专题2.3直线与圆的位置关系（专项拔高卷）教师版

20232024学年苏科版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.3直线与圆的位置关系（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.52一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•金华期末）AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°解：如图，连接OC．∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠COP+∠P＝90°，∵∠P＝40°，∴∠COP＝50°，∴，故选：B．2．（2分）（2022秋•阳谷县期末）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d．∴d＜r，∴直线和圆相交．故选：B．3．（2分）（2022秋•河西区校级期末）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝35°，则∠OCB的度数为（）A．42.5° B．55.5° C．62.5° D．75°解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，∵∠BAO＝35°，∴∠O＝55°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝（180°﹣∠O）＝62.5°．故选：C．4．（2分）（2023春•青山区校级月考）如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，BI⊥OI，AC＝14，BC＝13，△ABC内切圆半径为（）A．4 B． C． D．解：延长BI交⊙O于点D，连接OB，OD，AI，OD交AC于点E，则：∠DAC＝∠DBC，∵I是△ABC内心，∴∠ABD＝∠DBC，∠CAI＝∠BAI，∴∠DAC＝∠DBA，∴∠DAC+∠CAI＝∠DBA+∠BAI，即：∠DAI＝∠AID，∴AD＝DI，∵OD＝OB，OI⊥BD，∴DI＝BI，∴AD＝BI，∵∠ABD＝∠DBC，∴，∴OD⊥AC，，过点I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，则：∠BGI＝∠AED＝90°，∵AD＝BI，∠DAC＝∠DBC，∴△AED≌△BGI（AAS），∴，∴CG＝BC﹣BG＝13﹣7＝6，∵I是△ABC内心，∴CM＝CG＝6，BN＝BG＝7，AN＝AM＝AC﹣CM＝14﹣6＝8，∴AB＝AN+BN＝7+8＝15，如图2：过点C作CH⊥AB，连接IC，设AH＝x，则：BH＝15﹣x，∴CH2＝AC2﹣AH2＝AB2﹣BH2，即：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2，解得：，∴，∴，设⊙I的半径为r，则：IG＝IM＝IN＝r∴，即：，解得：r＝4；故选：A．5．（2分）（2022秋•大荔县期末）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝84°，则∠D的度数为（）A．42° B．66° C．76° D．82°解：如图，连接OB，OC，∵点O是△ABC的内心，∠A＝84°，∴OB，OC是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A＝132°，∵点O也是△DBC的外心，∴∠D＝BOC＝66°，则∠D的度数为66°．故选：B．6．（2分）（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，BD垂直平分OE交⊙O于点D，过点D的切线与BE的延长线交于点C．若，则AB的长为（）A．4 B．2 C． D．解：连接OD、AD，∵DC是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∵BD垂直平分OE交⊙O于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，OB＝BE，∵∠ABD＝∠AOD，OB＝OE，∴∠ABC＝∠AOD，△OBE是等边三角形，∴OD∥BC，∠OBE＝60°，∴BC⊥CD，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠DCB，∴△ABD∽△DBC，∴，设AD＝x，则AB＝2x，BD＝，∴，∴x＝2，∴AB＝2x＝4，故选：A．7．（2分）（2023•哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（）A．45° B．50° C．65° D．75°解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB，∵OC⊥OA，∴AB∥OC，∴∠OCD＝∠B＝65°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝65°，∴∠DOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：B．8．（2分）（2023•遵义一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（）A．3 B．2 C．2.5 D．2解：∵连接OC，作OI⊥BD于点I，∵PC与⊙O相切于点C，∴PC⊥OC，∵BD⊥PC交PC的延长线于点D，∴∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，∴四边形OCDI是矩形，∴OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，∵∠OIB＝90°，BD＝4，∴BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，∴（4﹣OB）2+22＝OB2，解得OB＝2.5，∴⊙O的半径为2.5，故选：C．9．（2分）（2023•江岸区模拟）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD＝4，则AC为（）​A． B． C． D．5解：连接BD、CD、BI，∵I为△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∴，∴BD＝CD＝4，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝∠DAB+∠ABI＝∠BID，∴ID＝BD＝4，∵OI⊥AD，∴AD＝2ID＝8，∴AB＝，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE＝x，则OE＝AB﹣x＝2﹣x，∵OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2，∴（2）2﹣（2﹣x）2＝42﹣x2，解得：x＝，∴BE＝，∴BC＝2BE＝，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝，故选：A．10．（2分）（2022•成县校级模拟）如图，⊙O与∠A＝90的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若BE＝10，CF＝3，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2解：如图，连接OD，OF，∵AC、AB、CB与⊙O相切，∴BD＝BE＝10，CE＝CF＝3，AD＝AF，OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形ADOF是矩形，∴矩形ADOF是正方形，∴AD＝OD，设AD＝AF＝x，Rt△ABC中，AB＝BD+AD＝x+10，AC＝CF+AF＝x+3，BC＝BE+CE＝13，由勾股定理得，AB2+AC2＝BC2，∴（10+x）2+（x+3）2＝132，∴x1＝2，x2＝﹣15（舍去），∴OD＝2，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•柯桥区校级模拟）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是3．解：∵AB、AC、BD是圆O的切线，∴AC＝AP，BP＝BD＝2，∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，∴AC＝3．故答案为3．12．（2分）（2022秋•启东市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是38°．解：如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，∵CB为⊙O的切线，∴CB⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90，∴∠ABD＝∠C＝38°，∴∠AED＝∠ABD＝38°，故答案为：38°．13．（2分）（2022秋•河西区校级期末）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝8，AB＝10，⊙O的半径为4，点P是AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则PQ的最小值为．解：连接OP、OQ，过点O作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ＝＝，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝8，AB＝10，则OB＝＝6，∵S△AOB＝OB•OA＝AB•OP′，∴×6×8＝×10•OP′，解得：OP′＝4.8，当点P运动到点P′时，PQ最小，PQ的最小值为＝，故答案为：．14．（2分）（2023•青海）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON．若∠N＝37°，则∠MON的度数是53°．解：∵MN是⊙O的切线，M是切点，∴∠OMN＝90°，∵∠N＝37°，∴∠MON＝90°﹣∠N＝53°，故答案为：53°．15．（2分）（2022秋•建昌县期末）如图，点O是△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝3，OC＝6，，则⊙O的半径为．解：过O作交BC于E，设BE＝x，∵点O是△ABC的内心，OB＝3，OC＝6，，在Rt△OBE中，由勾股定理可得：32＝x2+r2，在Rt△OCE中，由勾股定理可得：，故，解得，故，故答案为：．16．（2分）（2023•西陵区模拟）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，则⊙O的半径等于20cm．解：设圆的半径为rcm，如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝（r﹣8）cm，AD＝BC＝16cm，在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+162解得：r＝20．即该圆的半径为20cm．故答案为：20．17．（2分）（2023•安岳县二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，EA切⊙O于点A，交CD的延长线于点E．若∠ABC＝75°，则∠E的度数为60°．解：连接BC、AD，则∠ADC＝∠ABC＝75°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADC＝75°，∴∠AOE＝180°﹣∠OAD﹣∠ADC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵EA切⊙O于点A，∴EA⊥OA，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60°．18．（2分）（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为289．解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE，OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．19．（2分）（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是4．解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB＝＝10，∴四边形CEOF是正方形，设正方形CEOF的边长为x，则BE＝BG＝6﹣x，AF＝AG＝8﹣x，根据题意，得6﹣x+8﹣x＝10，解得x＝2，∴OC＝x＝2，∵CD⊥l，∴∠CDO＝90°，∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图，连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，∴CP＝QP＝1，∴AP＝AC﹣CP＝8﹣1＝7，圆Q的半径QD＝，∴QA＝＝＝5，∴AD的最小值为AQ﹣QD＝5﹣＝4．故答案为：4．20．（2分）（2022秋•滨湖区校级期中）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F、G分别在AD、BC上，连结OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC﹣AB的值2，CD+DF的值5．解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，∴OG＝DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC＝90°，∵∠MOG+∠MGO＝90°，∴∠MOG＝∠DGC，在△OMG和△GCD中，，∴△OMG≌△GCD（AAS），∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．∵AB＝CD，∴BC﹣AB＝2；设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），∴c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，解得a1＝1﹣（舍去），a2＝1+，∴BC+AB＝2+4，∴AB＝1+，BC＝3+，再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+﹣1﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1，由勾股定理可得（2+﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝4﹣，∴CD+DF＝+1+4﹣＝5，故答案为：2，5．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．​（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，，求⊙O的半径长．（1）证明：连接OD，过点D作DF⊥AC于点F，如图：∵点D为半圆AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）解：由（1）可知：OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∵DF⊥AC，∴△DCF为等腰直角三角形，∴DF＝CF，在Rt△DCF中，DF＝CF，，由勾股定理得：DF2+CF2＝CD2，即：，∴CF＝DF＝1，∵AC＝4，∴AF＝AC﹣CF＝4﹣1＝3，在Rt△ADF中，AF＝3，DF＝1，由勾股定理得：，在Rt△AOD中，OA＝OD，，由勾股定理得：OA2+OD2＝AD2，即：，∴，∴⊙O的半径为．22．（6分）（2023•槐荫区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．（1）证明：∵DB是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠DBC＝∠OCA；（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CB＝AC＝，∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠D＝90°﹣∠COB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°．∴∠DBC＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠DBC．∴CB＝CD．∴CD＝．23．（8分）（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．（1）证明：如图，连结OA，∵∠AEC＝30°，∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，∴直线AD是⊙O的切线．（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，∴AM＝EM，∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，∴∠OAM＝30°，∴OM＝OA＝×10＝5，∴AM＝＝＝5，∴AE＝2AM＝2×5＝10．24．（8分）（2022秋•平阴县期末）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．（1）证明：连接OE，∴OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE．∵PQ切⊙O于E，∴OE⊥PQ．∵AC⊥PQ，∴∠OEP＝∠ACP＝90°，∴OE∥AC．∴∠OEA＝∠EAC，∴∠OAE＝∠EAC，∴AE平分∠BAC；（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∵∠BAC＝60°，∴∠OAE＝∠EAC＝30°．∴AB＝2BE．∵AC⊥PQ，∴∠ACE＝90°，∴AE＝2CE．∵，∴．在Rt△ABE中，∠BAE＝30°．∴，∴，解得AB＝4，∴⊙O的半径为2．25．（8分）（2023•宛城区二模）如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．（1）徽徽猜想∠C+2∠BDC＝90°，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；（2）若，BC＝2米，求车轮的直径AB的长．解：（1）徽徽的猜想正确，理由如下：如图②，连接OD，∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，∴∠C+∠DOC＝90°，∠ODB+∠BDC＝90°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠OBD＝90°∴∠A＝∠BDC，由圆周角定理得：∠DOC＝2∠A，∴∠DOC＝2∠BDC，∴∠C+2∠BDC＝90°；（2）∵∠A＝∠BDC，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CDA，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝，AB＝1，答：车轮的直径AB的长1米．26．（8分）（2023•晋安区校级模拟）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．（1）证明：PD是⊙O的切线．（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CE•CP的值．解：（1）连接OP，∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°，∴∠POD＝60°，∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，AC＝BC，∴AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2，∴，∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴∴CP•CE＝．27．（8分）（2022秋•惠阳区校级期末）（1）如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF．求证：AE＝CF．（2）如图2，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD＝25°，求∠C的度数．（1）证明：∵点E，F分别为边CD，AD的中点，∴．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴DE＝DF．∴在△ADE和△CDF中，∴，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．（