数学同步练习：均值不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。2均值不等式1．若a〉b>0，则下列不等式成立的是(）A．a>b〉eq\f（a＋b，2）>eq\r（ab）B．a>eq\f(a＋b,2）〉eq\r（ab）>bC．a〉eq\f（a＋b,2）>b〉eq\r（ab）D．a>eq\r（ab)〉eq\f（a＋b，2）>b2．函数y＝x(1－3x）(0<x<eq\f（1,3））的最大值是（)A。eq\f(4，243)B。eq\f(1,12）C。eq\f(1,64)D。eq\f（1，72）3．已知x、y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为__________．4．求证：24m＋eq\f（6，m）≥24（m>0)．答案：1．B2．B∵0〈x〈eq\f(1，3)，∴0〈1－3x〈1。∴y＝x（1－3x)＝eq\f(1，3)×3x（1－3x）≤eq\f(1,3)·(eq\f（3x＋1－3x，2)）2＝eq\f(1,12），当且仅当3x＝1－3x，即x＝eq\f(1,6)时取等号．3。eq\f（1,16）因为x，y∈R＋,且x＋4y＝1，所以xy＝eq\f(1，4)x·4y≤eq\f（1,4)(eq\f（x＋4y，2）)2＝eq\f（1,16），当且仅当x＝4y＝eq\f（1,2）时取等号．所以x·y的最大值为eq\f（1，16）。4．证明：∵m>0，由基本不等式，得24m＋eq\f（6，m)≥2eq\r（24m·\f（6,m））＝2eq\r（144)＝24，当且仅当24m＝eq\f（6,m)，即m＝eq\f（1，2）时取等号．课堂巩固1．已知实数a,b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是(）A．18B．6C．2eq\r(3)D．2eq\r（4，3）2．某工厂产品第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x，则()A．x＝eq\f(a＋b，2)B．x≤eq\f(a＋b,2）C．x>eq\f(a＋b,2)D．x≥eq\f(a＋b，2）3．已知x、y都是正数，(1)如果xy＝15,则x＋y的最小值是________．（2）如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．4．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．5．已知x>2，求y＝x＋eq\f（1，x－2）的最小值．6．已知a>0，b〉0,求证:(a＋eq\f(1,a）)(b＋eq\f（1,b））≥4。答案：1．B∵a＋b＝2,∴3a＋3b≥2eq\r(3a·3b）＝2eq\r（3a＋b）＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．2．B设平均增长率为x,则第三年产量为A（1＋x)2＝A（1＋a)(1＋b），即(1＋x）2＝（1＋a）（1＋b)．又(1＋a）（1＋b)≤(eq\f(1＋a＋1＋b，2）)2，∴1＋x≤eq\f（2＋a＋b，2）,即x≤eq\f(a＋b,2）.3。(1）2eq\r（15）(2）eq\f（225，4)(1）x＋y≥2eq\r（xy)＝2eq\r（15)；（2)xy≤（eq\f（x＋y,2））2＝eq\f(225,4）。4．[9，＋∞）∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab）＋3，解得eq\r(ab)≥3，即ab≥9。5．解:∵x>2，∴x－2〉0.y＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f（1，x－2）＋2≥2eq\r（（x－2)·\f（1,x－2)）＋2＝4。6．证明：因为a〉0，b〉0，由基本不等式，可知a＋eq\f(1,a）≥2，当且仅当a＝eq\f（1，a),即a＝1时取等号;b＋eq\f(1，b）≥2，当且仅当b＝eq\f(1,b），即b＝1时取等号．因为上述两个不等式的两边均为正数，由不等式的性质，得（a＋eq\f（1，a）)（b＋eq\f(1，b）)≥4.1．已知x、y>0且x＋y＝1，则p＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f（1，y）的最小值为（)A．3B．4C．5D．61．答案:C原式＝x＋eq\f（x＋y,x）＋y＋eq\f（x＋y，y)＝3＋eq\f（y，x）＋eq\f（x，y)≥3＋2＝5。2．(天津高考，理6)设a〉0，b〉0.若eq\r(3)是3a与3b的等比中项,则eq\f（1,a）＋eq\f(1,b）的最小值为（)A．8B．4C．1D.eq\f（1,4)2．答案：Beq\r（3)是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1,∵a〉0，b〉0，∴eq\r（ab）≤eq\f（a＋b，2）＝eq\f（1，2）⇒ab≤eq\f(1，4).∴eq\f(1，a)＋eq\f(1，b)＝eq\f(a＋b，ab)＝eq\f（1，ab）≥eq\f(1，\f（1，4）)＝4.3．点P（x，y）是直线x＋3y－2＝0上的动点，则代数式3x＋27y有（）A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值63．答案：C∵点P（x，y）在直线x＋3y－2＝0上，∴x＋3y＝2.∴3x＋27y＝3x＋33y≥2eq\r(3x·33y)＝2eq\r（3x＋3y)＝2eq\r(32)＝6。∴代数式3x＋27y有最小值6。4．若直线ax＋by＋1＝0(a,b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则eq\f（1,a）＋eq\f（4,b)的最小值为（)A．8B．12C．16D．204．答案：C∵圆心坐标为(－4，－1),∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1.∴eq\f(1，a）＋eq\f(4，b）＝eq\f(4a＋b，a)＋eq\f（4（4a＋b),b）＝8＋eq\f（b，a）＋eq\f（16a，b)≥8＋2eq\r（\f(b，a)×\f(16a，b)）＝16。(当且仅当eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（b，a)＝\f(16a，b),，4a＋b＝1，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,8），，b＝\f(1,2））)时“＝”成立）5．设点（m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________．5．答案：－2由题意可知m>0，n>0,m＋n＝1,∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2(eq\f(m＋n，2))2＝log2eq\f（1，4）＝－2，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时取“＝”．6．设x〉0，则y＝3－3x－eq\f（1,x)的最大值是________．6．答案：3－2eq\r（3）∵x>0，∴3x＋eq\f（1,x)≥2eq\r(3x·\f(1,x））＝2eq\r(3）(当且仅当x＝eq\f(\r（3），3）时，等号成立）．∴－（3x＋eq\f（1,x)）≤－2eq\r（3).∴3－3x－eq\f(1,x）≤3－2eq\r（3)，即函数y＝3－3x－eq\f(1，x)的最大值是3－2eq\r(3)。7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．7．答案：5由已知得y1＝eq\f(20,x），y2＝0.8x（x为仓库与车站的距离），费用之和y＝y1＋y2＝0。8x＋eq\f(20，x）≥2eq\r(0.8x·\f(20,x））＝8，当且仅当0。8x＝eq\f(20,x)，即x＝5时“＝"成立．8。求f(x）＝2＋log2x＋eq\f（5，log2x）的最值（0〈x〈1）．8．答案：解：∵0〈x〈1，∴log2x〈0.∴(－log2x）＋(－eq\f（5，log2x)）≥2·eq\r（(－log2x）·（－\f（5,log2x))）＝2eq\r(5）.∴f(x)＝2－[(－log2x)＋（－eq\f(5，log2x))］≤2－2eq\r（5)，当且仅当－log2x＝－eq\f(5,log2x），即log2x＝－eq\r（5)时,等号成立．∴f（x）max＝2－2eq\r（5）,不存在最小值．9．求函数f(x)＝eq\f（－2x2＋x－3，x）(x>0)的最大值，及此时x的值．9．答案：解：f(x）＝1－(2x＋eq\f(3，x））．因为x>0,所以2x＋eq\f（3，x）≥2eq\r(6)，即－（2x＋eq\f（3，x)）≤－2eq\r(6）。因此f(x)≤1－2eq\r（6)，当且仅当2x＝eq\f(3,x)，即x2＝eq\f(3,2)时，式中等号成立．由于x>0，因此x＝eq\f(\r(6），2）时，式中等号成立．因此f（x）max＝1－2eq\r（6），此时x＝eq\f(\r(6），2).10．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（50≤x≤80）时，每天销售的件数为p＝eq\f(105,（x－40）2)，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元?10．答案：解法一：利润＝销售件数×（销售价格－进货价格)．如何把目标函数整理成能使用基本不等式的形式是正确解题的关键．由题意，知利润S＝（x－50)·eq\f(105,（x－40)2)＝(x－50)·eq\f(105,(x－50)2＋20（x－50）＋100)＝eq\f（105,（x－50)＋\f(100,(x－50))＋20）。∵x－50≥0,∴(x－50）＋eq\f(100,(x－50））≥20.∴S≤eq\f(105,20＋20)＝2500，当且仅当（x－50)＝eq\f(100，（x－50)),即x＝60或x＝40(不合题意,舍去）时取等号．解法二:在基本不等式eq\f(a＋b,2）≥eq\r（ab)