高一下学期人教A版(2019)数学期末模拟试题

20232024学年人教版数学高一年级下册期末模拟试题（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.复数5i+2的共轭复数是()A.2+i B.2−i C.−2+i D.−2−i2.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.7.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次,至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2表示没有击中目标,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标.因为射击3次,故以每3个随机数为一组,代表射击3次的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数：据此估计,该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为()A.0.6 B.0.7 C.0.75 D.0.83.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,则下列命题中正确的是()A.若α⊥β,l⊂α,m⊂βB.若l⊥α,lC.若m⊥β,αD.若α//β,且l与α所成的角和m与β所成的角相等,则l//m4.已知某圆锥的侧面积为5π,该圆锥侧面的展开图是圆心角为25πA.23π B.43π C.5.已知a→,bA.若|a→|=|b→|,则C.若a→//b→,则a→6.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,这些小球除颜色外完全相同,从甲、乙两袋中各任取1个球,则下列结论错误的是()A.2个球颜色相同的概率为12 B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为23 D.2个球中恰有1个红球的概率为7.如图,在△ABC中,AB=25,BC=210,AC=213,D,E,F分别为三边中点,将△BDE,△ADF,△CEF分别沿DE,EF,DF向上折起,使A,B,C重合为点P,则三棱锥P−DEFA.72π B.7143π 8.对于函数f(x)和g(x),设α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α−β|≤1,则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”,若函数f(x)=ln⁡(x−1)+x−2与g(x)=x2−ax−a+8A.[174,92] B.[4,二、多选题（本题共计3小题，总分18分）9.（6分）口袋里装有2红,2白共4个形状相同的小球,从中不放回的依次取出两个球,事件A=“取出的两球同色”,事件B=“第一次取出的是红球”,事件C=“第二次取出的是红球”,事件D=“取出的两球不同色”,下列判断中正确的()A.A与D互为对立 B.B与C互斥 C.A与B相互独立 D.B与D相互独立10.（6分）在锐角三角形ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c分别为A,B,C所对的三边,则下列结论成立的是()A.若A>B,则sin⁡A>sin⁡B B.若A=πC.sin⁡A+sin⁡B>11.（6分）如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E是边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(点A1不落在底面BCDE内),连接A1B、A1C.若M为线段A1C的中点,则在△ADE的翻折过程中,以下结论正确的是()A.BM∥平面A1DE恒成立 B.VA−A1C.存在某个位置,使DE⊥A1C D.线段BM的长为定值三、填空题（本题共计3小题，总分15分）12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin⁡A=3acos⁡C13.设z为复数,若z(1+i)为实数(i为虚数单位),则|z+2|的最小值为__________.14.如图,某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD市民健身用地,为提高安全性,拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯,其照射角∠PAQ始终为45∘(其中P,Q分别在边BC,CD上),则AP→⋅AQ四、解答题（本题共计5小题，总分77分）15.（13分）已知向量a→=(2+sin⁡x,1),b→=(2,−2),(1)若x∈[0,2π),且a→∥(b(2)是否存在实数k,使得(a→+16.（15分）在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C所对边,tan⁡A=sin(1)求A；(2)若a=2(b−c)=2,求BC边上的高.17.（15分）如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,平面A1ACC1⊥底面ABC,AB=BC=2,∠ACB=(1)求证：A1C⊥(2)求直线CC1与平面18.（17分）一个盒中装有红、白两种颜色的玻璃球,其中红球3个,白球2个.(1)若一次从盒中随机取出2个玻璃球,求至少取到一个白色球的概率P1(2)依次从盒中随机取球,每次取一个,取后不放回.当某种颜色的球全部取出后即停止取球.求最后一次取出的是红色玻璃球的概率P219.（17分）已知区间D,若两个函数y=f(x)和y=g(x)对任意x∈D都有f(x)g(x)>k(其中k>0,g(x)≠0),则称函数y=f(x)是y=g(x)在区间D上的超k(1)已知命题“区间D=(1,5],函数f(x)=2x2−4x+3是g(x)=x−1(2)若函数f(x)=e2x+e−2x是g(x)=ex(3)已知区间D=[1,2],常数c>1,若函数F(x)=c2x−c−2x是G(x)=答案一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.【答案】A【解析】因为5i+2=故选：A2.【答案】D【解析】20个随机数中,含有0,1,2至多1个的有572,714,985,034,437,863,964,469,037,623,804,366,959,742,671,428共16个,∴射击3次至少击中2次的概率的估计值为1620故选：D3.【答案】B【解析】A选项,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与B选项,两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行,所以B选项正确.C选项,若m⊥β,α⊥β,则D选项,若α//β,且l与α所成的角和m与β所成的角相等,则可能l与m异面或相交,故选：B4.【答案】A【解析】设该圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,由12×2因为2πr=25π5×故选：A5.【答案】D【解析】A：若|a→|=|b→B：若a→⋅b→=a→⋅cC：若a→,bD：若a→⊥b→,则a→故选：D.6.【答案】B【解析】从甲袋中任取1个球,该球为白球的概率为23,该球为红球的概率为1从乙袋中取1个球,该球为白球的概率为12,该球为红球的概率为1对于A选项,2个球颜色相同的概率为23对于B选项,2个球不都是红球的概率为1−1对于C选项,至少有1个红球的概率为1−2对干D选项,2个球中恰有1个红球的概率为23故选：B7.【答案】C【解析】由题意可知,PE=DF=10,PF=DE=13设FH=x,HD=y,HP=z,则x2+y2=10,y2+z2=5,x2故选：C.8.【答案】B【解析】∵f(x)的定义域为(1,+∞),易得f(x)在又f(2)=0,∴f(x)只有一个零点x=2.若f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”,则g(x)在[1,3]上存在零点.∴Δ=a2−4(8−a)≥0,解得(1)若Δ=0,即a=4或a=−8时,g(x)只有一个零点x=显然当a=4时,a2=2∈[1,3],当a=−8时,(2)若Δ>0,即a<−8或a>4①若g(x)在[1,3]上存在1个零点,则g(1)g(3)≤0,即(9−2a)(17−4a)≤0,解得174≤a≤9②若g(x)在[1,3]上存在2个零点,则{g(1)≥0g(3)≥01<综上,a的取值范围是[4,9故选：B.二、多选题（本题共计3小题，总分18分）9.（6分）【答案】ACD【解析】先编号：红球为1,2,白球为3,4,不放回依次取出两个,基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43,共12种,事件A=“12,21,34,43”；事件B=“12,13,14,21,23,24”；事件C=“12,21,31,41,32,42”；事件D=“13,14,23,24,31,41,32,42”.A选项,A∪D=Ω,A∩D=∅,所以A与B选项,A∩C≠∅,所以B与C不是互斥事件；C选项,事件AB=“12,21”,所以P(A)=412=13,P(B)=所以A与B相互独立,所以C选项正确.D选项,事件BD=“13,14,23,24”,P(B)=12,P(D)=812=所以B与D相互独立,所以D选项正确.故选：ACD10.（6分）【答案】ACD【解析】解：对于选项A,因为A>B,所以有a>b,所以sin⁡A>对于选项B,因为A=π3,则B+C=2π3,所以C=的取值范围是(π对于选项C,锐角三角形ABC中,A+B>π2,A>π2−B,∴sin对于选项D,锐角三角形ABC中,因为tan⁡A>0,即tan⁡(B+C)<0,tan⁡B+tan⁡C故选：ACD.11.（6分）【答案】ABD【解析】解：取CD中点F,连接MF,BF,如图所示,则MF∥A1D,FB∥DE,则可得平面MBF∥平面A1DE,∵BM⊂平面MBF,BM⊄平面A1DE,∴BM∥A1DE,故A选项正确,设A1到平面EBCD的距离为h,D到AB的距离为h',则V===12×AE×A1C在平面ABCD中的射影在AC上,∵AC与DE不垂直,∴DE与A1C不垂直,故C选项错误,∵∠MFB=∠A1DE=45°,又∵由余弦定理,可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB,且MF,FB为定值,∴MB为定值.故选：ABD.三、填空题（本题共计3小题，总分15分）12.【答案】π3/60∘【解析】由正弦定理可得,sin⁡Csin⁡A=3sin⁡Acos⁡C,又sin⁡A≠0,故故答案为：π13.【答案】2【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R),则z(1+i)=a−b+(a+b)i(a,b∈R),因为z(1+i)为实数(i为虚数单位),所以a+b=0,即b=−a,所以|z+2|=(a+2当a=−1时,|z+2|故答案为：214.【答案】[82−8,4]【解析】设∠PAB=θ,tanθ=t则BP=2tanθ=2t,DQ=2tan(π以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立坐标系,则A(0,0),P(2,2t),Q(2(1−t)1+t,2),AP所以AP→令u=t+1,u∈[1,2],则AP→⋅AQ由对勾函数的性质可得f(u)=u+2u在(1,2所以f(u)又f(1)=3,f(2)=3,所以f(u)=u+2u在u∈[1,2]上的值域为所以AP→故答案为:[82四、解答题（本题共计5小题，总分77分）15.（13分）(1)x=76π或x=【解析】∵b→−c∴−(2+sin⁡x)=sin又x∈[0,2π),∴x=76π(2)存在；k∈[−5,−1].【解析】∵a→+d若(a→+即(3+sin∴k=sin由x∈R得sin⁡x∈[−1,1],得∴当k∈[−5,−1]时,(a16.（15分）(1)A=π3【解析】由tan⁡A=sin⁡B+sin⁡A(方法一：sin⁡A即sin⁡(A−B)=因为在△ABC中,A−B,C−A∈(−π,π),且A−B,C−A同号,所以A−B=C−A,即A=π方法二：同上,得sin⁡A(由正弦定理得a(由余弦定理得a(整理得(b+c)(b2+则cos⁡A=b2+c(2)3【解析】由(1)知,A=π3.由余定理得即4=b2+于是,S△ABC设BC边上的高为h,则S△ABC=12aℎ即BC边上的高为3317.（15分）(1)证明见解析；【解析】证明：∵AB=BC,E为AC的中点,∴BE⊥又平面A1ACC1⊥平面ABC∴BE⊥平面A又A1C⊂平面∴BE⊥又BC1⊥∴A1C⊥(2)33【解析】∵面A1ACC∴∠C1CA为直线C∵AB=BC=2,∠ACB=30∘,E∴EC=3∵CC1=EB=2∴BC∵BE⊥平面∴BE⊥∴EC∴在△CC1E∴直线CC1与平面ABC所成角的余弦值为18.（17分）(1)710；【解析】记3个红球为a1,a从盒中一次取出2个玻璃球,不同结果有：a1a2,a1a3,至少取到一个白色球的不同结果有：a1b1,a所以至少取到一个白色球的概率P1(2)25【解析】依题意,红球全部取出后停止取球有：取球三次有1种方法；取球四次,则前三次取白球一次,有3种方法,因此,红球全部取出后停止取球的不同方法有4种,白球全部取出后停止取球有：取球两次有1种方法；取球三次,则前两次取红球一次,有2种方法；取球四次,则前三次取红球两次,有3种方法,因此,白球全部取出后停止取球的不同方法有6种,从而,当