第二章有理数及其运算（知识归纳题型突破）（原卷版）

第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1正数和负数概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点2：有理数概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）知识点3：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。3.多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点4:绝对值1.几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）2.代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是03.代数符号意义：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。4.性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝01.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。6.比较大小2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。知识点5：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点6：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点7：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b知识点8：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点9：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点10：倒数（1）定义：的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为.知识点11：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知识点12：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点13：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。知识点14：科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。【题型1正负数表示的意义】1．（2023•荔湾区一模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（）A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元2．（2023•滕州市校级开学）在一条东西走向的道路上，若向东走3m记作+3m，那么向西走7m应记作（）A．7m B．﹣7m C．﹣10m D．4m3．（2022秋•白云区期末）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（）A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃4．（2023•上城区开学）如果+5分表示比平均分高5分，那么﹣9分表示（）A．比平均分低9分 B．比平均分高9分 C．和平均分相等 D．无法确定5．（2022秋•姜堰区期末）2022世界杯足球比赛在卡塔尔举行，本次世界杯揭幕战于当地时间11月20日19时进行，由东道主卡塔尔对阵厄瓜多尔．已知中国北京是在东八区时区，卡塔尔是东三区时区，卡搭尔当地时间比北京时间晚5小时，则揭幕战是北京时间（）A．11月20日14时 B．11月20日19时 C．11月21日19时 D．11月21日0时6．（2023春•鲁甸县校级期末）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（）A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克7．（2023•巧家县校级二模）中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路，线路北起中国西南地区的昆明市，南向到达老挝首都万象市，是“一带一路”上最成功的样板工程．从长期看将会使老挝每年的总收入提升21%，若+21%表示提升21%，则﹣10%表示（）A．提升10% B．提升31% C．下降10% D．下降﹣10%【题型2有理数的相关概念】8．（2023春•松北区校级月考）已知下列各数：﹣8，2.57，6，，﹣0.25，，，0，其中非负数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．（2022秋•太平区校级期末）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个10．（2022秋•宝山区校级期末）下列分数中不能化成有限小数的分数是（）A．1 B． C． D．11．（2023春•闵行区期中）有理数分为（）A．正数和负数 B．素数和合数 C．整数和分数 D．偶数和奇数12．（2022秋•吉安期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将0.＝x，则x＝0.3+x，解得x＝，即0.＝，仿此方法，将0.化成分数是（）A． B． C． D．13．（2023春•惠阳区校级月考）把下列各数填在相应的大括号内：+8，0.35，0，﹣1.04，200%，π，，﹣，﹣2020．整数集合{}；正数集合{}；正分数集合{}．【题型3利用数轴比较有理数的大小】14．（2022秋•茌平区校级期末）如图，点A和B表示的数分别为a和b，下列式子中，不正确的是（）A．a＞﹣b B．ab＜0 C．a﹣b＞0 D．a+b＞015．（2023•番禺区一模）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（）A．a＜b＜﹣c B．b＜﹣c＜a C．﹣a＜c＜b D．a＜c＜﹣b16．（2023•白山模拟）把有理数a、b在数轴上表示，如图所示，则下列说法正确的是（）A．a﹣b＜0 B．a＞﹣b C．＞1 D．＜﹣117．（2022秋•裕华区校级期末）a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（）A．﹣b＜a＜﹣a＜bB．a＜﹣b＜﹣a＜bC．a＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b18．（2022秋•滨海新区校级期末）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①abc＞0；②a+b﹣c＞0；③bc﹣a＞0；④|a﹣b|﹣|c+a|+|b﹣c|＝﹣2a，其中正确个数是（）A．1 B．2 C．3 D．419．（2022秋•丰都县期末）若m、n是有理数，满足|m|＞|n|，且m＞0，n＜0，则下列选项中，正确的是（）A．n＜﹣m＜m＜﹣nB．﹣m＜n＜﹣n＜mC．﹣n＜﹣m＜n＜m D．﹣m＜﹣n＜n＜m【题型4绝对值非负性的运用】20．（2022秋•封开县期末）若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（）A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣621．（2022秋•垫江县期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．202222．（2022秋•泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．323．（2022秋•海林市期末）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10 B．﹣2 C．﹣2或﹣10 D．224．（2022秋•洛宁县期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且在数轴上表示有理数b的点在a的左边，则a﹣b的值为（）A．﹣1 B．﹣5 C．﹣1或﹣5 D．1或525．（2022秋•依安县期中）如果|m+n|＝|m|+|n|，则（）A．m、n同号 B．m、n异号 C．m、n为任意有理数 D．m、n同号或m、n中至少一个为零26．（2022秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为．【题型5化简绝对值】27．（2022秋•营口期中）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的值等于（）A．﹣3a B．2c﹣a C．2a﹣2b D．b28．（2021秋•宣化区期末）若a＜0，b＞0，则|a|+|a﹣b|＝（）A．b﹣2a B．a﹣2b C．2a+b D．﹣2a﹣b29．（2022秋•鄞州区期中）若abc≠0，则++的值为（）A．±3或±1 B．±3或0或±1 C．±3或0 D．0或±130．（2022秋•河池期末）若x＞0，|x﹣2|+|x+4|＝8，则x＝．31．（2023春•松江区期中）如果a＜1，化简：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝．32．（2022秋•吉安期末）已知有理数m，n满足mn≠0，则＝．33．（2022秋•莲湖区期末）若x为任意实数，则|x+4|+|x﹣2|的最小值是．34．（2022秋•福清市校级期末）如果|m|＝|﹣3|，那么m＝．35．（2022秋•农安县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．36．（2022秋•富县期中）已知|x|＝2，|y﹣1|＝5，且x＞y，求2（x﹣y）的值．37．（2022秋•南安市期中）若|a|＝5，|b|＝3，（1）若ab＞0，求a+b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．38．（2022春•龙凤区期末）已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|．【题型6有理数的混合运算】39．（2023•香坊区校级开学）计算：（1）4+（﹣2）2×5﹣（﹣8）÷4；（2）．40．（2023•光泽县校级开学）计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）（﹣3）×2+|﹣4|﹣（﹣2）3．41．（2022秋•曲阜市期末）计算题（1）（﹣2）﹣（﹣3）+（+7）﹣（+11）；（2）；（3）﹣12022+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．42．（2022秋•海门市期末）计算：（1）﹣2.4﹣（+3.3）﹣（﹣4.4）+（﹣5.7）；（2）；（3）（﹣3）3+3×[（﹣3）2+2]；（4）．43．（2022秋•市中区校级期末）计算：（1）（﹣5）﹣（﹣6）+（﹣7）﹣（﹣4）；（2）（﹣1）2021+（﹣18）×|﹣|﹣4÷（﹣2）．【题型7倒数的运用】44．（2023•泗洪县模拟）﹣2023的倒数是（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．45．（2022秋•梁山县期末）下面各组数中互为倒数的是（）A．3.1和1.3 B．0.5和2 C．0.25和0.52 D．和46．（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．1647．（2023•九江一模）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+−2023n的值是．48．（2022秋•林州市期中）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．【题型8科学记数法表示较大的数】49．（2023•罗山县校级开学）2021年10月16，我国的神舟十三号载人飞船搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名宇航员成功飞天，开启了历时六个月的太空任务．载人飞船在太空的飞行速度可达28440km/h．将28440用科学记数法表示为（）A．2.844×104 B．28.44×103 C．2.844×103 D．0.2844×10550．（2022秋•管城区校级期末）“中国疫苗，助力全球战疫”．据法国《费加罗报》网站10月15日报道，预计到今年年底，全球新冠疫苗产量将超过120亿剂，其中一半将来自中国制造商，这是欧盟计划在2021年生产的30亿剂新冠疫苗数量的两倍．中国已经向全球100多个国家提供了疫苗，数据120亿剂用科学记数法表示为（）A．0.12×1011剂 B．1.2×1010剂 C．12×109剂 D．120×108剂【题型9计算“24”点】51．（2022秋•源城区校级期末）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：﹣2，3，4，﹣6；你列出算式是：（四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或﹣24）．52．（2022秋•海城市期中）“24点游戏”指的是将一副扑克牌中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行加减乘除混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是﹣24，现抽出的牌所对的数字是4，﹣5，3，﹣1，请你写出刚好凑成24的算式．53．（2022秋•蓬莱区期中）你会玩“24点”游戏吗？共一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24．其中J，Q，K分别代表11，12，13．如小明抽到了3，3，7，7，可用算式7×（3+3÷7）得到24；如图是小刚抽到的四张牌，请用算式得到24：．54．（2022秋•惠东县期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：（1+2+3）×4＝24．（1）现有4个有理数：﹣6，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：（2）现有4个有理数：1，2，4，﹣8，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24．【题型10有理数应用综合】55．（2023•光泽县校级开学）某校七年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩﹣2.51.5﹣30﹣0.51﹣2﹣2﹣1.52回答下面问题：（1）以每筐