专题6.9母子型相似三角形综合问题大题专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】专题6.9母子型相似三角形综合问题大题专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________一、解答题（共24题）1．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时△QBP与△ABC相似？【答案】经过4秒或1.6秒时，△QBC与△ABC相似【分析】由题意可得，AP=2t，BP=8-2t，【详解】解：由题意可得，AP∵∠PBQ=∠ABC，当BPAB=BQ即8-t8=当BPBC=BQ即8-t16=即经过4秒或1.6秒时，△QBC与△ABC相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．2．（2021·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）AD=163【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC∴AC2=AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BFBC∴BF2=BE•BC，∴BC=BF2BE=42∴AD=163【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．3．（2020·江苏·泰兴市实验初级中学九年级阶段练习）已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8．（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC长．【答案】（1）△BAD∽△BCA，理由见详解；（2）16【分析】（1）由题意易得BDAB=AB（2）由（1）可得ADAC=12，再由AD【详解】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：∵AB＝2，BC＝4，BD＝1，∴BDAB∴BDAB又∵∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA；（2）由（1）得：ADAC=1∵AD+AC=8，∴AD+2AD=8∴AC=【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2020·江苏扬州·九年级）如图，在ΔABC中，CD⊥AB于D，BE⊥（1）△（2）AD【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接根据相似三角形的判定证明即可；（2）首先根据相似三角形的性质得出AEAD=ABAC，进而证明△【详解】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB=∠ADC=90°，在△ABE和△ACD中∠∴△ABE∽△ACD；（2）∵△ABE∽△ACD，∴AEAD在△ADE和△ACB中，AE∴△ADE∽△ACB∴AD∴AD·BC=DE·AC．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．5．（2020·广西贺州·九年级期末）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA【答案】证明见解析．【分析】根据AC=26，CD＝4，BD＝2，可得ACBC=CDAC，根据【详解】解：∵AC=26，CD＝4，BD＝∴ACBC=∴AC∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．6．（2020·甘肃酒泉·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD=∠ACB（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的长.【答案】(1)见详解；（2）49【详解】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.（2）解:∵△ABD∽△ACB，∴ABAC∴7AC∴AC7．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝AC（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出△（2）由△ACD∼△ABC得∠ADC=∠ACB=90°，∠【详解】（1）∵ADAC=ACAB∴△ACD（2）∵△ACD∴∠ADC=∠ACB∴∠CDB∴△ACD∴CDAD=BD∴CD=【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．8．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求证：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得ADBD=AE（2）由（1）及题意可知ADBD=AFEF=【详解】解：（1）∵DE∥BC，∴ADBD∵AFFE∴AFFE∴DF∥BE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，ADBD=AFEF∵AB＝63，∴AD=∴AEAB∴AEAB∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．9．（2021·安徽合肥·九年级期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF（1）求证：△ADE（2）求证：AE=（3）若FH=3，求【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【分析】（1）先根据垂直的定义可得∠ADE=∠CDB（2）先根据相似三角形的性质可得ADCD=DEDB=（3）先根据相似三角形的判定与性质可得DEFH=AEAF，从而可得DE,BD的长，再根据相似三角形的判定可得【详解】证明：（1）∵BD∴∠ADE∵AF∴∠DAE在△ADE和△CDB中，∴△ADE（2）∵点E为BD的中点，∴DE由（1）已证：△ADE∴AD设AD=a(a>0)∵FH∴AH∴DH又∵BD∴AE即AE=2（3）由（2）已证：AE=2∴AE∵BD∴△ADE∴DEFH=解得DE=∴BD∵∠ABC∴∠BAC∴∠ABD在△ABD和△BCD中，∴△ABD∴AD由（2）可知，设AD=b(∴b解得b=26∴CD则在Rt△BCD中，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．10．（2021·福建东盛集团股份九年级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求CEAC【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE△，得∠（2）由△BAD∽△ACE可证∠CDE=∠CED，进而得出CD=【详解】（1）证明：∵ABAC=AD∴ΔBAD∴∠B∵∠ACB∴△ABC∴ACCD∴A（2）解：∵△BAD∴∠BDA∴∠CDE∴CD∵AD是△ABC的中线，∴BC∴AC2∴CEAC【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD11．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级期中）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、（1）求证：EB（2）连接CG，若BE=CE．求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）易证△BEG∽△AEB，利用对应边成比例即可解决；（2）由（1）的结论及BE=CE，易证明△CEG∽△AEC，从而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得∠CGE【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠ABE=90°∴∠ABG+∠EBG=90°∵AG∴∠ABG+∠BAG=90°∴∠EBG=∠BAG∴Rt△BEG∽Rt△AEB∴EBEA∴EB（2）由（1）有：E∵BE=CE∴C∴CE∵∠CEG=∠AEC∴△CEG∽△AEC∴∠CGE=∠ACE∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD∴OB=OC∴∠DBC=∠ACE∴∠【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2020·浙江·九年级期末）如图1，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，AD=BD．延长（1）证明：∠ACD（2）当AB=8,①求AD的长度．②如图2，作BF平分∠ABC交⊙O于点F，连结DF,【答案】（1）见详解；（2）①AD=203【分析】（1）由题意易得∠BAD=∠ACD，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠ECD=∠BAD，然后问题可求解；（2）①由（1）及题意易得△CDE∽△ABE，则有CDAB=CEAE=②连接CF，过点F作FH⊥AE于点H，由题意易得∠ABF=∠ACF=∠ADF=45°，由①可得CE=253，AD=203，则有AC=253，进而可得AF【详解】（1）证明：∵AD=∴∠BAD=∠ACD，∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠ECD=∠BAD，∴∠ACD（2）解：①由（1）得：∠ACD∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠CDE=90°，∵CD=CD，∴△ADC≌△EDC（ASA），∴AD=DE，AC=CE，∵∠E=∠E，∴△CDE∽△ABE，∵AB=8,∴CDAB∴CDAB∴CEDE设CE=5x,DE=4∴25x2=16∴AD=②连接CF，过点F作FH⊥AE于点H，如图所示：由①得：AD=DE=∵BF平分∠ABC，∠ABC=90°∴∠ABF=45°，∴∠ACF=∠ADF=45°，∵AC是是⊙O的直径，∴∠AFC=90°，∴△AFC和△FHD是等腰直角三角形，∴AF=FC，FH=DH，∴AF=设DH=FH=x，则AH=∴在Rt△AHF中，203解得：x1∴FH=∴S△【点睛】本题主要考查圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．13．（2021·陕西·西安滨河学校三模）如图，小华和同班秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树．他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同班移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC=2米，CD=59米，∠CDE=120°．已知小华的身高AB【答案】DE的长度为403【分析】过E作EF⊥BC于【详解】解：过E作EF⊥BC于∵∠CDE∴∠EDF设EF为x米，DF=33∵∠B∵∠ACB∴△ABC∴AB即1.6x解得：x=60+16∴DE答：DE的长度为403【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出DF，DE的长是解题关键．14．（2022·上海·九年级专题练习）直线y=-13x+1分别交x轴、y（1）求出点A、B的坐标；（2）已知点G的坐标为（2，7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值；（3）在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(3,0)，B(0,1)；（2）tan∠AGB=12；（3）存在，【分析】（1）对于y=-13x+1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，即-13（2）证明AG2＝AB2＋BG2，则△ABG为直角三角形，即可求解；（3）分△ABQ∽△AOB、△ABQ∽△BOA两种情况，利用三角形相似边的比例关系，即可求解．【详解】解：（1）对于y=-13x+1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，即-13故点A、B的坐标分别（3，0）、（0，1）；（2）由A、B、G的坐标知，BG2＝22＋（7−1）2＝40，同理AB2＝10，AG2＝50，故AG2＝AB2＋BG2，故△ABG为直角三角形，则tan∠AGB＝ABBG（3）设直线BG的表达式为y＝kx＋b，则{7=2解得{故直线BG的表达式为y＝3x＋1，设点Q（m，3m＋1），①当△ABQ∽△AOB时，则ABAO=BQ解得m＝±13∴Q1(②当△ABQ∽△BOA时，ABOB=解得：m＝±3，∴Q3(3,10)故点P的坐标为（13，2）或（−13，0）或（3，10）或（−3，−【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．15．（2021·陕西师大附中二模）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切与点D，AE=2BE，连接（1）求证：∠ADC（2）若sinC=13，【答案】（1）见解析；（2）9【分析】（1）连接OD，由圆周角定理和切线的性质可得∠ODC=∠ADB（2）连接BE，OE，由角的正弦值得到sinC=ODOC=13，设OD=x，则OC=3x，AC=2x，BC=4x，证明△ACD∽△【详解】解：（1）连接OD∵AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切与点∴∠∴∠又∵OD=OA，∠∴∠∴∠（2）连接BE，OE由题意，在Rt△COD中，sin设OD=x，则OC=3x，AC=2x，BC=4x∴CD=O∵∠ADC=∠∴∠ADC=∠∴△∴ADBD=CDBC∴在Rt△ABD中，AB∵AE=2BE，∴∠BOE=∴在Rt△ABE中，AE【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．16．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴ADAC=AE∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．17．（2020·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果△DEF与△ABC互为母子三角形，则DEABA．2

B．12

C．2或（2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，求证：△ABD与△（3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG//BC，交射线DA于点G，连结BE，射线BE与射线DA交于点F，若△AGE与【答案】（1）C；（2）见解析；（3）AGGF=1【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；（2）根据两角对应相等两三角形相似得出△ABD∽△ADE（3）根据题意画出图形，分当G,E分别在线段AD,AC上时和当【详解】（1）∵△DEF与△∴DEAB=故选：C（2）∵AD是∠∴∠BAD∵∠ADE∴△ABD∽△又∵AB∴△ABD与△ADE（3）如图，当G,E分别在线段∵△AGE与△∴CD∴AG∵AD∴BD又∵GE∴△GEF∴DF∴DG∴AGGF如图，当G,E分别在射线∵△AGE与△∴CD∴AG∵AD∴BD又∵GE∴△GEF∴DF∴DG∴AG综上所述，AGGF=【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．18．（2021·辽宁葫芦岛·九年级期末）如图：ΔABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC（1）求证：直线BF是⊙O（2）若FC=2，BF=6，求【答案】（1）见解析；（2）1.6【分析】（1）连接AD，根据直角所对圆周角是直角可得∠BAD与ABD的和是90°，再根据等腰三角形的性质可得∠BAD是∠BAC的一半，结合已知条件即可得到结论；（2）连接BE，设AC=m，在Rt△ABF中由勾股定理即可得到AB和AC的长，再证ΔABE∼ΔAFB，得到AE的长，即可得到【详解】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O∴∠ADB∴∠BAD∵AB=∴∠BAD∵∠CBF∴∠CBF∴∠CBF∴∠ABF=90°，即∵OB是⊙O∴BF是⊙O（2）设AB=AC=在RtΔABF中，∵BF∴62+m∴AB=AC=8连接BE，∵AB是⊙O∴∠AEB∴∠AEB又∵∠BAE∴ΔABE∼∴ABAF∴AE∴CE=【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似，由勾股定理得出方程是解题的关键．19．（2020·四川·川大附中九年级阶段练习）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD（1）如图a，当点H与点F重合时，求BE的长．（2）如图b，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段【答案】（1）3；（2）y=2x-42≤x【分析】（1）由EF⊥EC，得∠AEF+∠BEC=90°，又（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G，四边形BEGC是矩形，BE=CG，可证∠ENC=∠ECN，得EN（3）∠BAD=90°，EF⊥EC，推出∠HFE=∠AEC，当△FHE与△AEC相似时，分类讨论①若∠FHE=∠EAC，推出∠EAC=∠ECB，tan∠EAC=tan∠ECB，BCAB=BEBC，求得BE=94，②若∠FHE=∠【详解】（1）∵EF⊥∴∠AEF∵∠AEF∴∠AEF∵∠B∴BE=∵BC=3∴BE=3（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点∴四边形BEGC是矩形，∴BE=∵AB∥∴∠AEH=∠ENC∵∠AEH∴∠ENC∴EN=∴CN=2∵BE=x，DN=∴2xy=4,当点H在线段FD上时，y2x∴y=2（3）∵∠BAD∴∠AFE∵EF⊥∴∠AEF∴∠AFE∴∠HFE当△FHE与△①若∠FHE∵∠BAD=∠B∴∠FHE∴∠EAC∴tan∠∴BCAB∵AB=4，BC∴BE=∵设BE=x，DN=∴DN=②若∠FHE=∠ECA，设EG与AC∵EN=EC，∴∠1=∠2，∵AH∥∴∠FHE∴∠FHE∴∠2=∠ECA∴EO=∵AB=4，BC=3，则AC=5，设EO=CO由EO∥BC∴△AEO∽△ABC∴AEAB=则AE=4k，∴AO+∴k=∴AE=52∴DN=综上所述，线段DN的长为12或1时△FHE与【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角函数是解题关键．20．（2021·安徽·合肥市五十中学西校九年级期中）如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）求证：△ACD∽△ABE；（2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．【答案】（1）见详解；（2）相似，理由见详解；【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定方法AA进行证明即可得到结论；（2）连接DE，根据（1）中的结论，可得对应边成比例，交换下比例项，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE（2）连接DE，∵△ACD∽△ABE,∴AD：AE＝AC：AB．∴AD：AC＝AE：AB．∵∠A＝∠A．∴△AED∽△ABC，【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，正确连接辅助线，熟练运用相似三角形的判定进行证明是解题的关键．21．（2020·河北石家庄·九年级期中）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D（BD>CD），在劣弧AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于213，BC＝10，求CE【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连AD利用直径所对圆周角是90°，可得∠DAC+∠DCA=90°，再由等量代换∠EBC+∠DCA=90°，则问题可解；（2）由已知，可得∠BAD=45°，再设AD=BD=x，在△ADC中利用勾股定理求DC，进而求BC，再证明△CDE∽△CEB，求CE即可．【详解】（1）证明：连接AD∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°即∠DAC+∠DCA=90°∵∠EBC＝∠DEC，∠DAC＝∠DEC∴∠EBC＝∠DAC∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠BGC=90°∴AC⊥BH（2）解：∵∠ABC＝45°，∠ADB=90°∴∠BAD=45°∴∠BAD=∠ABD∴AD=BD设AD=BD=x，CD=10x，则xx1=4（舍），x2=6∴BD=6，CD=4∵∠EBC＝∠DEC，∠BCE＝∠ECD∴△CDE∽△CEB∴EC即EC4∴CE【点睛】本题考查了圆周角定理的推理、相似三角形的性质与判定，解答关键是根据勾股定理构造方程求解．22．（2020·内蒙古·乌拉特前旗第六中学九年级期中）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见详解；（2）75-183【分析】（1）证明△EAB∽△ECD，根据相似三角形的性质即可得结论；（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△CDG中利用已知条件求得DG、OG的长，再根据△CDE的面积为6，可求得DE的长，在△ABH中求得BH、AH的长，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的长，由S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH，即可求得四边形ABCD的面积．【详解】解：（1）证明：∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∴∠ABE＝∠CDE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△EAB∽△ECD，∴EBED∴ED·（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H，∵CD＝5，cos∠ADC＝35∴DG＝3，CG＝4.∵S△CED＝6，∴ED＝3，∴EG＝6.∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，∴BH＝6，AH＝63由（1）得△ECG∽△EAH，∴EGEH∴EH＝93∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝12×63【点睛】本题考查的主要是解直角三角形知识和三角形相似问题，解直角三角形可以为我们提供三角形中边的条件和角的条件，利用三角形相似可以建立方程，表达出变量之间的关系；这种类型的题目给出的条件中有三角函数和边长，在解题时就应该利用三角函数和已知的边长求出另外的边长，继而进行解题；三角函数的计算要在直角三角形中进行，因此借助辅助线构造直角三角形就是解决这种类型题目的关键．23．（2022·广东·深圳市福田区深大附中创新中学九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．【答案】（1）能，t的值为2s或3s；（2）t为4013秒与257【分析】（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解．（2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）如图1，过点P作PH⊥BC于点H，在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，当运动ts（0＜t＜5）时，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC，∴△PHC∽△ABC，∴PH∴PH＝35（10﹣2t）cm根据题意，得12t•35（10﹣2t）＝解得：t1＝2，t2＝3．答：当t的值为2s或3s时，△CQP的面积等于3.6cm2时．（2）如图2，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴PCAC＝CQ即10-2t10＝解得t＝4013如图3，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴CPBC＝CQ即10-2t8＝解得t＝257综上所述，t为4013秒与257秒时，△CPQ与△【点睛】本题考查的是相似三角形的判