专题6.1比例及黄金分割专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】专题6.1比例及黄金分割专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•惠山区校级月考）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a＝1，b＝2，c＝，d＝2 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解析】A、∵×3≠×2，∴四条线段不成比例；B、∵10×4≠5×6，∴四条线段不成比例；C、∵2×＝1×2，∴四条线段成比例；D、∵2×3≠1×4，∴四条线段不成比例．故选：C．2．（2022秋•邗江区月考）若＝，则下列式子正确的是（）A．＝7 B．＝ C．＝4 D．＝【分析】根据比例的性质，进行计算逐一判断即可解答．【解析】A、∵＝，∴＝+1＝，故A不符合题意；B、∵＝，∴≠，故B不符合题意；C、∵＝，∴＝﹣1＝﹣∴＝﹣4，故C不符合题意；D、∵＝，∴＝，故D符合题意；故选：D．3．（2022秋•相城区校级月考）已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺为（）A．10000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，直接求出即可．【解析】∵10km＝700000厘米，∴比例尺＝10：1000000＝1：100000；故选：C．4．（2022春•宜兴市校级月考）已知2a＝5b，则（a﹣b）：b的值为（）A．2：5 B．3：5 C．7：5 D．3：2【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【解析】∵2a＝5b，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝，∴（a﹣b）：b的值为：3：2，故选：D．5．（2022秋•宝应县月考）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得＝，又由a＝3，b＝0.6，c＝2，即可求得d的值．【解析】∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，∴＝，∵a＝3，b＝0.6，c＝2，∴＝解得：d＝0.4．故选：A．6．（2021秋•苏州期末）若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．32cm【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出c的值，注意线段不能为负．【解析】由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2＝ab，即c2＝2×8，解得c＝4，（线段是正数，负值舍去）．故选：A．7．（2022春•高新区校级期末）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A． B． C．3﹣ D．﹣1【分析】根据黄金比值为计算即可．【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：D．8．（2021秋•句容市期末）如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定【分析】根据黄金分割的定义得到PA2＝PB•AB，利用矩形的面积得到S1＝S2．【解析】S1＝S2．理由如下：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2＝PB•AB，∴S1＝S2．故选：B．二．填空题（共8小题）9．（2022秋•靖江市期中）比例尺是1：3000的地图上，某条街道的长度为25cm，它的实际长度约为750米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果．【解析】设它的实际长度为xcm，则：＝，解得x＝7500075000cm＝750m．故答案为：750．10．（2022春•常熟市期中）已知＝3，则的值是﹣．【分析】先利用比例的性质得到b＝2a，然后把b＝2a代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可．【解析】∵＝3，∴b＝3a，∴＝＝＝﹣．故答案为：﹣．11．（2022秋•宜兴市月考）已知线段a＝4cm，b＝5cm，那么线段a、b的比例中项等于2cm．【分析】设线段a、b的比例中项为xcm，根据比例中项的定义得到x2＝20，然后求20的算术平方根即可．【解析】设线段a、b的比例中项为xcm，根据题意得x2＝ab＝4×5＝20，解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去），即线段a、b的比例中项为2cm．故答案为：2．12．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的1.2倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解析】由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．13．（2022秋•惠山区校级月考）已知＝＝≠0，则的值是．【分析】利用设k法进行计算，即可解答．【解析】∵＝＝≠0，∴设＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝+＝+＝+＝+＝，故答案为：．14．（2020秋•梁溪区期末）若＝＝＝（b+d+f≠0），则＝．【分析】根据已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式计算即可．【解析】∵＝＝＝，∴a＝b，c＝d，e＝f．∴＝＝＝．故答案为：．15．（2022秋•苏州期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，则AC的长度是+1．【分析】过A作AE⊥BD于E，由黄金分割的定义得BD＝﹣1，再由等腰三角形的性质得BE＝DE＝，则CE＝CD+DE＝，然后由勾股定理即可解决问题．【解析】如图，过A作AE⊥BD于E，∵D是边BC的“黄金分割”点，且BD＜DC，CD＝2，∴＝，∴BD＝﹣1，∵AE⊥BD，AB＝AD，∴BE＝DE＝BD＝，∴CE＝CD+DE＝2+＝，AE2＝AB2﹣BE2＝22﹣（）2＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝＝+1，故答案为：+1．16．（2021•泰州模拟）2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果．地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是34.38°～55.62°．（黄金比为0.618）【分析】用90°×0.618，可得结论．【解析】90°×0.618＝55.62°，90°﹣55.62°＝34.38°，∴黄金地带纬度的范围是：34.38°～55.62°．故答案为：34.38°～55.62°三．解答题（共8小题）17．（2021秋•雨花区期末）已知x：y：z＝3：5：7，求的值．【分析】根据比例分别设x＝3k、y＝5k、z＝7k，再代入比例式进行计算即可得解．【解析】∵x：y：z＝3：5：7，∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，则＝＝．18．（2022秋•江阴市校级月考）（1）已知，2x+y≠0，求的值．（2）已知＝＝＝x，求x的值．【分析】（1）＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把x＝2k，y＝3k，z＝5k代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可；（2）当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，易得x＝﹣1；当a+b+c≠0时，利用等比性质得到x＝2．【解析】（1）设＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，∴＝＝﹣＝﹣；（2）当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，则x＝＝﹣1；当a+b+c≠0时，x＝＝＝＝＝2，综上所述，x的值为﹣1或2．19．（2021秋•靖江市期末）设a，b，c是△ABC的三条边，且＝＝，判断△ABC为何种三角形？并说明理由．【分析】根据合比性质得出＝＝＝＝0，则a＝b＝c，进而判断△ABC为等边三角形．【解析】△ABC为等边三角形，理由如下：∵a，b，c是△ABC的三条边，∴a+b+c≠0，∵＝＝，∴＝＝＝＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．20．（2021春•邗江区期中）若．（1）求的值；（2）求的值．【分析】设＝k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k；（1）将x＝3k，y＝4k，z＝5k代入即可求解；（2）x＝3k，y＝4k，z＝5k代入所求式子即可．【解析】（1）设＝k，∴x＝3k，y＝4k，z＝5k，∴＝＝3；（2）＝＝＝＝．21．（2021秋•金坛区月考）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入代数式中进行分式的混合运算即可；（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣b+c＝10得到关于k的方程，求出k，从而得到a、b、c的值．【解析】∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝；（2）∵3a﹣b+c＝10，∴9k﹣4k+5k＝10，解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5．22．（2021秋•涟水县校级月考）根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高为166cm，下肢长为101cm，持上述观点，她所选的高跟鞋的最佳高度约为多少（精确到0.1cm）？【分析】在这里下肢的长度应包括高跟鞋鞋跟的长度，即（101+高跟鞋鞋跟的高度）÷（166+x）＝0.618，求出结果精确到0.1cm即可．【解答】答：设高跟鞋的最佳高度为xcm，根据题意列方程得：（101+x）÷（166+x）＝0.618，解得x≈4.2．故她所选的高跟鞋的最佳高度约为4.2cm．23．（2013春•扬州校级月考）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD＝＝，则AM＝AF＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣；（2）根据（1）中的数据得：＝，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【解析】（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于＝，∴点M是AD的黄金分割点．24．（2022秋•邗江区月考）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．【分析】（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．（2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形；（3）首先