期中培优测试（A卷）（范围一元二次方程二次函数旋转）

期中培优测试（A卷）范围：一元二次方程、二次函数、旋转时间：100分钟满分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题（共30分）1．（本题3分）一元二次方程配方后可变形为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：∵x28x+1=0，∴x28x=1，∴x28x+16=15，∴（x4）2=15．故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．2．（本题3分）如图中的各车标图案，是中心对称图形的共有（

）个．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：由题意知，第1，4，5个图形是中心对称图形，符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．3．（本题3分）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线平移变化规律左加右减，上加下减求解即可．【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即，故选：A．【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是明确平移变化规律左加右减自变量，上加下减常数项．4．（本题3分）如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是（）A．2 B． C．2，6 D．30，34【答案】C【详解】试题分析：由原题可列方程x2+4x+4=16，∴x2+4x12=0，∴（x2）（x+6）=0，∴x=2或x=6，故本题选C.考点：一元二次方程的解法5．（本题3分）如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解．【详解】解：∵，∴，∵在平面内绕点A旋转到，∴，∴，∴，∴旋转角的度数为．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．6．（本题3分）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（

）A．20% B．25% C．50% D．62.5%【答案】C【详解】设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由题意可得：2（1+x）2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），答即该店销售额平均每月的增长率为50%；故选C．7．（本题3分）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，与事实矛盾，不符合题意；B、由抛物线的开口向下可知与事实矛盾，不符合题意；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知，，符合题意；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与其系数的关系是解题的关键．8．（本题3分）定义表示不超过实数的最大整数，如，，．函数的图象如图所示，则方程的解为（）

A．0或 B．0或3 C．0或 D．或【答案】A【分析】根据题目给的新定义，结合函数图象分段讨论.【详解】解：当时，，该方程无解；当，，该方程无解；当，，解得；当，，解得，.综上，方程的解为或.故选：A.【点睛】本题结合了定义新运算与分段函数，理解题意，分段讨论是解答关键.9．（本题3分）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（）．A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由边长为1的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，，从而可求四边形的周长．【详解】解：连接，∵旋转角，，∴B在对角线上，∵，在中，，∴，在等腰中，，在中，，∴，∴四边形的周长是：．故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键．10．（本题3分）已知二次函数的图象经过点、，，图象与y轴的负半轴相交，且交点在的上方，有下列结论：；；；其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由时，得，而，解不等式即可得到，故错误；由图象开口向上知，由与x轴的另一个交点坐标为，且，则该抛物线的对称轴为，由可得，于是得到，所以正确；把代入得：，即因为，等量代换得到，故正确；由可知，根据，可得，利用不等式的性质得出，故正确．【详解】解：如图：由时，，得，，，，故错误；由图象开口向上知，由与x轴的另一个交点坐标为，且，该抛物线的对称轴为，由于，即，，所以，故正确；把代入得：，因为，当时，，，，即，故正确；由可知，．，，，，故正确；故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想，题目比较好，但是难度偏大．评卷人得分二、填空题（共15分）11．（本题3分）方程的解是．【答案】，【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解．【详解】解：原方程可化为：，因式分解得：，所以或，解得：，，故答案为：，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．12．（本题3分）点与点关于原点对称，则的值为．【答案】【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】解：由题意，得，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13．（本题3分）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是．【答案】0【分析】将代入方程，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴或，∵是一元二次方程，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．注意合一元二次方程的二次项的系数不为0．14．（本题3分）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为，，，水嘴高，则水柱落地点到水嘴所在墙的距离是．

【答案】6【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，易得点和点的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点的坐标求得函数的解析式，再求出点的坐标即可得到的长度．【详解】解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，∵点是最高点，∴设抛物线的解析式为：，将点坐标代入，可得：，解得：，∴，令，解得：，，∴点，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．15．（本题3分）已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一抛物线y＝(x+1)2向下平移m个单位(m＞0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是．【答案】2≤m≤8【详解】设平移后的解析式为y=y=（x+1）2﹣m，将B点坐标代入，得4﹣m=2，解得m=2，将D点坐标代入，得9﹣m=1，解得m=8，y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8.点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了矩形性质和二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，把B，D的坐标代入是解题关键．评卷人得分三、解答题（共75分）16．（本题8分）用适当的方法解方程：(1)，(2)，【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，．（2）解：，∴，∴，∴，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．17．（本题8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段DE的端点坐标是D(7，－1)，E(－1，－7)．(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；(3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出旋转后的图形．

【答案】（1）将线段AC先向右平移6个单位；（2）F（－1,－1）.【详解】试题分析：（1）将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位即可得出符合要求的答案；（2）根据A，C对应点的坐标特点，即可得出F点的坐标；（3）分别将D，E，F，A，B，C绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图象即可．试题解析：（1）将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位．（其它平移方式也可以）；（2）根据A，C对应点的坐标即可得出F（﹣l，﹣1）；（3）画出如图所示的正确图形．

考点：1.作图旋转变换；2.作图平移变换．18．（本题8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围，(2)如果该方程的两个实数根为，且，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据根与系数的关系得到，再由得到关于m的方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴；（2）解：∵该方程的两个实数根为，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．19．（本题9分）如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽为x米．(1)若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽；(2)能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)宽为8米(2)不能围成面积为120平方米的花圃【分析】（1）由篱笆的总长度可得出花圃的长为米，根据花圃面积为96平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的最大可用长度为22米，即可得出结论；（2）不能围成面积为120平方米的花圃，根据花圃面积为120平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为120平方米的花圃．【详解】（1）花圃的宽为米，花圃的长为米．依题意得：，解得：，．当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意．答：此时宽为8米；（2）不能围成面积为120平方米的花圃，理由如下：依题意得：，整理得：，，该方程无实数根，即不能围成面积为120平方米的花圃．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．20．（本题10分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100110120130…月销量（件）200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）（x60）；﹣2x+400；（2）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．【分析】（1）根据利润=售价进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．【详解】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；故答案为：（x60）；②设月销量W与x的关系式为W=kx+b，由题意得，，解得，，∴W=﹣2x+400；故答案为：（﹣2x+400）；（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．21．（本题10分）如图二次函数的图象与轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D(1)求二次函数的解析式；(2)写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；(3)若直线与轴的交点为点，连结，，求的面积【答案】(1)(2)或(3)4【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A、B、C，即可解答本题；（2）根据题意可以求得点D的坐标，再根据函数图象即可解答本题；（3）根据题意作出辅助线，即可求得△ADE的面积．【详解】（1）∵二次函数过，∴解得所以解析式为：（2）∴该函数的对称轴是直线x=1，∵点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴点D（2，3），∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜2或x＞1（3）连结AE，设直线BD：y＝mx＋n，代入B（1，0），D（−2，3）得，解得：，故直线BD的解析式为：y＝−x＋1把x＝0代入y＝−x＋1得，y=1，所以E（0，1），∴OE＝1，又∵AB＝4

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．22．（本题10分）请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，求度数的大小和等边三角形的边长．李明同学的思路是：将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，而，进而求出等边的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：问题：如图3，在正方形内有一点P，且，，．求(1)度数的大小；(2)正方形的边长．【答案】(1)(2)【分析】（1）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，易证是等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证得是直角三角形，得到，进而得到，即可求出度数；（2）过点B作交的延长线于点E，易证是等腰直角三角形，利用勾股定理，求得，进而得到，再利用勾股定理，求出，即可得到正方形的边长．【详解】（1）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接由旋转的性质可知，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，是直角三角形，，，；

（2）解：过点B作交的延长线于点E，，，是等腰直角三角形，，由勾股定理得：，，,在中，，正方形的边长为．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，利用旋转的性质作辅助线是解题关键．23．（本题12分）在平面直角坐标系中，O为原点，直线与y轴交于点A，与直线交