3.2圆的对称性（B卷能力拓展）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

3.2圆的对称性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．（2021—2022黑龙江哈尔滨九年级开学考试）下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②中心对称的两个图形是全等图形；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④能够互相重合的两条是弧等弧；⑤圆是轴对称图形，直径是圆的对称轴；其中正确的说法有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据轴对称，中心对称的性质，等弧，垂径定理，轴对称等知识点一一判断即可．【详解】解：①平分弦的直径不一定垂直于弦，不一定平分弦所对的两条弧，故原说法错误；②中心对称的两个图形是全等图形，故原说法正确；③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误；④能够互相重合的两条弧是等弧，故原说法正确；⑤圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法错误；综上所述，正确的说法有2个；故选：B．【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握相应的知识点是解题的关键．2．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（）①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OEA．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．【详解】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，∴CE=DE，，，∴∠BOC=2∠A=40°，，即，故③正确；∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，∴∠C=50°，故②正确；∵∠C≠∠BOC，∴CE≠OE，故①错误；作OP∥CD，交AD于P，∵AB⊥CD，∴AE＜AD，∠AOP=90°，∴OA＜PA，OE＜PD，∴PA+PD＞OA+OE∵OE＜OA，∴AD＞2OE，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．3．（2021—2022北京人大附中九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根据作图可知①正确，再根据圆周角定理和垂直平分线的性质得到②正确，根据平行线的性质证明判断即可；【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是的中点，∴，∴，∴BD平分∠ABC，故①正确；连接DC，AC，∵OD垂直平分AC，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴BC∥OD，故②正确；∴，，∴，∴，设，则，，∴，∴CE＝OE，故③正确；故选D．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．【详解】解：取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短点P是BO的中点在中，是等边三角形在中，．【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．二、填空题5．（2021—2022贵州九年级期中）如图，在⊙O中，=，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是______填序号．【答案】①②③④【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【详解】解：∵在⊙O中，=，∴AB=CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴=，故④正确；∴AC=BD，故②正确；∴∠AOC=∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6．（2021—2022北京九年级月考）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：①，②，③四边形MCDN是正方形，④MN＝AB，所有正确结论的序号是______．【答案】①②④【分析】连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝OM＝ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断．【详解】解：连接OM、ON，如图，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°，∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，∴OC＝OD＝OM＝ON，∴∠OMC＝∠OND＝30°，∴∠COM＝∠DON＝60°，∴∠MON＝60°，∴，所以②正确；∴△OMN为等边三角形，∴MN＝CD，∠OMN＝60°∴MN∥CD，∴四边形CDNM为矩形，∴MC＝ND，所以①正确；③错误；∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，∴④正确．故答案为：①②④【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．7．如图，正方形ABCD中，AB=5cm，以B为圆心，2cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为_______cm．【答案】【分析】连接BP、DP′、BD，根据题意易得点P′的运动轨迹是以D为圆心，2cm长为半径的圆，进而可知当点B、D、P′三点共线时，BP′长度的为最小，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接BP、DP′、BD，如图所示：四边形ABCD是正方形，AB=5cm，AB=AD=5cm，∠DAB=90°，，将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，AP=AP′，∠P′AP=90°，∠DAP为∠P′AP与∠DAB的公共角，∠P′AD=∠PAB，△P′AD≌△PAB，PB=2cm，DP′=2cm，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2cm长为半径的圆，如图所示：当点B、D、P′三点共线时，BP′长度的为最小，；故答案为．【点睛】本题主要考查正方形的性质及圆的基本性质，关键是利用正方形的性质得到动点的运动轨迹，然后利用圆的最短路径问题求解即可．三、解答题8．（2021—2022浙江杭州市九年级期中）已知，如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．（1）求证：＝；（2）若∠AEC＝100°，求∠A的度数；（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE，求证：EG＝GD．【答案】（1）见解析；（2）50°；（3）见解析【分析】（1）圆心角、弧、弦的关系即可证明结论；（2）结合（1）根据三角形的外角定义即可求得结果；（3）根据题意画出图形，结合（1）根据直角三角形两个锐角互余，即可证明结论．【详解】解：（1）∵AB=CD，∴，∴，即；（2）∵，∴∠D=∠A，∵∠AEC＝100°，∴；（3）如图，∵∠D=∠A，∴AE=DE，∵AE＝2BE，∴DE=2BE，∵BH⊥AD，∴∠AHB=90°，∴∠A+∠ABH=90°，∠D+∠DGH=90°，∵∠D=∠A，∴∠ABH=∠DGH，∵∠DGH=∠BGE，∴∠ABH=∠BGE，∴BE=EG，∴DE=2EG，∵DE=EG+GD，∴EG=GD．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是综合掌握圆心角、弧、弦的关系．9．（2020—2021浙江九年级期末）已知，如图，O中两条弦AB，CD相交于点E，且AB=CD（1）求证：=；（2）若=，求的度数.（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE=2BE，求证：EG=GD【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【分析】（1）根据相等圆周角对应的弦相等，对应的弧也相等的性质分析，即可完成证明；（2）结合（1）的结论，根据圆周角的性质分析，得；再根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质计算，即可得到答案；（3）过E作EM⊥AD于M点，通过证明，得；再根据等腰三角形三线合一性质，证得MH=HD；再结合相似三角形性质，通过证明，即可完成证明．【详解】（1）∵AB=CD∴=∴，即；（2）由（1）可知∴∵=∴=；（3）如图，过E作EM⊥AD于M点，∵BH⊥AD∴∴∴∴∴∵AE=2BE∴∵∴为等腰三角形∴M为AD中点，即∴∴MH=HD∵∴∴∴∴，即EG=GD．【点睛】本题考查了圆、相似三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、相似三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．10．（2020—2021福建厦门一中模拟预测）如图，内接于⊙O，点E是BD上一点，连接AE并延长交⊙O于点F，连接BF，DF；过点B作AD的平行线BC交AF于点C，连接DC并延长交⊙O于点G．（1）如图1，若AE＝EC，求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）如图2，若AE＝1，EC＝2，BE＝3，，求GD的长．【答案】（1）见解析；（2）5.5【分析】（1）先利用平行线的性质和全等三角形的判定证明△ADE≌△CBE，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理证明；（2）利用圆周角定理和平行线性质得∠BFE＝∠CBE，再利用相似三角形的判定证明△CEB∽△BEF，根据相似三角形的性质求出EF，求出AF，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到DG＝AF．【详解】（1）证明：∵BC∥AD，∴∠ADE＝∠CBE，在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE，∴AD＝BC，又BC∥AD，∴四边形ABCD为平行四