第02讲等腰三角形（5类题型）

第02讲等腰三角形（5类题型）课程标准学习目标1.等腰三角形的概念；2.等边对等角；1．使学生了解等腰三角形的有关概念。2．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等腰三角形的轴对称性。3、进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。知识点01：等腰三角形概念定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。【即学即练1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm【答案】D【分析】分类讨论：当8cm是腰长时和当8cm是底边长时，结合三角形的周长，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm，∴当8cm是腰长时，底边为：cm；∴当8cm是底边长时，腰长为：cm，∴腰长为8cm或6cm，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，利用分类讨论思想是解题的关键．【即学即练2】（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成一个等腰三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根据三角形的三边关系，以及等腰三角形的定义，逐一判断即可解答，【详解】解：A、∵，∴能摆成三角形，但不是等腰三角形，故A不符合题意；B、∵，∴能摆成三角形，而且是等腰三角形，故B符合题意；C、∵，∴不能摆成三角形，故C不符合题意；D、∵，∴不能摆成三角形，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．题型01等腰三角形的定义1．（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（）A．26或28 B．26 C．28 D．【答案】A【分析】分8是底边和腰长两种情况讨论求解．【详解】解：若8是底边，则三角形的另两边分别为10、10，能组成三角形，周长，8是腰长，则三角形的另两边分别为8、10，能组成三角形，周长．综上所述，它的周长m的取值为26或28．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．2．（2023秋·八年级课时练习）若是等腰三角形，，则的度数是（

）A．或 B．或C．或 D．或或【答案】D【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．【详解】解：是等腰三角形，，当是顶角时，；当是底角时，①当时，则；②；综上所述，的度数是或或，故选：D．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．3．（2023秋·全国·八年级课堂例题）（1）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则它的周长为；（2）已知等腰三角形的一边长为2，另一边长为6，则它的周长为．【答案】14或1614【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；（2）由等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）当腰长为4时，符合三角形三边关系，则周长为；当腰长为6时，符合三角形三边关系，则周长为，故答案为：14或16．（2）当腰长为2时，，不符合三角形的三边关系，故舍去，当腰长为6时，则周长为，故答案为：14．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知等腰的三边长，，，且满足：，求的周长为．【答案】【分析】根据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得的值，根据等腰的性质，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，解得，，∵等腰的三边长、、都是正整数，当时，,不能构成三角形；当时，的周长为；综上，的周长为．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得的值是解题的关键．5．（2023春·云南·七年级统考期中）已知，，分别为的三边长，，满足，且为方程的解，请先判断的形状，再说明理由．【答案】是等腰三角形，理由见解析【分析】根据非负数的性质求出b、c，解方程求出a，进而可作出判断．【详解】解：是等腰三角形，理由如下：，，．，，又，．是等腰三角形．【点睛】本题考查了非负数的性质、一元一次方程的求解和等腰三角形的定义等知识，正确求出a、b、c的值是解题的关键．题型02根据等边对等角求角度1．（2023春·福建宁德·八年级校考期末）如图所示，线段的垂直平分线交线段于点，，则的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段垂直平分线性质得出，根据等腰三角形的性质推出即可．【详解】解：是线段的垂直平分线，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，能根据线段垂直平分线的性质推出是解此题的关键．2．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，点分别在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】证明，得出，根据，得出，求出．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．3．（2023秋·北京海淀·八年级校考开学考试）如图，在中，，为边上一点，于，连接，，若，则．

【答案】35【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【详解】解：，，是线段的垂直平分线，，，由题意得，，解得，．故答案为：35．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）如图，在中，点D在边上，，，则，

【答案】/25度/105度【分析】先根据，利用三角形内角和定理求出和的度数，再根据三角形外角的性质即可求出和的大小，继而求出．【详解】解：，，由，得，，，，∴，故答案为：，．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．5．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，点D是底边的中点，，求的度数．

【答案】．【分析】由，，得，，由得即可求解．【详解】解：∵，，∴，（三线合一），∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三线合一，垂直的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．题型03根据等边对等角证明1．（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）如图，若，点在边上，则下列结论中不一定成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据全等三角形的性质可直接进行排除选项．【详解】解：∵，∴，，，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；与不一定相等，故A、C、D都是正确的，不符合题意；B选项是错误的，符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（

）

A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】如图所示，过点E作于H，连接，先证明得到，再证明得到，进而推出当三点共线且点F与点H重合时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E作于H，连接，∵，是边上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线且点F与点H重合时，有最小值，即此时有最小值，∵，∴，∴的最小值为，故选D．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．3．（2023春·福建宁德·七年级统考期末）如图，在中，，点D在上，．若，则．

【答案】70【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【详解】解：，∴是的平分线，，∵，∴，∴．故答案为：70．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．4．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，，，将折叠，使边落在边上，若点的落点恰好是中点，则°；折痕是的（填“中线”或“角平分线”）．

【答案】角平分线【分析】如图，由折叠可得：，，，证明是的垂直平分线，可得，，可得，从而可得答案．【详解】解：如图，由折叠可得：，，，

∵为的中点，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴，而，∴，∴折痕是的角平分线；故答案为：，角平分线．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，线段的垂直平分线的定义与性质，等腰三角形的性质，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．5．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，已知是延长线上的点．(1)过点在射线右侧作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求证：平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图所示，作，从而利用同位角相等可得两直线平行；（2）由平行线的性质先证明，再证明，结合等量代换可得结论．【详解】（1）解：如图所示，为所求作的直线；（2），，，∴，，平分．【点睛】本题考查的是作已知直线的平行线，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键．题型04根据三线合一求解1．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点E，，，则的面积是（

）

A． B． C．8 D．6【答案】C【分析】过作交于点，根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合，平分得到即可得到答案；【详解】解：过作交于点，∵是等腰三角形底边上的中线，∴，，∵平分，，∴，∵，，∴，故选C；

【点睛】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】C【分析】根据三线合一的性质，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，即可得出答案．【详解】解：周长，，，，，，∴，又∵垂直平分，∴，∴，∴，，．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．3．（2023春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E，若，则的度数为．

【答案】/20度【分析】根据三角形三线合一的性质可得，根据同角的余角相等可得：，再根据等量关系得到．【详解】解：，是边上的中线，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了余角的性质．4．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为；

【答案】9【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，的周长最短．故答案为：9．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．5（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．

(1)如图1，若，．求证：；(2)如图2，若，，设，．①猜想与的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，，请直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果；（2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果．【详解】（1）解：如图，过A作于F，∵，，∴，，∴，即；

（2）①猜想：，理由是：∵，，∴，∵，，∴，即，整理得：；②∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系．题型05根据三线合一证明1．（2023春·甘肃张掖·七年级校联考期末）高台县崇文楼始建2011年，取“崇文尚德·大运高台”之意，总高米，由台明、楼身和宝顶三部分组成．建这座楼的主要目的是为了延续高台人杰地灵、源远流长的文脉，在当今文化大发展时代，激励莘莘学子努力学习、求学上进，将来回报和建设家乡、建设祖国．如图，“崇文楼”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：，，，即是的高线，是等腰三角形，，是的角平分线，故A选项不符合题意；是等腰三角形，，是的角平分线，故B选项不符合题意；若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意；，，是的角平分线，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论共有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】首先证明，根据等腰三角形的性质即可判断②③正确，由，推出，，故①正确；由，推出，故④错误．【详解】解：，，平分，，，，是的角平分线，，，故②③正确，在与中，，，，，故①正确；，，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确使用等腰三角形的性质三线合一，属于中考常考题型．3．（2023·全国·八年级假期作业）聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳子经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是．【答案】等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合【分析】根据等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合，即可．【详解】解：∵是等腰三角形，∴，∵点O为的中点，∴，即挂重物的绳与桌面垂直，（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合）故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合．【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．4．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3cm，则P点到直线AB的距离为．【答案】3cm【分析】由已知条件，根据等腰三角形三线合一性质可得到∠ABD＝∠DBC，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到答案．【详解】解：过点P作PF⊥AB与点F，∵BA＝BC，BD是AC边上的中线，∴∠ABD＝∠DBC，即BD为角平分线，又PF⊥AB，PE⊥CB，∴PF＝PE＝3cm．故答案为：3cm．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质．角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，垂足为点，．(1)说明的理由；(2)若，请说明的理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，可得结论；（2）由外角性质可得，由“”可证，可得．【详解】（1）解：∵，，∴，且，∴；（2）解：，，∵，且，∴，且，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明是本题的关键．A夯实基础1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）是等腰三角形，，则的周长为（

）A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为与腰为时，即可得到答案．【详解】解：当的腰为时，的周长；当的腰为时，的周长．故选：D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．2．（2023秋·八年级课时练习）等腰三角形的周长为，如果它的一边长为，那么其另两边长为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】题目给出等腰三角形一条边长为5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：（1）当5是腰长时，底边为，此时11、5、5三边不能够组成三角形，（2）当5为底边长时，腰长为，此时8、8、5能够组成三角形，所以另两边长为8，8．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．（2023秋·河南郑州·八年级统考期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（

）

A．等边对等角 B．等角对等 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵，，∴，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键．4．（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，在中，，点E是斜边的中点，垂直于，交于点D，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根中点与垂直条件得出是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵点E是的中点，，∴是的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了是线段的垂直平分线的判定与性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和角的转化是解题的关键．5．（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末）一个等腰三角形有两边分别为4和9，则周长是．【答案】22【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：①若4为腰长，9为底边长，由于，则三角形不存在；②若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故答案为22．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．6．（2023·福建福州·校联考模拟预测）若等腰三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长是.【答案】15【分析】分是腰长与底边长两种情况讨论求解．【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、，，不能组成三角形，②是底边时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长．综上所述，这个等腰三角形的周长为．故答案为：15．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．7．（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）如图，为等腰直角三角形，，延长至点，连接，，则=．【答案】30°/30度【分析】根据为等腰直角三角形，，可得，由外角的性质可得．【详解】∵为等腰直角三角形，，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及外角的性质，解题的关键是掌握其性质．8．（2023春·山东菏泽·八年级牡丹区实验中学校考阶段练习）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”．若等腰中，若，则顶角为．【答案】36【分析】设顶角为，则底角为，根据三角形的内角和定理列方程解题即可．【详解】设顶角为，则底角为，解得∴顶角为36°故答案为：36．【点睛】本题考查等腰三角形de性质和三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．9．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，已知中，，．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析【分析】利用等边对等角及三角形内角和得到，故作即可得．【详解】如图点D为所求．【点睛】本题考查等边对等角，尺规作垂直平分线，需要在一定构图特殊性下的尺规作图，需要分析题中条件，得到长度角度关系，再考虑基础尺规作图的方法进行构造即可．10．（2023春·广东揭阳·七年级期末）如图，已知中，，，且平分．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)70度【分析】（1）要求证：可以先根据角角边定理证明，再根据全等三角形性质得出结论；（2）根据，得，再由三角形内角和求出．【详解】（1）（1）证明：∵平分，∴，∵，∵，∴，

∴；（2）解：∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，掌握相关定理，灵活运用是解题关键．B能力提升1．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，点在点的北偏西方向，点在点的正东方向，且点到点与点到点的距离相等，则点相对于点的位置是

A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西【答案】D【分析】根据题意求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，得到答案．【详解】解：点在点的北偏西方向，

，点在点的正东方向，，，，，，点相对于点的位置是南偏西，故选：D．【点睛】本题考查的是方向角、等腰三角形的性质，正确标注方向角是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度；【详解】如图连接PC，∴垂直平分，∴、、共线时，的值最小，最小值为的长度；

故选B【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型3．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在证明等腰三角形的性质定理：“等腰三角形的两底角相等”时，李老师在黑板上出示了“已知，在中，，求证：．甲同学做法：“作的平分线，利用“”证明，则”；乙同学做法：“作边上的高，利用“”证明，则”；丙同学做法：“作边上的中线，利用“”证明，则”；下列说法正确的是(

)A．甲、乙、丙做法都对 B．甲、乙、丙做法都不对C．只有乙做法不对 D．只有丙做法不对【答案】A【分析】根据全等三角形的判定和性质分别证明甲、乙、丙做法，即可求解．【详解】解：甲同学做法：证明：如图，作的平分线交于点，则，

在和中，，，，故说法正确；乙同学做法：如图，作边上的高，则，

在和中，，，，故说法正确；丙同学做法：证明：如图，取的中点，连接，则，

在和中，，，，故说法正确；故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为E，交于F，是边的垂直平分线，垂足为M，交于N．连接、则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质解答即可．.【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．5．（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别为2和3，则这个等腰三角形的周长为．【答案】7或8/8或7【分析】分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可．【详解】解：分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时，∵，∴该等腰三角形成立，∴此时这个等腰三角形的周长为；当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，∵，∴该等腰三角形成立，∴此时这个等腰三角形的周长为．综上可知这个等腰三角形的周长为7或8．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系．利用分类讨论的思想是解题关键．6．（2023春·河南新乡·七年级统考阶段练习）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形有以下四类线：①底边上的高②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的垂直平分线．其中是等腰三角形的对称轴的有个．【答案】1【分析】根据等腰三角形的性质已经对称轴的含义解答即可．【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，底边上的垂直平分线是等腰三角形的对称轴，底边上的高所在的直线，顶角的平分线所在的直线，底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴，所以是等腰三角形的对称轴的有1个．故答案为：1．【点睛】本题考查了等腰三角形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，易错点是熟记对称轴是直线，不是线段．7．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，点B，D在射线上，点C，E在射线上，且，已知，则°．

【答案】【分析】由“等边对等角”可得，由三角形的外角性质可得，据此即可求解．【详解】解：∵∴根据三角形的外角性质有：∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质．熟记相关结论是解题关键．8．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，在一张纸片上将翻折得到三角形，并以为边作等腰，其中，且E，A，C三点共线，，则的度数是．

【答案】/152度【分析】根据折叠得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可．【详解】解：根据折叠可知，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等边对等角．9．（2023春·山东济南·八年级校考阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．

(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的度数；【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得证；（2）由等边对顶角结合三角形内角和定理可求出，，从而可求出．【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于点D，∴，即是等腰三角形；（2）解：∵是等腰三角形，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．10．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．(1)若的周长为cm，求的长；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据的周长即可求解．（2）根据三角形内角和定理求出的值，再求出的值，根据等边对等角可得，然后运用三角形的内角和定理进行计算．【详解】（1）解：、分别垂直平分和，，的周长，的周长为cm，；（2）解：，，，，，，，．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角性质，三角形内角和定理．运用整体思想是解题的关键．C综合素养1．（2023秋·河南开封·八年级校考期末）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，连接．若的周长为12，则的长为（

）

A．6 B． C．7 D．【答案】A【分析】由作图过程可得，是的垂直平分线，可得，结合，所以，进而可以解决问题．【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，，则，∵，∴，∴的周长为：．∴．故选：A．【点睛】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．2．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，，点D在边上，，和相交于点O，若，则的度数为（

）

A．71° B．69° C．67° D．65°【答案】B【分析】证明，得到，等边对等角，求出的度数，即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，，∴，∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．3．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【分析】由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：，，，，，解得：，，当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：，当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．4．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，中，，，为边上一点（不与、重合），将沿翻折得到，交于点．若为等腰三角形，则为（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】分两种情况进行讨论，当时，根据折叠的性质可知，设，根据等腰三角形的性质可得，则，解出x即可；当时，根据折叠的性质可知，设，根据等腰三角形的性质可得，则，则，解出y即可．【详解】解：当时，根据折叠的性质可知，设，∵，∴，∵为等腰三角形，，∴，∵，∴，解得，当时，根据折叠的性质可知，设，∵，∴，∵为等腰三角形，，∴，∴，∵，∴，解得，综上所述，的度数为或，故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．5．（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是．【答案】【分析】先根据非负数的性质求出的值，再讨论a为腰长和底边长，结合构成三角形的条件进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，当腰长为3时，则该三角形的三边长分别为，∵，∴此时不能构成三角形，当腰长为6时，则该三角形的三边长分别为，∵，∴此时能构成三角形，∴该等腰三角形的周长为，故答案为：．【点睛】本