第7讲分式与分式方程（原卷版）

第7讲分式与分式方程考法一：分式的有关概念及性质1．（2021·江苏扬州·统考中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏南通·统考中考真题）分式有意义，则x应满足的条件是___________．3．（2020·江苏南京·统考中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．4．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）使分式有意义的x的取值范围是_________．5．（2015·江苏镇江·统考中考真题）当_______时，分式的值为0；1．分式:设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

2.分式的基本性质

，（M为不等于零的整式）.

3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

注意：分式的概念需注意的问题：

(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；

（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．

（4）分式有无意义的条件：在分式中，

①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．

③当B≠0且A=0时，分式的值为零．1．（2022·江苏南京·统考二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏苏州·统考一模）若分式的值为0，则x的值为（）A．0 B．2 C．±2 D．﹣23．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如果把分式中、的值都变为原来的3倍，则分式的值（）A．变为原来的9倍 B．变为原来的3倍 C．不变 D．变为原来的4．（2022·江苏扬州·校考一模）化简：=____．5．（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考模拟预测）已知，则______.考法二：分式的运算1．（2022·江苏苏州·统考中考真题）化简的结果是______．2．（2022·江苏连云港·统考中考真题）化简：．3．（2021·江苏淮安·统考中考真题）先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4．4．（2021·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．5．（2021·江苏南京·统考中考真题）计算．1.分式加减运算：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减（）；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算（）。2.乘法运算：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母（）。3.除法运算：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘（）.

4.分式乘方运算：分式的乘方，把分子分母分别乘方（）5.．零指数：。

6．负整数指数：。

7．分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．

8．约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

9．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：

(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．

(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．

(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积。1．（2022·江苏宿迁·统考二模）计算的结果为______．2．（2022·江苏宿迁·统考三模）化简：________．3．（2022·江苏无锡·模拟预测）化简结果为______．4．（2022·江苏淮安·模拟预测）先化简再求值：，其中．5．（2022·江苏南京·统考二模）计算考法三：分式方程1．（2022·江苏无锡·统考中考真题）方程的解是（）．A． B． C． D．2．（2022·江苏淮安·统考中考真题）方程的解是______．3．（2022·江苏盐城·统考中考真题）分式方程的解为__________．4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）解方程：．5．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？1.分式方程的定义:分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程。2.解分式方程的一般步骤

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；

(2)解这个整式方程；

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．3．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)：关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题：关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题：其中的几个关系式：利润＝售价成本价(进价)，利润率＝×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题：重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题：对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量降低量．4．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．1．（2022·江苏无锡·统考一模）若关于的方程有增根，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．22．（2022·江苏无锡·统考二模）方程的解为______________．3．（2022·江苏无锡·校考一模）关于x的方程的根为负数，则a的值为__________．4．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考二模）解分式方程：1．5．（2022·江苏南京·统考二模）小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆．已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．一、单选题1．（2022·江苏南通·统考二模）若，则代数式的值为（

）A． B． C．2 D．－22．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x的方程解是正数，那么m的取值范围为（

）A．m>﹣6且m≠2 B．m<6C．m>﹣6且m≠﹣4 D．m<6且m≠﹣23．若整数a使得关于x的分式方程解的取值范围为，则符合条件的a值可以为（

）A．5 B．4 C．1 D．04．（2022·江苏盐城·校考一模）若，则的值为（

）A． B． C． D．5．方程的解是（

）A．－3 B．3 C．4 D．－46．（2022秋·江苏淮安·九年级校考）如果把中的x，y都扩大3倍，那么分式的值一定(

)A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大15倍 D．不变二、填空题7．（2022秋·江苏·九年级开学考试）已知，则分式的值为__________．8．化简的结果是______．9．若，且m≠0，则的值为______．10．（2022·江苏苏州·统考一模）若关于x的分式方程有增根，则a的值为__________．11．（2022·江苏扬州·统考一模）若，且ab≠0，则的值为______．12．（2022·江苏扬州·校考一模）已知关于x的方程的解大于1，则m的取值范围为________．三、解答题13．解方程：．14．解方程：．15．（2022秋·江苏·九年级开学考试）解分式方程：(1)；(2)．16．（2022秋·江苏苏州·九年级校考）解分式方程：．17．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考）先化简，再求值，，其中．18．（2022秋·江苏扬州·九年级校考）先化简，再求值：，其中．19．（2022·江苏南京·统考二模）计算．20．（2022·江苏南京·统考二模）计算．21．（2022·江苏苏州·统考二模）先化简，再求值：，其中．22．（2022·江苏盐城·统考二模）化简：．23．（2022秋·江苏·九年级开学考试）解答：(1)计算：；(2)解分式方程：．24．计算：(1)(2)(3)先化简，再求值：，其中，．25．（2022秋·江苏·九年级开学考试）为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批多2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？26．（2022秋·江苏·九年级开学考试）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？27．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料．某硅胶制品的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，甲车间每天生产的硅胶外壳数量是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天．求乙车间每天生产硅胶外壳个数．28．（2022·江苏扬州·统考二模）为支持农民工创业，某街道拟发展“地摊经济”来缓解农民工就业．现有一块空地用于建甲或乙两类摊位，每个甲类摊位的占地面积比每个乙类摊位的占地面积多2平方米，若用60平方米的空地建甲类摊位的个数恰好是用同样面积的空地建乙类摊位个数的．求每个甲、乙类摊位占地面积各为多少平方米？29．（2022春·江苏苏州·九年级校联考期中）某市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的件数与320元单独购进足球的件数相同．(1)足