专题18直角三角形（原卷版）

专题18直角三角形广东数学中考中，直角三角形相关知识是解决几何题的重要工具，一般在较为综合的试题中体现，考查难度有简单，也有中等偏上难度的题，常考知识有：直角三角形的相关性质定理、勾股定理及其逆定理等，像含30°、45°这些特殊角的直角三角形，更加是热门出题方向。结合近些年的中考情况，在复习这一板块的知识时，需要熟练掌握直角三角形的各种性质与判定方法，同时学会构造含特殊角的直角三角形解决问题。一．直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半判定有一个角是90°的三角形时直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形1．如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的大小为（

）A． B． C． D．2．在中，，，则（

）A． B． C． D．3．对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．如图，在中，，，，是边上的动点，则的长不可能是（

）A．3 B．5 C．6 D．75．如图，在中，，是斜边上的中线，若，的长为（

）A．6 B．5 C．3 D．1.56．如图，在中，是高，是角平分线，交于点F，，求的度数．7．满足下列条件的，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．8．如图，一架3m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，M为中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将（

）A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小9．如图，在中，，，，将其沿折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长是（

）A．12 B．10 C．8 D．610．如图，在中，，，是边的中点，在边上，若，则的长为______．11．如图，在中，，是边上的中线，．若，求的长．二．勾股定理及其逆定理勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数1．在中，已知其中两直角边长，，那么斜边c的长为（）A．3 B．4 C． D．2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是（

）A．14 B．34 C．58 D．723．《九章算术》中有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈=10尺，1尺=10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为尺，则下列方程中正确的是（

）A． B．C． D．4．如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（

）A． B．C． D．5．如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是___________．6．有一块空白地，如图，，，，，，试求这块空白地的面积．7．如图，已知中，，是上一点，且，．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长．勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想。8．下列各数是勾股数的是（

）A．1、2、 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、69．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为______米．10．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格上．于点D，则__________．11．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是______12．如图，在中，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．若，则图中阴影部分的面积为___________．13．如图，一块四边形的空地，，的长为，的长为，的长为，的长为．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？14．如图，是等边内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，(1)求点与之间的距离；(2)求的度数．考向三：勾股定理与弦图、拼图勾股定理与弦图：牵涉到弦图时，所用的直角三角形皆是全等直角三角形，证明时一般依据面积相等来列式得结论；勾股定理与拼图：多考察七巧板的变形，注意各个七巧板组成间的等量线段，再结合勾股定理来计算即可。1．如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（）A．6 B．12 C．16 D．242．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为8的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为12．3．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．小聪将一块腰长为20cm的等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图②），则图中阴影部分的面积为（）A．5cm2 B．25cm2 C．50cm2 D．100cm24．习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是cm．1．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定2．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．3．（2020·广东·统考中考真题）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．4．（2021·广东·统考中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．（1）若，求的周长；（2）若，求的值．5．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．1．如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则下列说法中正确的是（）A．∠α的余角只有∠B B．∠α的补角是∠DACC．∠α与∠ACF互补 D．∠α与∠ACF互余2．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=()A．6 B．6 C．6 D．123．如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．4．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（

）A． B． C． D．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，AB=2，则CD=________．6．如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿直线翻折，点的对应点恰