27.2.9相似三角形与圆综合-2021-2022学年九年级数学下册课后练习(人教版)

【专题】相似三角形与圆综合学习必知：相似三角形与圆的综合题，证明相似时，通常是利用圆的性质（圆的内接四边形对角互补、同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是90°、圆的半径相等、切线的性质等）寻找两个角对应相等，利用“两个角分别相等的两个三角形相似”来证明.1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________.【答案】5．【详解】解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD.∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴，即解得：x=5．故答案为5．【点睛】本题考查1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质．2．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．

【答案】②④⑤【分析】①根据线段垂直平分线定理，为的直径，为的弦，即可得出结论；②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可；③根据已知条件先得出∠EBC的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可；④根据角角相似证明△EFD∽△BFE即可得出结论；⑤先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可计算出结果．【详解】解:①∵DE是的垂直平分线∴为的直径，为的弦．故①不正确．②∵DE是的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∴∠A+∠ABC=90°∴故②正确．③连接OD的长为．故③错误．④∵DE⊥AB，F是的切线∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴．故④正确．⑤∵，∴BF=∵∴在Rt△EDB中，，∵DE是的垂直平分线，∴，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽Rt△ACB∴∴∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=ACAE=10.248=2.24．故⑤正确．综上所述：正确的有②④⑤．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键3．（2020·浙江北仑·九年级期中）如图，内接于，且，是是上的一点，在的延长线上，连结交于，连结．（1）求证：平分；（2）若，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）据等边对等角，判定∠DCB=∠DBC，再据同弧所对圆周角相等，判定∠DAC=∠DBC，再据圆内接四边形性质判定∠EAD=∠DCB，最后得证平分；（2）运用等边对等角和同弧所对圆周角相等证得∠CFB=∠DCB，据△BCF和△BDC还有一个公共角，由有两个角对应相等的三角形相似，证得．【详解】如下图（1）∵∴又∵，∴，即平分．（2）∵∴又∵，∴又∵∴．【点睛】此题考查圆周角的相关知识及圆内接四边形的性质．找准图形正确运用相关知识是关键．4．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的长．【答案】（1）与相切．证明见解析；（2）【分析】（1）利用角平分线的定义证明结合等腰三角形的性质证明从而证明结合可得答案；（2）连接，先利用勾股定理求解的长，再证明利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案．【详解】解：（1）与相切．理由如下：如图，连接，平分，在上，是的切线．（2）连接为的直径，，，解得：所以：的长为：【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．5．（2021·四川泸州·中考真题）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC（1）求证：；（2）若，于点，，，求的值【答案】（1）证明见详解；（2）18．【分析】（1）连接，根据是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，可得，利用，得到，根据圆周角定理可得，则可证得；（2）由（1）可知，易得△AFC∽△CFB，则有,则可得，并可求得，连接，易证△ACD∽△AEB，则有，可得．【详解】解：（1）连接∵是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，∴∠OCF=∠ACE=90°，∴∴又∵∴根据圆周角定理可得：∴，∴；（2）由（1）可知，∵∴△AFC∽△CFB∴∴,∵，，∴∴∴又∵△AFC∽△CFB中，∴，如图示，连接∵，∠ADC=∠ABE=90°∴△ACD∽△AEB∴∴．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．6．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B．（1）求证：；（2）若，，求证：∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵是的直径，∴∠ABC=90°，∵切于点B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．7．（浙江省杭州市2021年中考数学真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．(1)求证：．(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．(3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析【分析】(1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角形相似；(2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由即可求得；(3)要证即证，已知条件有一对角相等，利用外角关系可以证明，从而得证．【详解】(1)因为平分，所以，又因为，所以．(2)由(1)，知，因为，所以，所以．(3)因为，又因为，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，所以．【点睛】本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似．8．（青海省2021年中考数学真题）如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点．（1）求证：；（2）求证：直线是的切线．

【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意，通过，即可证明；（2）连接，通过证明O