若要炉苏+上加+反•=（）成立於必须与/次+x为共线由于息一油

=函与近•共线，所以。彳和励的系数必须互为相反数，则炉=一招解得x=0或1=一1,

而当工=0时，BC=0,此时B,C两点重合，不合题意，舍去.故x=-l.

法二'：BC=OC-OB,.,.x2dA+xdB+dC-OB=0,

即次=一/万1一。一1）加，VA,B,C三点共线，

—X2—（X—1）=1,即如+1=0,解得x=0或x=—1.

当x=0时，BC=0,此时5,。两点重合，不合题意，舍去，故％=—1.］

（2）设两个非零向量a与b不关线.

若AB=0+b,BC=20+8b,CD=3（a~h）.

求证：4,B,。三点共线.

［证明I•・•赢=。+瓦设：=2a+8b,CD=3（a-b）.

・••而=正+而=2。+88+3（。-6）=2。+8）+3。-3力=5（。+3=5油.，魂，而共线,

又它们有公共点B

AA,B,。三点共线.

角度2向量共线求参数

［例4］（1）已知非零向量ei，C2，。，。满足Q=2ei—62，6=1|+及.给出以下结论:

①若ei与62不共线，a与。共线，则&=-2；

②若ei与及不共线，a与方共线，则攵=2；

③存在实数匕使得。与b不共线，的与以共线.

④不存在实数Z,使得。与b不共线，约与电共线.

其中正确的是（只填序号）.

［解析］若。与b共线，即。=劝，即2ei-e2=Mei+&2,而乃与e?不共线，

Ak=2,

所以解得2=—2,故①正确，②不正确.

A=-l,

［«=（2—2）ei,

若"及共线，则eW,有伏+加

I

因为约，益,明”为非零向量，所以抄2且挣T,所以1*讦声即片讦户，

这时。与方共线，所以不存在实数左满足题意.故③不正确，④正确.

综上，正确的结论为①④

［答案］（D@

（2）设两个非零向量。与力不共线.试确定实数&,使Aa+）和。+幼同向.

［解］Tka+b与a+心同向，・•・存在实数晨无>0）,

使总+》="。+心），即ka+b=kaJi-kkb.

・•・他一»。=（独一1）瓦・・・凡b是不共线的非零向量，

k一入=0,k=1,

解得或，

乂-1=0,x=l)=-1,

又・.・/1>0,：.k=\.

方法指导

1.向量。、。共线的两种情况

①。与〃共线=存在不全为零的实数鼠"使得初+油=0.

②若01.02是不共线的两向量,则+力2。2与方=/〃。1+〃2。2平行一切/|=0.

2.证明A、B、。三点共线转化成证明后与私或的共线。存在实数；I,使初=庆（或

AB=ABC）.

［思维变式］

1.在四边形A3CO中，矗=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a~3b,则四边形ABC。

的形状是（）

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

C［由已知，得病=俞+反：+诙=一8。-2b=2（一而-6）=2反?,

故最）〃正

又因为油与必不平行，所以四边形ABCO是梯形.］

2.已知向量约大0,2£R,。=&+融2,b=2e\,若向量。与向量b共线，则（）

A.A=0B.e2=0

C.ei//e2D.ei〃e2或4=0

D［设。=劭，则ei+2e2=2Aei

所以（1一2枷|+屁2=0,

所以(24-1)6]=AC2.

因为0中0,所以若2A-1W0,

则©=鬲62此时e\//et\

若22—1=0,则4=0或62=0.

因为0与任意向量平行，所以。与力共线的条件为ei〃e2或2=01

■镣高考•提素养-----素养为本创新应用

［再研高考1

（2017・江苏卷）如图，在同一个平面内，向量晶，OB,女的模分别为1』，木,而与

云的夹角为a,且iana=7,为与沅的夹角为45。，若无=〃?d+〃丽(m,〃£R),则〃?+

I解析］

解法一：如图，以O为坐标原点，0A所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

7小3

因为tanl=7,"为锐角，所以7r।〃=cos^=]LQ»从而cos(〃+45。)=­5,sin(/z

10'

+45。)=*又向量为i,OBt5b的戏分别为1,1,也,

1

-5

5加=不

解

所以4(1,0),丛,.因为苑=机后+〃08,所以得

7

-7

5〃=不

所以加+〃=3.

解法二：由tana=7,a£[0,兀]得sina=j^",cosa=JQ»则cos(a+45°)=一亍

0C2=mOAOC+nOBOC,

由,-_--得'

OCOB=mOAOB+ndB2

卜=-"

解得j7所以m+〃=3.

［答案］3

［创新应用I

向量的线性运算与动点的位置

由两点可以确定一向量，当第三点满足与该向量一定关系时，可以判断第三点位置情况.

1.已知0,4,B三点不共线，P为该平面内一点，且舁=苏+丝，则()

的

A.点P在线段A8上

B.点P在线段A8的延长线上

C.点P在线段48的反向延长线上

D.点P在射线A8上

D［由滂＞=加1+J,得存一二・・・崩=三-励，・••点P在射线48上，故选

丽\AB\\AB\

D.］

2.己知平面内一点P及△A8C,若无+而+元=而，则点P与△A3C的位置关系是

（）

A.点尸在线段A8上B.点尸在线段5c上

C.点P在线段AC上D.点尸在aABC外部

C［由莉+丽+元=后知：/+丽+元=丽一丽，即无=一2无，故点P在线段AC

上」

3.已知点M是△A8C所在平面内的一点，若点M满足％折一油一届=0且SMBC=3S

△ABM，则实数2=.

［解析］

如图，设。为BC的中点,

则48+AC=24O,

因为％4M-AB-AC|=0,

所以14M-48-4c=0,

所以Z4M=48+AC=24O,

|/U712

于是A,M,。三点共线，JL

衲

..S^AHM1

义S△八阮=3S*8M'所以或嬴=十

S△八8M曲_2

又因为SAA80=/SjtBC,且

S^ABD的诉

所以g=&解得入=±3.

52・、4ABD乙m

［答案］±3

课时作业（二十五）

A级基础达标

1.已知。，〜是两个非零向量，且心+力|=|。|+|例，则下列说法正确的是（)

A.a+b=0B.a=b

C.。与b共线反向D.存在正实数人使。=劝

D［由已知得，向量。与b为同向向量，即存在正实数鼠使4=劝.］

2.在下列选项中，“a〃b”的充分不必要条件是（）

A.a,b都是单位向量

B.\a\=\b\

C.\a^b\=\fl\~\b\

D.存在不全为零的实数九例使痴+油=0

C［at）都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A错误：⑷=步|,但方向

不定，故B错误；|。+川=|n|一步|:若出）都是非零向量，则。，）反向共线，且⑷>出|;若

a,力中恰有一个零向量，则。#0,b=0:若。=力=0,则a,b也符合|“+"=|@一网，所以

|〃+川=同一步|=〃〃从而〃〃力=/〃+同=|〃|一向，故C正确：D选项中“存在不全为零的实

数2,",使痴+〃b=0"<^a//b.]

3.设。是非零向量，4是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.。与痴的方向相反B.。与尸。的方向相同

C.|一2。121alD.|一M2MM

B[对于A,当2>0时，。与脑的方向相同，当AVO时，。与〃的方向相反.B正确：

对于C,|一切=口|同,由于囚的大小不确定，故|一切与⑷的大小关系不确定;对于D,Wa

是向量，而|一加|表示长度，两者不能比较大小.]

4.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量。与向量b平行，则。与力的方向相同或相反；

③向量而与向量员）共线，则4,B,C,。四点共线；

④如果a〃b,b//c,那么a〃c.

以上命题中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.0

D[①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与力

中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或

相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④不正确，当》=0时，。与c不一定平行，

故正确命题的个数为0.]

5.如图所示，在△ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不

同的两点M,N,若油=小6，AC=nAN,则用+〃的值为（）

A.1B.2

C.3D.4

B[由。是8c中点，可得初二士寿十斗正，由题意知

AO=^nAM-\-^txAN,因为。，M,N三点共线，

所以;m+%=1，则m+〃=2.]

6.（2021.威海模拟）设a,方不共线，AB=2a-\-pb,BC=a-\-b,CD=a-2b,若A,B,D

三点共线，则实数p的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

B[因为反?=a+b,CD=a-2bt所以说）=庆?+《b=2a—力.又因为A,B,。三点共线，

所以前，访共线.设寿=7访，所以2。+/力=廉2°一方），所以2=2九p=一入,即7=1,p

=-1.]

7.已知向量a,b,且寿=a+2b,反:=-5〃+64诙=7〃一24则一定共线的三点是

（）

A.B,C,DB.A,B,CC.A,B,DD.4,C,D

C[因为丽=胀+诙=一5。+6万+7。-2力=2。+46=2(。+2仍=2丽，所以A,B,D

三点共线.]

8.已知向量。，力不共线，且c=%。十)，d=a十(2A—1)6,若c与d反向，则实数力的

值为()

A.1B.一；

C.1或一3D.—1或一3

B[由于c与d反向，则存在实数k使c=kd(kV0),于是觞+)=和0+(22—1)切.整理

U=kf

得2。+8=履+(2法一灯b.由于a,b不共线，所以有整理得222-2-1=0,解

[2Xk—k=\,

得2=1或2=一；.又因为AV0,所以2V0,故2=—J]

9.(2018•全国I卷)在AABC中，A。为8C边上的中线，石为A。的中点，则丽=()

3~1—►1—3~»

A^AB—^ACB^AB—^AC

C.满+；启D颛+泌

A[作出示意图如图所示.

丽=访+加=抽+的=；X；(矗+稔+；道一届=涧一滋.故选A.]

10.如图，在△ABC中，点。在线段BC上，且满足8O=；OC,过点。的直线分别交直

线48工,AC于不同的两点M,N若俞=加通,AN=nAC,则()

A.加+〃是定值，定值为2

B.26+〃是定值，定值为3

C^+l是定值，定值为2

D•2"涡1定值，定值为3

D[因为M,D,N三点共线，所以废)=以应+(1一分俞.

又赢=/〃前，AN=nACt所以病=如初+(1-Q•嬴.又而=；反，所以Q)一港

11,_,101

—zAD,所以AO=QAC+QA8.比较系数知为〃=],(1—%)〃=Q,所以一+-=3,故选D.]

乙JJJJfl

11.（2021.绵阳诊断）在△ABC中，病=</，P是BN上一点,若办=〃瀛+孤?，则

Zo

实数机的值为.

［解析］因为B,P,N三点共线，

-A-A—►—►1-►—►—>3—>

所以AP=fA8+（l-t）AN=tAB+^（\~t）AC,又因为A尸=〃MB+QAC,所以

Zo

〃?=1,

,13解得机=/=；.

［答案］1

12.（2021•太原模拟）在正方形ABCO中，M,N分别是BC,。。的中点，若元=丽+

"俞，则实数2+"=.

［解析］如图，*：AM=Ai-^BM=AB+^BC=DC+^BCt①

AN=Ab+5N=BC+|DC,②

由①②得证=辆一］病，DC=^AM~^ANf：.AC=AB+BC=DC-{-BC=^AM-jAN-^

方病一,病=|■俞+|俞，*.*AC=.*.x=22-4

〃=§,4+〃=］.

3'

［答案］14

B级能力提升

13.（多选）下列关于向量线性运算正确的是（）

A.己知。是正方形48co的中心.若丽=施+蕨，其中，幺，"£R,则楙=一2

若四边形ABCD满足病=3正且|丽=|的，则四边形ABCD的形状是菱形.

B.

C.已知小。是不共线的向量，AB=ka+b,AC=a+/^,A,〃仁R,则A,B,C三点

共线的充要条件为川=1.

D.已知点O,A,8不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2舁=2'+而，则

点P在线段AB上.

-A-A-A—►—►—A—►1-►-A1-►1J

AC\DO=DA-^-AO=CB+AO=AB-AC+^AC=AB-^ACt，Z=1,〃=一亍因此［=

一2.A正确.对于B,因为最）=版，所以而〃就，且而|=肯反］,所以四边形A8c。为以

AO为上底，8C为下底的梯形.又通|=|两，所以梯形ABCD的两腰相等.因此四边形A8CD

是等腰梯形.B错误.对于C,因为4,B,。三点共线，所以油〃位；设初=〃晶（加工0）,

A=m,_»_»_»

则2a+~=m（a+〃b）,所以，所以〃=1.C正确.对于。，因为2OP=2OA+B4,所

1=叫1,

以为>=庾，所以点P在线段AB的反向延长线上，D错误.故选AC.］

14.在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则拓1+%+证=0.”设m

b,c分别△ABC的内角4,B,。的对边，点M为△48C的重心.若标+痂+坐c证=

0,则内角A的大小为________.当〃=3时.八八内。的面积为________.

［解析］由aMA+bMB+^cMC=aMA+bMB+乎c(-MA-MB)=Q—乎c)总+

(b—半，%=0,且总与赢不共线，^c=b一乎c=0,•,.a=6=芈c.A4BC中，由

余弦定理可求得cosA=坐，."=*若a=3,则〃=3,c=3小，S^ABc=^bcsinA=^X3X3y［3

x1-2^3

X2-4•

［答案】l.

15.直线/上有不同三点4,B,C,。是直线/外一点，若后=(l—cosa)5h+sina%a

是锐角)，则。=.

［解析］因为直线/上有不同三点A,B,C,所以存在实数九使得或=7正，所以近一

OB=A(OC-OB),

^OA=(l-A)OB+AOC,

］—2^1—COSOL

所以，.'所以sina=cosa,因为a是锐角，

,A=sina,

所以a=45°.

［答案145°

16.(2021•河北联考)己知在△ABC中，点。满足2筋+而=0,过点。的直线/与直线

AB,AC分别交于点M,

N,AM=AAB,俞=^(后.若7>0,">0,则2+4的最小值为________.

［解析I连接AD因为2而+丽=0,所以丽=；於，Ab=AB^-BD=AB^BC=AB^

(最:一后)=|通+领?.因为。、M.N三点共线，所以存在x£R,便病=.疝+(1-幻而，

•A.■•,"21I1>

则人。=以钻+(1—必3。，所以X*8+(1—X)"AC=QA8+Q4C,根据平面向量基本定理，得

2121211211

XA=TD,(1—XJ)4=W，所以X=：77，1—Jx"=丁，所以:7y+丁=1,所以7+J〃=1(2儿+必〃)•彳J+-=工3

+与+/2支号"，当且仅当a=加〃时等号成立，的最小值为3+；'.

小心3+2^2

［答案］―六

第二节平面向量基本定理及坐标运算

・梳教初•固基QI—基固为根必备知识

［基础自梳］

1.平面向量基本定理

(1)定理：如果e”62是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意

向量。，有且只有一对实数九，人2,使。=.

(2)基底：不共线的向量4,殳叫做表示这一平面内所有向量为一组基底.

2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，该

平面内的任一向量。可表示成。=立+,力由于。与数对a，)，)是一一对应的，把有序数对

))叫做向量。的坐标，记作a=(x,y),其中。在刀轴上吊坐标是k,。在y轴上的坐标是

3.平面向量的坐标运算

设a=(xi,yi),6=(x2，力)，则a+b=(4+也，w+g),a—b=

向量的加法、减法

(《一必Vi—V2)

向量的数乘设。=(x,)),2£R,则瓶=Ck,a)

向量坐标的求法设A(xi，yi),8(x2，”)，则A8=(也一r，二一“)

4.向量共线的坐标表示

若Q=(X1，》)，b=(12，以)，则。〃6。箝\'2—%2)'1=0.

思考拓展

1.若向量的起点是坐标原点，则终点点示即为向量坐标.

,fxi=X2

2.=\a=(xi»yi)»b=(x2ty2);a=bo'

_____1ly\=y2

3.a=(x,y),|a|=4.+y2.

4.当32KO时，a〃小吟

［基础自测］

1.(教材改编)F列哪组向量可以作为平面向量的一组基底()

A.61=(—2,4),02=(1，—2)

B.ei=(4,3),62=(—3,8)

C.ci=(2,3)，02=(-2,-3)

D.ei=(3,0),©2=(4。)

［答案］B

2.(教材改编)向量a,b满足。+。=(-1,5),a-b=(5,一3),则b为()

A.(-3,4)B.(3,4)

C.(3,-4)D.(-3,-4)

［答案］A

3.(教材改编)已知。=(4,2),万=(一6,m),若。〃4则机的值为()

A.-3B.3C.-12D.12

［答案］A

4.(易错点：平面向量基本定量的理解)若。、b不共线，且/ba+22b=0，则九=

，42=________

［答案］0,0

5.(易错点：分类不清)设Pi(l,3),尸2(4,0),P是线段PP2的一个三等分点.则尸点坐标

为.

［答案］(2,2)或(3,1)

・研考点•练方法-----点明为纲关键能力

考点一平面向量基本定理及其应用

I角度1|用基底表示向量

［例I］(1)1一题多解|在平行四边形ABCO中,4C与8。交于点。,七是线段0。的中点,

AE的延长线与CO交于点凡若藏?=。，S